2021秋九年级数学上册期末提分练案第5讲旋转第2课时技巧训练课件新版新人教版

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1．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．
【点拨】构造中心对称图形，把已知条件转化到同一个三角形中．
解：∵D是BC的中点，∴将△ABC绕点D顺时针旋转180°，得到△ECB，连接DE，如图所示．易知A，D，E三点共线，且AE＝2AD＝12，EB＝AC＝13.在△ABE中，∵AB2＋AE2＝52＋122＝169，EB2＝132＝169，∴AB2＋AE2＝EB2.
2．如图，P为等边三角形ABC内一点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，求∠BPC的度数．
【点拨】利用旋转作辅助线构造出直角三角形和等边三角形是解题的关键．
解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，连接PD.由旋转的性质得BD＝PB＝4，AD＝PC＝3，∠BPC＝∠ADB，∠DBP＝∠ABC＝60°，∴△BDP是等边三角形．∴PD＝PB＝4，∠BDP＝60°.
∵AD2＋DP2＝32＋42＝25，PA2＝52＝25，∴AD2＋DP2＝PA2.∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°.∴∠ADB＝∠BDP＋∠ADP＝60°＋90°＝150°.∴∠BPC＝∠ADB＝150°.
4．【问题提出】如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
(1)如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可将△DCB绕点D按顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是____________；
【点拨】由旋转的性质可得BD＝B′D，∠BDB′＝60°，∠DAB′＝∠C.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠BAD＋∠C＝180°.∴∠BAD＋∠DAB′＝180°，即B，A，B′三点共线．∴△BDB′是等边三角形．
(2)在(1)的基础上，求四边形ABCD的面积．
解：如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可将△BCD绕点D按顺时针方向旋转60°，得到△B′AD，连接BB′，过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于E.由旋转的性质可得△BCD≌△B′AD，∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A.∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，∴∠BCD＋∠BAD＝360°－∠ABC－∠ADC＝360°－75°－60°＝225°.
∵∠B′AD＝∠BCD，∴∠B′AD＋∠BAD＝225°.∴∠BAB′＝360°－(∠B′AD＋∠BAD)＝360°－225°＝135°.∴∠B′AE＝180°－∠BAB′＝180°－135°＝45°.∴△B′EA是等腰直角三角形．