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7、【全国百强校】2019北京育英中学高一(上)期中数学（学生版）练习题
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这是一份7、【全国百强校】2019北京育英中学高一(上)期中数学（学生版）练习题，共8页。试卷主要包含了Ⅱ卷在答题纸上作答，下列各组函数中是同一个函数的是，函数f=x+|x|x的图像是等内容，欢迎下载使用。
【全国百强校】2019北京育英中学高一(上)期中数学11
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
注意事项:
1.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
2.Ⅱ卷在答题纸上作答。答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={1,3,5},则(∁UM)∩N= ( )
A.{1,3} B.{1,5} C.{3,5} D.{4,5}
2.(★)命题“∃x>0,使得x2-x≤0”的否定是 ( )
A.∀x>0,都有x2-x>0 B.∀x≤0,都有x2-x>0
C.∃x>0,使得x2-x≤0 D.∃x>0,使得x2-x>0
3.(★)下列各组函数中是同一个函数的是 ( )
①f(x)=-2x3与g(x)=x-2x;②f(x)=x与g(x)=x2;③f(x)=x2与g(x)=x4;④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
4.(★)函数f(x)=x+|x|x的图像是 ( )
5.(★)如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,那么实数a的取值范围是 ( )
A.-14,+∞ B.-14,+∞
C.-14,0 D.-14,0
6.(★)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.(★)已知函数f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且f(-3)f(1)
8.(★)已知f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,-x2+2ax-2a+1,x≥1是R上的减函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.0,13
C.17,13 D.17,1
二、填空题(本大题共6小题,每空4分,共24分.把答案填写在题上横线上)
9.(★)设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},则a+b= .
10.(★)设全集为R,函数f(x)=(x+1)01-x的定义域为M,则∁RM= .
11.(★)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为 ;若g(f(x))=2,则x= .
12.(★)已知不等式ax2-5x+b>0的解集是{x|-30的解集为 .
13.(★)已知函数f(x)的图像关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f-12,b=f(2),c=f(π),则a,b,c的大小关系为 .
14.(★)定义:若a,b∈(0,+∞),a≠b,x,y∈(0,+∞),则a2x+b2y≥(a+b)2x+y,当且仅当ax=by时,等号成立.利用上述结论,可以得到函数f(x)=2x+91-2x,x∈0,12的最小值是 .
三、解答题(本大题共4小题,共44分,共44分写清主要解题过程)
15.(★)(12分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求f(-2);
(2)求出函数f(x)在R上的解析式;
(3)在坐标系中画出函数f(x)的图像(每个网格是边长为1的正方形).
16.(★)(10分)已知全集U=R,A={x∈R|x2-3x+b=0},B={x∈R|(x-2)(x2+3x-4)=0}.
(1)若当b=4时,存在集合M使得A⫋M⫋B,求出所有这样的集合M;
(2)集合A,B能否满足(∁UB)∩A=⌀?若能,求出实数b的取值范围;若不能,请说明理由.
17.(★)(10分)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,在40分钟的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:分钟)之间的关系如下,当x∈(0,12]时,图像是开口向下的二次函数图像的一部分,其中顶点是A(10,80),且过点B(12,78);当x∈(12,40]时,图像是线段BC,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.
(1)试求y=f(x)的函数解析式;
(2)老师在什么时间段安排核心内容教学,能使学生学习效果最佳?请说明理由.
18.(★)(12分)定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6.
(1)求f(0),f(1);
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(3)若对于任意x∈12,3,都有f(kx2)+f(2x-1)<0成立,求实数k的取值范围.
【全国百强校】2019北京育英中学高一(上)期中数学11
答案全解全析
1.考向 集合的运算
分析 根据补集的概念求出∁UM,再根据交集的概念求出(∁UM)∩N即可.
解析 全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},所以∁UM={2,3,5},又因为N={1,3,5},所以(∁UM)∩N={3,5}.
答案 C
点评 本题考查集合的补集、交集的运算,在求补集时要掌握好补集的性质A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U的应用,不要出现错误.
2.考向 存在量词命题的否定
分析 直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题,根据已知写出即可.
解析 命题“∃x>0,使得x2-x≤0”是存在量词命题,则命题的否定是全称量词命题,所以“∃x>0,使得x2-x≤0”的否定是∀x>0,都有x2-x>0,故选A.
答案 A
点评 本题易错点在于误认为存在量词命题与全称量词命题的否定只改变量词,或只否定结论.全称量词命题与存在量词命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时注意结论的否定形式.
3.考向 函数的概念
分析 对于①,f(x)与g(x)的对应法则不同;对于②,f(x)与g(x)的对应法则不同;对于③,f(x)与g(x)的定义域、对应法则均相同;对于④,f(x)与g(x)的定义域、对应法则均相同.
解析 对于①,f(x)=-2x3=|x|-2x与g(x)=x-2x的对应法则不同,不是同一个函数;对于②,f(x)=x与g(x)=x2=|x|的对应法则不同,不是同一个函数;对于③,f(x)=x2与g(x)=x4=x2的定义域、对应法则均相同,是同一个函数;对于④,f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1的定义域、对应法则均相同,是同一个函数.故选D.
答案 D
点评 判断两个函数是不是同一个函数,可以先从定义域进行分析,若定义域不同,则不是同一个函数,若定义域相同,则再分析对应法则,若对应法则相同,则是同一个函数,若对应法则不同,则不是同一个函数.
4.考向 函数的表示方法、函数的奇偶性
分析 思路一:利用函数的奇偶性对函数图像进行分析、判断;思路二:化简函数的解析式,根据解析式得到函数的图像;思路三:利用函数图像上两个点(1,2),(-1,-2),选出正确选项.
解析 解法一:因为函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=-x+|-x|-x=-x+|x|x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.根据奇函数的图像关于原点对称可知只有C选项中的图像符合,故选C.
解法二:易知函数的定义域为{x|x≠0},f(x)=x+|x|x=x+1,x>0,x-1,x<0,根据解析式直接画出图像(图略),由图像知只有C选项中的图像符合.
解法三:易知函数y=x+|x|x的图像经过点(1,2),(-1,-2),观察选项知只有C选项中的图像符合.
答案 C
点评 本题主要考查函数图像的识别,可以利用具有奇偶性的函数图像的性质判断,也可以求出解析式画图得到,还可以代入特殊点进行判断.一题多解可培养学生的发散思维.
5.考向 函数的概念、函数的单调性
分析 利用二次函数的性质、函数的单调性,对实数a进行分类讨论,求得实数a的取值范围.
解析 显然,a=0满足条件;
当a>0时,二次函数f(x)=ax2+2x-3的图像开口向上,在区间(-∞,4)上不可能是单调递增的,不满足条件;
当a<0时,二次函数f(x)=ax2+2x-3图像的对称轴为直线x=-1a,若在区间(-∞,4)上是单调递增的,应有-1a≥4,解得-14≤a<0.综上可得,实数a的取值范围是-14,0.故选D.
答案 D
点评 判断二次函数的单调性,可以通过二次函数图像的开口方向以及对称轴来进行分析:开口向上,函数在对称轴左侧单调递减,在对称轴右侧单调递增;开口向下,函数在对称轴左侧单调递增,在对称轴右侧单调递减.同时还要注意“真假二次”的情况,在解题时需要对所有可能的情况进行分类讨论.
6.考向 充分条件与必要条件的判断、解绝对值不等式和一元二次不等式
分析 先通过解绝对值不等式和一元二次不等式对题设中的不等式进行化简,然后利用充分性和必要性的判断规律来判断即可.
解析 解法一:由|x-2|<1,得-1
由11或x<-2,反之不成立,
所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件.故选A
解法二:由|x-2|<1,得-1
因为(1,3)⫋(-∞,-2)∪(1,+∞),所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件.故选A.
答案 A
点评 对于有关不等式充分、必要条件的判断可以转化为集合之间的包含关系:条件p表示的不等式记为集合A,条件q表示的不等式记为集合B,如果A⫋B,那么p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件,通俗的说“小范围可以推出大范围,反之不成立”,如果A=B,那么p是q的充要条件.
7.考向 函数的单调性、函数的奇偶性
分析 由偶函数f(x)在[0,5]上是单调函数,且f(-3)
又f(-x)=f(x),所以f(-3)=f(3)>f(5),可排除C,
f(0)>f(1),故D正确,故选D.
答案 D
点评 本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较函数值的大小,应根据题中所给条件,将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决,体现了转化与化归的数学思想.
8.考向 分段函数的概念、函数的单调性
分析 根据当x≥1时,f(x)=-x2+2ax-2a+1单调递减,可得函数图像的对称轴直线x=a满足a≤1,当x<1时,f(x)也单调递减,可得3a-1<0,且为保证f(x)在R上单调递减,还应满足f(1)≤3a-1+4a,解不等式组即可.
解析 当x≥1时,f(x)=-x2+2ax-2a+1单调递减,二次函数图像的对称轴为直线x=-2a-2=a,要满足函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,必须有a≤1.当x<1时,由f(x)单调递减,可得3a-1<0,且为保证f(x)在R上单调递减,还应满足f(1)≤3a-1+4a,
由此可得3a-1<0,a≤1,f(1)≤3a-1+4a,即a<13,a≤1,a≥17,解得17≤a<13.
故选C.
答案 C
点评 本题主要考查分段函数的单调性,首先要保证分段函数在每一段上的单调性相同,其次要保证分段函数在分界点处也是单调的.
9.考向 集合的概念、集合的运算
分析 根据两个集合的交集的概念可得5=2a+1,且5=2+b,解出a和b的值,即可得到a+b的值.
答案 5
解析 因为A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},所以5=2a+1,5=2+b,解得a=2,b=3,所以a+b=5.
故答案为5.
10.考向 函数的概念
分析 由二次根式的被开方式大于或等于0,分式的分母不等于0,零指数幂的底数不等于0联立得不等式组,求解x的取值范围即可.
答案 {x|x≥1或x=-1}
解析 由1-x>0,x+1≠0得x<1,x≠-1,
∴x<1且x≠-1,
∴函数f(x)=(x+1)01-x的定义域为M={x|x<1且x≠-1},
∴∁RM={x|x≥1或x=-1}.
点评 本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉一些基本初等函数求定义域的原则:分式的分母不为0,二次根式的被开方式大于或等于0,对数的底数大于0且不等于1、真数大于0,零指数幂的底数不等于0.
11.考向 函数的概念
分析 根据函数的概念,由表格中给出的f(x),g(x)的对应关系,即可求解.
答案 1;1
解析 f(g(1))=f(3)=1.
若g(f(x))=2,则f(x)=2,则x=1.
点评 本题考查根据函数的自变量与函数值的对应关系,求函数值或方程的解.求形如f(g(x))的复合函数值时,可先计算出内层函数的值,再计算外层函数的值.
12.考向 解一元二次不等式、根与系数关系的综合应用
分析 本题考查一元二次不等式的解法及应用,首先利用一元二次不等式和一元二次方程的关系,求出a,b的值,再代入所求的不等式中求解即可.
答案 x-12
则(-2)+(-3)=5a,(-2)×(-3)=ba,解得a=-1,b=-6,
所以不等式bx2-5x+a>0,即为-6x2-5x-1>0,化简得6x2+5x+1<0,
解得-12
13.考向 函数的对称性、函数的单调性
分析 由当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,可得f(x)在(1,+∞)上单调递减,又函数f(x)的图像关于直线x=1对称,可得a=f-12=f52,根据单调性即可得出a,b,c的大小关系.
答案 b>a>c
解析 ∵当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,
∴f(x)在(1,+∞)上单调递减,
又函数f(x)的图像关于直线x=1对称,
∴a=f-12=f52,
∵b=f(2),c=f(π),且2<52<π,
∴f(2)>f52>f(π),∴b>a>c.
故答案为b>a>c.
点评 本题考查函数单调性的应用,除了掌握单调性的概念外,还经常会用到变式公式:设x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,则f(x)在[a,b]上是减函数⇔f(x2)-f(x1)x2-x1<0⇔[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0.本题还涉及函数图像的对称性:若函数的图像关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x).掌握这些常用的结论,有助于快速解决一些较难的问题.
14.考向 函数的新定义问题、函数的单调性
分析 由题中的结论将f(x)=2x+91-2x,x∈0,12变形为f(x)=222x+321-2x,x∈0,12即可.
答案 25
解析 因为x∈0,12,所以2x∈(0,1),1-2x∈(0,1),
由f(x)=2x+91-2x得f(x)=222x+321-2x≥(2+3)22x+(1-2x)=25,当且仅当22x=31-2x,即x=15时,等号成立,
所以当x=15时,f(x)=2x+91-2x,x∈0,12取得最小值,最小值为25.故答案为25.
点评 本题考查函数新定义问题,关键是能理解新定义,创设满足新定义所需的条件,正确使用新定义解决问题,考查学生的逻辑推理能力,体现了对学生逻辑推理、数学抽象核心素养的培养.
15.考向 函数的解析式、函数的奇偶性
分析 (1)由题意知f(-2)=-f(2),直接代入解析式即可.
(2)先求出当x≤0时的解析式,然后即可得到函数在定义域上的解析式(分段函数).
(3)根据二次函数的图像特征画出f(x)的图像.
解析 (1)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,
所以对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),
所以f(-2)=-f(2)=-(22-2×2)=0.
(2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0.
设x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-f(x)=x2+2x,
所以f(x)=-x2-2x,
综上,f(x)=x2-2x,x>0,-x2-2x,x≤0.
(2)f(x)的图像如图所示:
点评 本题主要考查了利用函数的奇偶性求分段函数的解析式问题.利用二次函数的图像特征很容易完成本题,本题是一道考查数学基础知识的题目.
16.考向 集合的运算 解一元二次方程
分析 (1)由条件易知M应该是B的一个非空真子集,根据真子集的概念,用列举法可得所有这样的集合M.
(2)由(∁UB)∩A=⌀,可得A⊆B,当A=⌀时,求出b的取值范围,当A≠⌀时,由B={-4,1,2},分-4∈A、1∈A、2∈A分别求出b的取值范围,再把b的取值范围取并集,即得所求.
解析 (1)由条件易知当b=4时,A=⌀,又B={-4,1,2},
由A⫋M⫋B,知M应该是一个非空集合,且是B的一个真子集,用列举法可得这样的M共有6个,如下:{-4}、{1}、{2}、{-4,1}、{-4,2}、{1,2}.
(2)由(∁UB)∩A=⌀,可得A⊆B.
当A=⌀时,满足A⊆B,此时Δ=9-4b<0,解得b>94.
当A≠⌀时,∵B={-4,1,2},
∴若-4∈A,得b=-28,此时A={-4,7},不满足A⊆B;
若1∈A,得b=2,此时A={1,2},满足A⊆B;
若2∈A,得b=2,此时A={1,2},满足A⊆B.
综上可得,当A=⌀或A={1,2}时,满足A⊆B,即(∁UB)∩A=⌀.
故实数b的取值范围为bb>94或b=2.
点评 本题考查交集、补集的运算,利用集合的包含关系求参数,涉及一元二次方程的求解以及高次方程的求解,在求参数时,要注意对参数的取值进行分类讨论.考查运算求解能力.
17.考向 函数的应用 函数模型及其应用
分析 (1)分类讨论:当x∈(0,12]时,设f(x)=a(x-10)2+80(a≠0),把点B(12,78)代入即能求出解析式;当x∈(12,40]时,设f(x)=kx+b(k≠0),把B(12,78)、C(40,50)代入即能求出解析式.
(2)由(1)中的解析式,结合题设条件,列出不等式组,能求出老师在什么时间段安排核心内容教学,能使学生学习效果最佳.
解析 (1)①当x∈(0,12]时,设f(x)=a(x-10)2+80(a≠0),
将点B(12,78)代入,解得a=-12,则f(x)=-12(x-10)2+80.
②当x∈(12,40]时,设f(x)=kx+b(k≠0),将点B(12,78)、C(40,50)代入,
得12k+b=78,40k+b=50,解得k=-1,b=90,即f(x)=-x+90,
所以y=f(x)的函数解析式为f(x)=
-12(x-10)2+80,x∈(0,12],-x+90,x∈(12,40].
(2)由题意得f(x)>62,即062或1262,
解得4
点评 本题既考查了待定系数法求函数解析式以及分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.本题体现了数学建模核心素养的考查.
18.考向 函数的奇偶性 函数的单调性
分析 (1)利用赋值法,令x=y=0,可得f(0)=0;令x=2,y=1,可得f(1)=2.
(2)用-x代换y,代入函数满足的等式,可得f(x)+f(-x)=0,由此可得f(x)的奇偶性.
(3)根据函数是单调函数且f(0)
令x=2,y=1,则f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=6,故f(1)=2.
(2)f(x)为奇函数.证明:令y=-x,则f(0)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(3)∵f(x)为奇函数,且f(kx2)+f(2x-1)<0对任意x∈12,3恒成立,
∴f(kx2)
∴kx2<1-2x在x∈12,3上恒成立,
∴k<1x2-21x在x∈12,3上恒成立,
令g(x)=1x2-21x=1x-12-1,
∵12≤x≤3,∴13≤1x≤2,∴g(x)最小值为g(1)=-1,
∴k<-1,即实数k的取值范围(-∞,-1).
点评 本题考查了对函数概念、性质的理解和运用,根据题中所给函数的性质求函数值,判断并证明函数奇偶性、单调性,以及利用抽象函数的单调性解不等式问题.对于抽象函数问题常采用赋值法进行求解,二次函数在给定区间上恒成立求参数问题,一般是通过分离参数转化为一般二次函数求最值问题.
【全国百强校】2019北京育英中学高一(上)期中数学11
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
注意事项:
1.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
2.Ⅱ卷在答题纸上作答。答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={1,3,5},则(∁UM)∩N= ( )
A.{1,3} B.{1,5} C.{3,5} D.{4,5}
2.(★)命题“∃x>0,使得x2-x≤0”的否定是 ( )
A.∀x>0,都有x2-x>0 B.∀x≤0,都有x2-x>0
C.∃x>0,使得x2-x≤0 D.∃x>0,使得x2-x>0
3.(★)下列各组函数中是同一个函数的是 ( )
①f(x)=-2x3与g(x)=x-2x;②f(x)=x与g(x)=x2;③f(x)=x2与g(x)=x4;④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
4.(★)函数f(x)=x+|x|x的图像是 ( )
5.(★)如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,那么实数a的取值范围是 ( )
A.-14,+∞ B.-14,+∞
C.-14,0 D.-14,0
6.(★)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.(★)已知函数f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且f(-3)
8.(★)已知f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,-x2+2ax-2a+1,x≥1是R上的减函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.0,13
C.17,13 D.17,1
二、填空题(本大题共6小题,每空4分,共24分.把答案填写在题上横线上)
9.(★)设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},则a+b= .
10.(★)设全集为R,函数f(x)=(x+1)01-x的定义域为M,则∁RM= .
11.(★)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为 ;若g(f(x))=2,则x= .
12.(★)已知不等式ax2-5x+b>0的解集是{x|-3
13.(★)已知函数f(x)的图像关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f-12,b=f(2),c=f(π),则a,b,c的大小关系为 .
14.(★)定义:若a,b∈(0,+∞),a≠b,x,y∈(0,+∞),则a2x+b2y≥(a+b)2x+y,当且仅当ax=by时,等号成立.利用上述结论,可以得到函数f(x)=2x+91-2x,x∈0,12的最小值是 .
三、解答题(本大题共4小题,共44分,共44分写清主要解题过程)
15.(★)(12分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求f(-2);
(2)求出函数f(x)在R上的解析式;
(3)在坐标系中画出函数f(x)的图像(每个网格是边长为1的正方形).
16.(★)(10分)已知全集U=R,A={x∈R|x2-3x+b=0},B={x∈R|(x-2)(x2+3x-4)=0}.
(1)若当b=4时,存在集合M使得A⫋M⫋B,求出所有这样的集合M;
(2)集合A,B能否满足(∁UB)∩A=⌀?若能,求出实数b的取值范围;若不能,请说明理由.
17.(★)(10分)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,在40分钟的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:分钟)之间的关系如下,当x∈(0,12]时,图像是开口向下的二次函数图像的一部分,其中顶点是A(10,80),且过点B(12,78);当x∈(12,40]时,图像是线段BC,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.
(1)试求y=f(x)的函数解析式;
(2)老师在什么时间段安排核心内容教学,能使学生学习效果最佳?请说明理由.
18.(★)(12分)定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6.
(1)求f(0),f(1);
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(3)若对于任意x∈12,3,都有f(kx2)+f(2x-1)<0成立,求实数k的取值范围.
【全国百强校】2019北京育英中学高一(上)期中数学11
答案全解全析
1.考向 集合的运算
分析 根据补集的概念求出∁UM,再根据交集的概念求出(∁UM)∩N即可.
解析 全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},所以∁UM={2,3,5},又因为N={1,3,5},所以(∁UM)∩N={3,5}.
答案 C
点评 本题考查集合的补集、交集的运算,在求补集时要掌握好补集的性质A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U的应用,不要出现错误.
2.考向 存在量词命题的否定
分析 直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题,根据已知写出即可.
解析 命题“∃x>0,使得x2-x≤0”是存在量词命题,则命题的否定是全称量词命题,所以“∃x>0,使得x2-x≤0”的否定是∀x>0,都有x2-x>0,故选A.
答案 A
点评 本题易错点在于误认为存在量词命题与全称量词命题的否定只改变量词,或只否定结论.全称量词命题与存在量词命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时注意结论的否定形式.
3.考向 函数的概念
分析 对于①,f(x)与g(x)的对应法则不同;对于②,f(x)与g(x)的对应法则不同;对于③,f(x)与g(x)的定义域、对应法则均相同;对于④,f(x)与g(x)的定义域、对应法则均相同.
解析 对于①,f(x)=-2x3=|x|-2x与g(x)=x-2x的对应法则不同,不是同一个函数;对于②,f(x)=x与g(x)=x2=|x|的对应法则不同,不是同一个函数;对于③,f(x)=x2与g(x)=x4=x2的定义域、对应法则均相同,是同一个函数;对于④,f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1的定义域、对应法则均相同,是同一个函数.故选D.
答案 D
点评 判断两个函数是不是同一个函数,可以先从定义域进行分析,若定义域不同,则不是同一个函数,若定义域相同,则再分析对应法则,若对应法则相同,则是同一个函数,若对应法则不同,则不是同一个函数.
4.考向 函数的表示方法、函数的奇偶性
分析 思路一:利用函数的奇偶性对函数图像进行分析、判断;思路二:化简函数的解析式,根据解析式得到函数的图像;思路三:利用函数图像上两个点(1,2),(-1,-2),选出正确选项.
解析 解法一:因为函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=-x+|-x|-x=-x+|x|x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.根据奇函数的图像关于原点对称可知只有C选项中的图像符合,故选C.
解法二:易知函数的定义域为{x|x≠0},f(x)=x+|x|x=x+1,x>0,x-1,x<0,根据解析式直接画出图像(图略),由图像知只有C选项中的图像符合.
解法三:易知函数y=x+|x|x的图像经过点(1,2),(-1,-2),观察选项知只有C选项中的图像符合.
答案 C
点评 本题主要考查函数图像的识别,可以利用具有奇偶性的函数图像的性质判断,也可以求出解析式画图得到,还可以代入特殊点进行判断.一题多解可培养学生的发散思维.
5.考向 函数的概念、函数的单调性
分析 利用二次函数的性质、函数的单调性,对实数a进行分类讨论,求得实数a的取值范围.
解析 显然,a=0满足条件;
当a>0时,二次函数f(x)=ax2+2x-3的图像开口向上,在区间(-∞,4)上不可能是单调递增的,不满足条件;
当a<0时,二次函数f(x)=ax2+2x-3图像的对称轴为直线x=-1a,若在区间(-∞,4)上是单调递增的,应有-1a≥4,解得-14≤a<0.综上可得,实数a的取值范围是-14,0.故选D.
答案 D
点评 判断二次函数的单调性,可以通过二次函数图像的开口方向以及对称轴来进行分析:开口向上,函数在对称轴左侧单调递减,在对称轴右侧单调递增;开口向下,函数在对称轴左侧单调递增,在对称轴右侧单调递减.同时还要注意“真假二次”的情况,在解题时需要对所有可能的情况进行分类讨论.
6.考向 充分条件与必要条件的判断、解绝对值不等式和一元二次不等式
分析 先通过解绝对值不等式和一元二次不等式对题设中的不等式进行化简,然后利用充分性和必要性的判断规律来判断即可.
解析 解法一:由|x-2|<1,得-1
由1
所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件.故选A
解法二:由|x-2|<1,得-1
因为(1,3)⫋(-∞,-2)∪(1,+∞),所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件.故选A.
答案 A
点评 对于有关不等式充分、必要条件的判断可以转化为集合之间的包含关系:条件p表示的不等式记为集合A,条件q表示的不等式记为集合B,如果A⫋B,那么p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件,通俗的说“小范围可以推出大范围,反之不成立”,如果A=B,那么p是q的充要条件.
7.考向 函数的单调性、函数的奇偶性
分析 由偶函数f(x)在[0,5]上是单调函数,且f(-3)
又f(-x)=f(x),所以f(-3)=f(3)>f(5),可排除C,
f(0)>f(1),故D正确,故选D.
答案 D
点评 本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较函数值的大小,应根据题中所给条件,将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决,体现了转化与化归的数学思想.
8.考向 分段函数的概念、函数的单调性
分析 根据当x≥1时,f(x)=-x2+2ax-2a+1单调递减,可得函数图像的对称轴直线x=a满足a≤1,当x<1时,f(x)也单调递减,可得3a-1<0,且为保证f(x)在R上单调递减,还应满足f(1)≤3a-1+4a,解不等式组即可.
解析 当x≥1时,f(x)=-x2+2ax-2a+1单调递减,二次函数图像的对称轴为直线x=-2a-2=a,要满足函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,必须有a≤1.当x<1时,由f(x)单调递减,可得3a-1<0,且为保证f(x)在R上单调递减,还应满足f(1)≤3a-1+4a,
由此可得3a-1<0,a≤1,f(1)≤3a-1+4a,即a<13,a≤1,a≥17,解得17≤a<13.
故选C.
答案 C
点评 本题主要考查分段函数的单调性,首先要保证分段函数在每一段上的单调性相同,其次要保证分段函数在分界点处也是单调的.
9.考向 集合的概念、集合的运算
分析 根据两个集合的交集的概念可得5=2a+1,且5=2+b,解出a和b的值,即可得到a+b的值.
答案 5
解析 因为A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},所以5=2a+1,5=2+b,解得a=2,b=3,所以a+b=5.
故答案为5.
10.考向 函数的概念
分析 由二次根式的被开方式大于或等于0,分式的分母不等于0,零指数幂的底数不等于0联立得不等式组,求解x的取值范围即可.
答案 {x|x≥1或x=-1}
解析 由1-x>0,x+1≠0得x<1,x≠-1,
∴x<1且x≠-1,
∴函数f(x)=(x+1)01-x的定义域为M={x|x<1且x≠-1},
∴∁RM={x|x≥1或x=-1}.
点评 本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉一些基本初等函数求定义域的原则:分式的分母不为0,二次根式的被开方式大于或等于0,对数的底数大于0且不等于1、真数大于0,零指数幂的底数不等于0.
11.考向 函数的概念
分析 根据函数的概念,由表格中给出的f(x),g(x)的对应关系,即可求解.
答案 1;1
解析 f(g(1))=f(3)=1.
若g(f(x))=2,则f(x)=2,则x=1.
点评 本题考查根据函数的自变量与函数值的对应关系,求函数值或方程的解.求形如f(g(x))的复合函数值时,可先计算出内层函数的值,再计算外层函数的值.
12.考向 解一元二次不等式、根与系数关系的综合应用
分析 本题考查一元二次不等式的解法及应用,首先利用一元二次不等式和一元二次方程的关系,求出a,b的值,再代入所求的不等式中求解即可.
答案 x-12
则(-2)+(-3)=5a,(-2)×(-3)=ba,解得a=-1,b=-6,
所以不等式bx2-5x+a>0,即为-6x2-5x-1>0,化简得6x2+5x+1<0,
解得-12
13.考向 函数的对称性、函数的单调性
分析 由当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,可得f(x)在(1,+∞)上单调递减,又函数f(x)的图像关于直线x=1对称,可得a=f-12=f52,根据单调性即可得出a,b,c的大小关系.
答案 b>a>c
解析 ∵当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,
∴f(x)在(1,+∞)上单调递减,
又函数f(x)的图像关于直线x=1对称,
∴a=f-12=f52,
∵b=f(2),c=f(π),且2<52<π,
∴f(2)>f52>f(π),∴b>a>c.
故答案为b>a>c.
点评 本题考查函数单调性的应用,除了掌握单调性的概念外,还经常会用到变式公式:设x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,则f(x)在[a,b]上是减函数⇔f(x2)-f(x1)x2-x1<0⇔[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0.本题还涉及函数图像的对称性:若函数的图像关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x).掌握这些常用的结论,有助于快速解决一些较难的问题.
14.考向 函数的新定义问题、函数的单调性
分析 由题中的结论将f(x)=2x+91-2x,x∈0,12变形为f(x)=222x+321-2x,x∈0,12即可.
答案 25
解析 因为x∈0,12,所以2x∈(0,1),1-2x∈(0,1),
由f(x)=2x+91-2x得f(x)=222x+321-2x≥(2+3)22x+(1-2x)=25,当且仅当22x=31-2x,即x=15时,等号成立,
所以当x=15时,f(x)=2x+91-2x,x∈0,12取得最小值,最小值为25.故答案为25.
点评 本题考查函数新定义问题,关键是能理解新定义,创设满足新定义所需的条件,正确使用新定义解决问题,考查学生的逻辑推理能力,体现了对学生逻辑推理、数学抽象核心素养的培养.
15.考向 函数的解析式、函数的奇偶性
分析 (1)由题意知f(-2)=-f(2),直接代入解析式即可.
(2)先求出当x≤0时的解析式,然后即可得到函数在定义域上的解析式(分段函数).
(3)根据二次函数的图像特征画出f(x)的图像.
解析 (1)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,
所以对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),
所以f(-2)=-f(2)=-(22-2×2)=0.
(2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0.
设x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-f(x)=x2+2x,
所以f(x)=-x2-2x,
综上,f(x)=x2-2x,x>0,-x2-2x,x≤0.
(2)f(x)的图像如图所示:
点评 本题主要考查了利用函数的奇偶性求分段函数的解析式问题.利用二次函数的图像特征很容易完成本题,本题是一道考查数学基础知识的题目.
16.考向 集合的运算 解一元二次方程
分析 (1)由条件易知M应该是B的一个非空真子集,根据真子集的概念,用列举法可得所有这样的集合M.
(2)由(∁UB)∩A=⌀,可得A⊆B,当A=⌀时,求出b的取值范围,当A≠⌀时,由B={-4,1,2},分-4∈A、1∈A、2∈A分别求出b的取值范围,再把b的取值范围取并集,即得所求.
解析 (1)由条件易知当b=4时,A=⌀,又B={-4,1,2},
由A⫋M⫋B,知M应该是一个非空集合,且是B的一个真子集,用列举法可得这样的M共有6个,如下:{-4}、{1}、{2}、{-4,1}、{-4,2}、{1,2}.
(2)由(∁UB)∩A=⌀,可得A⊆B.
当A=⌀时,满足A⊆B,此时Δ=9-4b<0,解得b>94.
当A≠⌀时,∵B={-4,1,2},
∴若-4∈A,得b=-28,此时A={-4,7},不满足A⊆B;
若1∈A,得b=2,此时A={1,2},满足A⊆B;
若2∈A,得b=2,此时A={1,2},满足A⊆B.
综上可得,当A=⌀或A={1,2}时,满足A⊆B,即(∁UB)∩A=⌀.
故实数b的取值范围为bb>94或b=2.
点评 本题考查交集、补集的运算,利用集合的包含关系求参数,涉及一元二次方程的求解以及高次方程的求解,在求参数时,要注意对参数的取值进行分类讨论.考查运算求解能力.
17.考向 函数的应用 函数模型及其应用
分析 (1)分类讨论:当x∈(0,12]时,设f(x)=a(x-10)2+80(a≠0),把点B(12,78)代入即能求出解析式;当x∈(12,40]时,设f(x)=kx+b(k≠0),把B(12,78)、C(40,50)代入即能求出解析式.
(2)由(1)中的解析式,结合题设条件,列出不等式组,能求出老师在什么时间段安排核心内容教学,能使学生学习效果最佳.
解析 (1)①当x∈(0,12]时,设f(x)=a(x-10)2+80(a≠0),
将点B(12,78)代入,解得a=-12,则f(x)=-12(x-10)2+80.
②当x∈(12,40]时,设f(x)=kx+b(k≠0),将点B(12,78)、C(40,50)代入,
得12k+b=78,40k+b=50,解得k=-1,b=90,即f(x)=-x+90,
所以y=f(x)的函数解析式为f(x)=
-12(x-10)2+80,x∈(0,12],-x+90,x∈(12,40].
(2)由题意得f(x)>62,即0
解得4
点评 本题既考查了待定系数法求函数解析式以及分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.本题体现了数学建模核心素养的考查.
18.考向 函数的奇偶性 函数的单调性
分析 (1)利用赋值法,令x=y=0,可得f(0)=0;令x=2,y=1,可得f(1)=2.
(2)用-x代换y,代入函数满足的等式,可得f(x)+f(-x)=0,由此可得f(x)的奇偶性.
(3)根据函数是单调函数且f(0)
令x=2,y=1,则f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=6,故f(1)=2.
(2)f(x)为奇函数.证明:令y=-x,则f(0)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(3)∵f(x)为奇函数,且f(kx2)+f(2x-1)<0对任意x∈12,3恒成立,
∴f(kx2)
∴kx2<1-2x在x∈12,3上恒成立,
∴k<1x2-21x在x∈12,3上恒成立,
令g(x)=1x2-21x=1x-12-1,
∵12≤x≤3,∴13≤1x≤2,∴g(x)最小值为g(1)=-1,
∴k<-1,即实数k的取值范围(-∞,-1).
点评 本题考查了对函数概念、性质的理解和运用,根据题中所给函数的性质求函数值,判断并证明函数奇偶性、单调性,以及利用抽象函数的单调性解不等式问题.对于抽象函数问题常采用赋值法进行求解,二次函数在给定区间上恒成立求参数问题,一般是通过分离参数转化为一般二次函数求最值问题.
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