初中数学中考专区中考模拟综合训练题

这是一份初中数学中考专区中考模拟综合训练题，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题（本题有8小题，共66分等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣D．
2．（3分）可乐中含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天咖啡因的摄入量不能超过0.000085kg．则数0.000085用科学记数法表示为（ ）
A．8.5×10﹣5B．0.85×10﹣4C．8.5×105D．85×10﹣6
3．（3分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PAB．线段PBC．线段PCD．线段PD
4．（3分）一个不透明的盒子中装有2个红球、3个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，摸到哪种颜色的球的可能性最大（ ）
A．红色B．黄色C．白色D．红色和黄色
5．（3分）如图所示几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，0），B（2，1），当因变量y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x＜0C．x＞1D．x＜1
7．（3分）如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，则tan∠MFG的值是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（3分）如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a1x2（a1≠0）与抛物线C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于点M，N．若＝，则的值是（ ）
A．B．n﹣1C．nD．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知一组数据：1，2，2，3，这组数据的众数是 ．
12．（4分）整数x满足不等式2x+1＜8，则x的值可能是 .（写出一个符合的值即可）
13．（4分）计算（a﹣b）2（b﹣a）3的正确结果是 .（结果用幂的形式表示）
14．（4分）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，分别以点A，C为圆心画弧，交于M，N两点，直线MN与AD，BC分别交于点E，F，连结AF，CE．若AC＝4，EF＝2，则AE的长是 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B（0，4），点C（3，0），连结BC，⊙M在第一象限，且与BC和两条坐标轴都相切，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心M，则k的值为 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E在折线B﹣A﹣D上运动，连结CE，过点B作BM⊥CE于点M，则D，M两点之间的最小距离为 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分
17．（6分）计算：（﹣3）×÷（﹣）．
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）如图，利用总长为10m的篱笆和一面足够长的墙，围成一个矩形园子，园子的宽为x（m）．
（1）用关于x的代数式表示园子的面积；
（2）当x＝2时，求园子的面积．
20．（8分）某校举行了“庆祝建党100周年学党史竞赛”活动，并随即抽查了部分同学的成绩，整理并制作成图表如下：
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ，抽查的总人数为 人；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）如果比赛成绩在90分以上（含90分）为优秀，任意抽取一位同学，则成绩优秀的概率为多少？
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连结ED，EC，点F是线段AE上的一点，连结FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DC＝BC＝4，DE＝2EF，求DF的长．
22．（10分）每年3月中旬到4月下旬是白茶采摘季，某白茶种植镇每年都有10万采茶工按时到来．出于防疫安全考虑，最新采茶工住宿管理规定，一间房最多住6人或者每人2.5平方米的住宿面积．该镇原有的10万床位难以满足最新规定，要对原有床位进行改造的同时，还需寻找新的房间．
（1）根据测算，原有床位改造后的数量会下降20%，该镇已经找到新房间400间，则至少还需寻找多少平方米的空建筑搭建房间，才能满足住宿要求？
（2）该镇召集了150名工人同时对原有床位进行改造或对新住房进行床位搭建，若每个工人每天的工作能力为：从原有床位改造出40张床位或在新住房搭建20张床位，则如何分配工人，能让原有床位改造和新床位搭建同时完工？
23．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．
（1）求证：∠OBE＝∠ADO；
（2）若F，G分别是OD，AB的中点，且BC＝10，
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG时，求▱ABCD的面积．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结CA和CB．若射线CO，CA，CB中的一条平分另两条组成的角，则称该抛物线为“倍角抛物线”．
（1）求证：抛物线y＝ax2+c（ac≠0）是倍角抛物线；
（2）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是倍角抛物线，点A（3，0），B（8，0），将△ABC沿着直线AC翻折，得到△ADC．
①求该抛物线的解析式；
②点E为抛物线对称轴上的一个动点，连结AE，AC．是否存在这样的点E，使得tan∠CEA＝？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由
2021年浙江省湖州市长兴县中考数学检测试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分。
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣D．
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：B．
2．（3分）可乐中含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天咖啡因的摄入量不能超过0.000085kg．则数0.000085用科学记数法表示为（ ）
A．8.5×10﹣5B．0.85×10﹣4C．8.5×105D．85×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000085＝8.5×10﹣5．
故选：A．
3．（3分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PAB．线段PBC．线段PCD．线段PD
【分析】由垂线段最短可解．
【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．
故选：B．
4．（3分）一个不透明的盒子中装有2个红球、3个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，摸到哪种颜色的球的可能性最大（ ）
A．红色B．黄色C．白色D．红色和黄色
【分析】由题意可得，共有7种等可能的结果，利用概率公式分别求得摸出红球、白球和黄球的概率，据此即可求得答案．
【解答】解：∵从装有2个红球、3个白球和2个黄球的袋中任意摸出一个球有7种等可能结果，
其中摸出的球是红球的有2种、白球的结果有3种、黄球的有2种，
∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为、白球的概率是、黄球的概率为，
∴摸到白球的可能性大，
故选：C．
5．（3分）如图所示几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面可看到的图形是：
故选：B．
6．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，0），B（2，1），当因变量y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x＜0C．x＞1D．x＜1
【分析】由一次函数图象与x轴的交点坐标结合函数图象，即可得出：当x＞1时，y＞0，此题得解．
【解答】解：观察函数图象，可知：当x＞1时，y＞0．
故选：C．
7．（3分）如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，则tan∠MFG的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．
【解答】解：连接EG，
∵EG是切点，
∴EG过⊙O，
∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，
∴AE＝AB，EG＝BC，
根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．
∵tan∠MFG＝tan∠MEG＝＝．
故选：B．
8．（3分）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据题意可得方程10（a﹣2）+（﹣a+8）＝3a，解方程即可求解．
【解答】解：由题意可得，如图，
则有10（a﹣2）+（﹣a+8）＝3a，
解得：a＝2．
故选：A．
9．（3分）如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，由勾股定理可求AD的长，由面积法可求CE，由“AAS”可证△ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH＝，通过证明△ACF∽△BHF，可得＝，可求CF的长，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，
∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，
∴CD＝BD＝1，
∴AD＝＝＝，
∵S△ACD＝×AC×CD＝×AD×CE，
∴CE＝＝，
∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，
∴∠ADC＝∠H，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝，
∵AC⊥BC，BH⊥BC，
∴AC∥BH，
∴△ACF∽△BHF，
∴＝，
∴CF＝，
∴EF＝CF﹣CE＝﹣＝，
故选：B．
10．（3分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a1x2（a1≠0）与抛物线C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于点M，N．若＝，则的值是（ ）
A．B．n﹣1C．nD．
【分析】令a1x2＝a2x2+bx，求得P的横坐标，然后根据两抛物线的对称轴求得PM＝﹣，PN＝2（﹣﹣）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到﹣1＝n﹣2，即可求得＝n﹣1．
【解答】解：令a1x2＝a2x2+bx，
解得x1＝0，x2＝，
∴P的横坐标为，
∵抛物线C1：y＝a1x2（a1≠0）的对称轴为y轴，抛物线C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的对称轴为直线x＝﹣，
∴PM＝﹣，PN＝2（﹣﹣）＝﹣﹣，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝+，
∴＝，
∴＝n﹣2，
∴﹣1＝n﹣2，
∴＝n﹣1，
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知一组数据：1，2，2，3，这组数据的众数是 2 ．
【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数）得出即可．
【解答】解：数据1，2，2，3的众数是2，
故答案为：2．
12．（4分）整数x满足不等式2x+1＜8，则x的值可能是 2 .（写出一个符合的值即可）
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，求得x的取值范围，在范围内取值即可．
【解答】解：解不等式2x+1＜8得，x＜3，
故x的值可能是2．
故答案为：2．
13．（4分）计算（a﹣b）2（b﹣a）3的正确结果是 （b﹣a）5 .（结果用幂的形式表示）
【分析】先变形，再根据同底数幂的乘法解决此题．
【解答】解：（a﹣b）2（b﹣a）3
＝（b﹣a）2（b﹣a）3
＝（b﹣a）5．
14．（4分）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，分别以点A，C为圆心画弧，交于M，N两点，直线MN与AD，BC分别交于点E，F，连结AF，CE．若AC＝4，EF＝2，则AE的长是 ．
【分析】由作图可知：MN是AC的垂直平分线，即可得AE＝CE，AF＝CF，通过证明△AOE≌△AOF（ASA），可证明四边形ABCD为菱形，进而可求解AO，EO的长，再利用勾股定理可求解AE的长．
【解答】解：由作图可知：MN是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AF＝CF，∠AOE＝∠AOF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△AOE和△AOF中，
，
∴△AOE≌△AOF（ASA），
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
∴四边形ABCD为菱形，
∵AC＝4，EF＝2，
∴AO＝AC＝2，EO＝EF＝1，
∴AE＝．
故答案为．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B（0，4），点C（3，0），连结BC，⊙M在第一象限，且与BC和两条坐标轴都相切，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心M，则k的值为 36 ．
【分析】作MP⊥y轴于P，MQ⊥x轴于Q，MH⊥AB与H，根据题意证得P、H、Q是切点，四边形POQM是正方形，根据切线长定理得到BP+CQ＝BH+CH＝AB＝5，设M（m，m），得出PB＝m﹣4，CQ＝m﹣3，即可得到m﹣4+m﹣3＝5，解得m＝6，从而求得M的坐标，代入y＝（k≠0）即可求得k的值．
【解答】解：作MP⊥y轴于P，MQ⊥x轴于Q，MH⊥AB与H，
∴⊙M在第一象限，且与BC和两条坐标轴都相切，
∴MP＝MH＝MQ，都是⊙M的半径，
∴P、H、Q是切点，四边形POQM是正方形，
∴BP＝BH，CH＝CQ，
∴BP+CQ＝BH+CH＝AB，
∴点B（0，4），点C（3，0），
∴OB＝4，OC＝3，
∴AB＝＝＝5，
设M（m，m），
∵四边形POQM是正方形，
∴OP＝OQ＝m，
∴PB＝m﹣4，CQ＝m﹣3，
∴m﹣4+m﹣3＝5，
解得m＝6，
∴M（6，6），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心M，
∴k＝6×6＝36，
故答案为：36．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E在折线B﹣A﹣D上运动，连结CE，过点B作BM⊥CE于点M，则D，M两点之间的最小距离为 2﹣2 ．
【分析】取BC的中点T，连接MT，DT．求出DT，MT，根据DM≥DT﹣MT，可得结论．
【解答】解：取BC的中点T，连接MT，DT．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠DCB＝90°，
∵BT＝CT＝2
∴DT＝＝＝2，
∵BM⊥EC，
∴∠BMC＝90°，
∴MT＝BC＝2，
∵DM≥DT﹣MT，
∴DM≥2﹣2，
∴DM的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
三、解答题（本题有8小题，共66分
17．（6分）计算：（﹣3）×÷（﹣）．
【分析】利用有理数的乘法的法则，有理数的除法的法则对式子进行运算即可．
【解答】解：（﹣3）×÷（﹣）
＝﹣×（﹣4）
＝10．
18．（6分）解方程组：．
【分析】此题先采用加减消元法再用代入消元法最简单，将（1）+（2）即可达到消元的目的．
【解答】解：①+②，得3x＝9，
∴x＝3．（3分）
把x＝3代入②，得3﹣y＝5，
∴y＝﹣2．（6分）
∴原方程组的解是．（7分）
19．（6分）如图，利用总长为10m的篱笆和一面足够长的墙，围成一个矩形园子，园子的宽为x（m）．
（1）用关于x的代数式表示园子的面积；
（2）当x＝2时，求园子的面积．
【分析】（1）根据题意和图形可以用代数式表示出园子的面积；
（2）将x＝2代入（1）中的代数式即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
园子的面积为：（10−2x）x＝（﹣2x2+10x）m2；
（2）当x＝2时，
﹣2x2+10x＝﹣2×22+10×2＝﹣8+20＝12（m2），
答：园子的面积是12m2．
20．（8分）某校举行了“庆祝建党100周年学党史竞赛”活动，并随即抽查了部分同学的成绩，整理并制作成图表如下：
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ 20 ，n＝ 0.3 ，抽查的总人数为 50 人；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）如果比赛成绩在90分以上（含90分）为优秀，任意抽取一位同学，则成绩优秀的概率为多少？
【分析】（1）用第一组的频数除以频率求出样本容量，用样本容量乘以第三组的频率，用第二组的频数除以样本容量即可求出答案，
（2）根据m的值即可把直方图补充完整，
（3）用比赛成绩80分以上的频数除以样本容量即可．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量为5÷0.1＝50，
则m＝50×0.4＝20，
n＝15÷50＝0.3，
故答案为：20，0.3，50；
（2）频数分布直方图如图：
（3）如果比赛成绩在90分以上（含90分）为优秀，
任意抽取一位同学，则成绩优秀的概率为04+02＝0.6．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连结ED，EC，点F是线段AE上的一点，连结FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DC＝BC＝4，DE＝2EF，求DF的长．
【分析】（1）连接BD，由题意证得BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，则∠BDE+∠FDE＝90°，结论得证；
（2）由勾股定理求出BD的长，证明△FDE∽△FBD，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BCD＝90°，DC＝BC＝4，
∴BD＝＝＝4，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BDF＝90°，
∴△FDE∽△FBD，
∴，
又∵DE＝2EF，
∴，
∴DF＝2．
22．（10分）每年3月中旬到4月下旬是白茶采摘季，某白茶种植镇每年都有10万采茶工按时到来．出于防疫安全考虑，最新采茶工住宿管理规定，一间房最多住6人或者每人2.5平方米的住宿面积．该镇原有的10万床位难以满足最新规定，要对原有床位进行改造的同时，还需寻找新的房间．
（1）根据测算，原有床位改造后的数量会下降20%，该镇已经找到新房间400间，则至少还需寻找多少平方米的空建筑搭建房间，才能满足住宿要求？
（2）该镇召集了150名工人同时对原有床位进行改造或对新住房进行床位搭建，若每个工人每天的工作能力为：从原有床位改造出40张床位或在新住房搭建20张床位，则如何分配工人，能让原有床位改造和新床位搭建同时完工？
【分析】（1）设还需寻找多少平方米的空建筑搭建房间，才能满足住宿要求，根据找到的新房间及寻找到的空建筑搭建房间可容纳的床位数不少于100000×20%张，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）设应安排m名工人对原有床位进行改造，则安排（150﹣m）名工人对新住房进行床位搭建，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合让原有床位改造和新床位搭建同时完工，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出m的值，再将其代入（150﹣m）中即可求出安排对新住房进行床位搭建的工人数．
【解答】解：（1）设还需寻找多少平方米的空建筑搭建房间，才能满足住宿要求，
依题意得：400×6+≥100000×20%，
解得：x≥44000．
答：至少还需寻找44000平方米的空建筑搭建房间，才能满足住宿要求．
（2）设应安排m名工人对原有床位进行改造，则安排（150﹣m）名工人对新住房进行床位搭建，
依题意得：＝，
解得：m＝100，
经检验，m＝100是原方程的解，且符合题意，
∴150﹣m＝150﹣100＝50（人）．
答：应安排100名工人对原有床位进行改造，50名工人对新住房进行床位搭建，才能让原有床位改造和新床位搭建同时完工．
23．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．
（1）求证：∠OBE＝∠ADO；
（2）若F，G分别是OD，AB的中点，且BC＝10，
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG时，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠ADB＝∠DBC，再证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠OBE＝∠OBC，进而可证明结论；
（2）①首先证明EG＝AB，再根据三角形中位线的性质可得EF＝CD，进而得到EG＝EF，可证明结论；
②由①得EF∥AB，由EF⊥EG，G是AB的中点，可证得AE＝BE，设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，利用勾股定理可求解x值，进而可求解AC，BE，再利用平行四边形的面积公式可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD＝2AD，
∴AD＝DO，
∴BC＝BO，
∵E是CO中点，
∴∠OBE＝∠OBC，
∴∠OBE＝∠ADO；
（2）①证明：∵BC＝BO，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA＝90°，
∵G为AB中点，
∴EG＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF＝CD
∴EG＝EF，
∴△EFG是等腰三角形；
②由①得EF∥AB，
∵EF⊥EG，
∴EG⊥AB，
∵G是AB的中点，
∴AE＝BE，
设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，
∴BE＝AE＝3x，
在Rt△BEC中，BC＝10，
∴EC2+BE2＝BC2，
即x2+（3x）2＝102，
解得x＝，
∴AC＝，BE＝，
∴S▱ABCD＝2S△ABC＝．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结CA和CB．若射线CO，CA，CB中的一条平分另两条组成的角，则称该抛物线为“倍角抛物线”．
（1）求证：抛物线y＝ax2+c（ac≠0）是倍角抛物线；
（2）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是倍角抛物线，点A（3，0），B（8，0），将△ABC沿着直线AC翻折，得到△ADC．
①求该抛物线的解析式；
②点E为抛物线对称轴上的一个动点，连结AE，AC．是否存在这样的点E，使得tan∠CEA＝？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由
【分析】（1）由抛物线y＝ax2+c的对称轴是y轴，与x轴的两个交点关于y轴对称可得；
（2）①作AF⊥BC于F，可得AF＝3，由AB＝5求得，BF＝4，在Rt△BOC中，BC2﹣CO2＝AB2可求得；
②作△ACE的外接圆⊙I，作直径AF，连接CF，求出圆的半径为及圆心的坐标（，6），设E（，a），利用EI＝可求得．
【解答】（1）证明：设抛物线y＝ax2+c顶点为C，与x轴的两个交点为A，B，
由ax2+c＝0得，
x1＝，x2＝﹣，
∴OA＝OB，
∵抛物线y＝ax2+c的对称轴是y轴，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝BCO，
即CO平分∠ACB，
∴抛物线y＝ax2+c是倍角抛物线；
（2）解：①如图1，
作AF⊥BC于F，
∵CA平分∠BCO，
AO⊥CO，
∴∠CAO＝∠CAF，
∴AF＝OA＝3，CF＝OC，
在Rt△ABF中，AB＝OB﹣OA＝5，
∴BF＝4，
在Rt△BOC中，BC＝BF+CF＝4+OC，
BC2﹣CO2＝AB2，
∴（4+OC）2﹣OC2＝64，
∴OC＝6，
∴C（0，6），
设y＝a（x﹣3）•（x﹣8），
∴a•（﹣3）×（﹣8）＝6，
∴a＝，
∴抛物线的解析式是y＝（x﹣3）•（x﹣8）；
解：②如图2，
假设存在点E，作△ACE的外接圆⊙I，作直径AF，连接CF，
∴∠ACF＝90°，∠F＝∠AEC，
在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝6，
∴AC＝3，tan∠ACO＝，
∴sinF＝sin∠CEA＝sin∠ACO＝＝，
在Rt△CAF中，
AF＝＝＝15
∴AI＝，
作AC的垂直平分线交AC于M，交x轴于G，作MN⊥AB于N，
∴M（，3），
可知△GMN∽△CAO，
∴＝＝，
∴＝，
∴GN＝6，
∴OG＝GN﹣ON＝6﹣＝，
∴G（﹣，0），
∴直线GM的解析式是：y＝，
设I（a，），
由AI＝得，
（a﹣3）2+（）2＝（）2，
∴a1＝，a2＝﹣（舍去），
∴I（，6），
设E（，b），
由EI＝得，
（﹣）2+（b﹣6）2＝（）2，
∴b1＝6﹣，b2＝6，
∴E（，6﹣）或（，6）．
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日期：2021/11/10 23:45:08；用户：小老师；邮箱：13469138795；学号：38673087分数段
频数
频率
80≤x＜85
5
0.1
85≤x＜90
15
n
90≤x＜95
m
0.4
95≤x≤100
10
0.2
分数段
频数
频率
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5
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85≤x＜90
15
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