全国卷新高考地区2021~2022学年高一上 期中测试数学卷（解析版）

全国卷新高考地区2021~2022学年高一上

期中测试数学卷

测试时间：120分钟  满分：150分

一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得：，即.故选B.

2．命题“”的否定（   ）

A．      B．

C．      D．

【答案】D

【解析】因为原命题“”，所以其否定为“”，故选D.

3．对于任意实数，，，，下列命题正确的是（    ）

A．若，则  B．若，则

C．若，则  D．若，，则

【答案】C

【解析】A：若，则，故A错误；

B：若，则，则，故B错误；

C：因为，则，两边同除以，得，故C正确；

D：若，则，故D错误.

故选C.

4．“”是“一元二次方程无实数根”的（   ）

A．充分不必要条件  B．充要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若一元二次方程无实数根，则，解得；

反之若，则，则一元二次方程无实数根.

所以“”是“一元二次方程无实数根”的充要条件.故选B

5．下列函数中，与函数相等的是   

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A，函数，与的解析式不同，不是相等函数；

对于B，函数，与的定义域相同，解析式也相同，是相等函数；

对于C，函数，与的定义域不同，不是相等函数；

对于D，函数，与的定义域不同，不是相等函数．

故选B．

6．若函数，且，则等于　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，，即，则，

若，即，解可得，

故选C．

7．关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】不等式，

时解集为，时解集为，

时解集为，

由题意可得时，时，解得，

则的最大值与最小值的差为4，故选B.

8．已知定义在上的奇函数满足，函数的图像关于对称且函数在区间上单调递增，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意，函数周期， 所以，

，而函数图像关于对称，所以，

.

又定义在上的奇函数在上单调递增，所以在上单调递增，

所以，即.

故选D.

二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）

9．已知关于的不等式的解集为，则（    ）

A． B．不等式的解集是

C． D．不等式的解集为

【答案】ABD

【解析】关于的不等式的解集为，，A选项正确；

且-2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得

，则，则，C选项错误；

不等式即为，解得，B选项正确；

不等式即为，即，解得或，D选项正确.

故选ABD.

10．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．是偶函数       B．是偶函数

C．是奇函数      D．是奇函数

【答案】BC

【解析】∵是奇函数，是偶函数，∴是偶函数，是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得为奇函数，为奇函数，故选项A错误、C正确；由两个偶函数的和还是偶函数知B正确；由为奇函数得为偶函数，故D错误.

故选BC.

11．下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】ACD

【解析】易知C正确；

对A，因为，所以，则，当且仅当时取“=”，正确；

对B，若，则，错误；

对D，因为，，所以，则，当且仅当时取“=”，正确.

故选ACD.

12．已知函数则（    ）

A．的最大值为，最小值为 B．的最大值为，无最小值

C．的最大值为，无最小值 D．的最大值为，最小值为

【答案】C

【解析】在同一坐标系中先画出与的图象，

然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值．

由图象可知，当时，取得最大值，

所以由得或．

结合函数图象可知当时，函数有最大值，无最小值．

故选C．

三、填空题（每小题5分，共计20分）

13．设全集，，若={4}，则实数的值为__________.

【答案】或

【解析】∵，，={4}，∴，∴或，故答案为：或.

14．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【解析】函数对称轴为，

因为函数在区间上不单调，所以，解得，

所以实数的取值范围是，故答案为：

15．已知幂函数的图象过点，则___________.

【答案】

【解析】因为是幂函数，所以，，又的图象过点，

所以，解得，所以.故答案为：.

16．已知函数，且对任意的，存在，使得，则m的取值范围是_________．

【答案】．

【解析】时，，

时，，

若，则，此时由题意，，所以满足题意；

时，，所以，解得，所以，

综上的取值范围是，即．故答案为：．

四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）

17．（10分）已知．

（1）求，（a）（3）的值；

（2）若，，求的值域．

【解析】（1）因为．

所以．

（a）（3）．

（2）因为，

又因为，，

所以-1≤x-3≤3，所以0≤(x-3)2≤9，

得-4≤(x-3)2-4≤5．

所以当，时，的值域是，．

18．（12分）若集合，.

（1）若，写出的子集；

（2）若，求实数的取值范围.

【解析】（1），

若，则，

此时，

其子集为：，，，，，，，；

（2）若，则，

①若中没有元素即，则，

此时；

②若中只有一个元素，则，此时，

集合，故舍；

③若中有两个元素，则，此时.

因为中也有两个元素，且，则必有，

由韦达定理得，无解，故舍.

综上所述，当时，A.

所以实数的取值范围：.

19．（12分）设，：实数满足．

（1）若，且，都为真命题，求的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【解析】（1）由．得，得，

若，则，

若，都为真命题，则，得，

即的取值范围是，．

（2）若是的充分不必要条件，

则

则，即，得即可．

即实数的取值范围是，．

20．（12分）如图，某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)铺草坪，造价为80元/m2.

（1）设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，求出S关于x的函数关系式；.

（2）当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值.

【解析】（1）设，则，所以所以，

所以

（2）因为

当且仅当，即时，(元)

答：当AD的长为米时，总造价有最小值11800元.

21．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.

（1）求出函数在上的解析式，并补出函数在轴右侧的图像；

（2）①根据图像写出函数的单调递减区间；

②若时函数的值域是，求的取值范围.

【解析】（1）当，，则

因为为奇函数，则，

即时，

所以，

图象如下：

（2）如图可知，减区间为：和

，

令

∵∴

故由图可知．

22．（12分）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的取值范围：

（3）若实数满足，求的最小值.

【解析】（1）是幂函数，则，，又是偶函数，所以是偶数，

在上单调递增，则，，所以或2．

所以；

（2）由（1）偶函数在上递增，

．

所以的范围是．

（3）由（1），，，

，

当且仅当，即时等号成立．

所以的最小值是2．