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4、【全国百强校】山东省枣庄市第三中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题（教师版）
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这是一份4、【全国百强校】山东省枣庄市第三中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题（教师版），共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
满分150分 时间:120分钟
第Ⅰ卷(选择题,共52分)
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)已知集合P={-1,0,1,2,3},集合Q={x|-1
C.{-1,0,1} D.{0,1,2}
1.
考向 交集的运算.
思路分析 找出两个集合的公共元素即可.
解析 由题意知P∩Q={0,1},故选B.
答案 B
方法技巧 求集合交集的方法:求A∩B的关键是找出集合A与集合B的所有公共元素,再用适当的方法将A∩B表示出来,即①寻找公共元素;②写成集合的形式.
2.(★)下列函数中,是同一函数的是( )
A.y=x2与y=x|x|
B.y=x2与y=(x)2
C.y=x2+xx与y=x+1
D.y=2x+1与y=2t+1
2.
考向 判断两个函数是不是同一函数.
思路分析 判断定义域和对应关系是否完全相同.
解析 A中,y=x|x|=x2,x≥0,-x2,x<0,与y=x2的对应关系不同,故两个函数不是同一函数.
B中,y=x2的定义域为R,而y=(x)2的定义域为[0,+∞),故两个函数不是同一函数.
C中,y=x2+xx的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而y=x+1的定义域为R,故两个函数不是同一函数.
D中,两个函数的定义域和对应关系都相同,故是同一函数.
故选D.
答案 D
方法技巧 在判断两个函数是不是同一函数时,与用什么字母表示自变量、因变量无关.
3.(★)函数f(x)=x+3+1x+1的定义域为( )
A.{x|x≥-1}
B.{x|x>-3且x≠-1}
C.{x|x≥-3且x≠-1}
D.{x|x≥-3}
3.
考向 函数的定义域.
解析 由题意知x+3≥0且x+1≠0,解得x≥-3且x≠-1,所以f(x)=x+3+1x+1的定义域为{x|x≥-3且x≠-1},故选C.
答案 C
方法技巧 当使函数解析式有意义的限制条件不止一个时,确定定义域的步骤为:1.确定所有的限制条件,不能遗漏,2.分别求由每个限制条件所确定的自变量的取值集合,3.求这些集合的交集.
4.(★)“x>0”是“x2+x>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.件
考向 充分、必要条件.
解析 由x2+x=x(x+1)>0解得x>0或x<-1,所以“x>0”是“x2+x>0”的充分不必要条件,故选A.
答案 A
易错警示 一定要弄清谁是谁的什么条件,千万不要弄反.
5.(★★)已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是( )
A.t>s B.t≥s
C.t
考向 比较大小.
思路分析 作差比较或利用基本不等式求解.
解析 解法一:s-t=a+b2+4-(a+4b)=b2-4b+4=(b-2)2≥0,所以t≤s.
解法二:a+b2+4≥a+4b,当且仅当b=2时等号成立,所以t≤s.故选D.
答案 D
方法技巧 比较两个数或代数式的大小,常用的方法是作差法(与0比较),作商法(与1比较).还可以利用基本不等式,配方等方法进行比较.
6.(★★)下列函数中,值域是(0,+∞)的是( )
A.y=2x+1(x>0) B.y=x2
C.y=1x2-3 D.y=2x
6.
考向 函数的值域.
思路分析 利用图象或换元法得各选项的值域,从而得结论.
解析 A选项中函数的值域为(1,+∞);B选项中函数的值域为[0,+∞);C选项中函数的值域为(0,+∞);D选项中函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞).故选C.
答案 C
易错警示 在利用换元法求函数值域时,一定要注意换元后新元的取值范围.
7.(★★)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.
考向 充分、必要条件.
思路分析 利用充分条件和必要条件的定义结合基本不等式,特值法即可得结果.
解析 因为a>0,b>0,所以4≥a+b≥2ab,所以2≥ab,所以ab≤4;若a=4,b=14,则ab=1<4,但a+b=4+14>4,即ab≤4推不出a+b≤4,所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件,故选A.
答案 A
8.(★★)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={x|(x-m)[x-(m+2)]>0},若A∪B=R,则实数m的取值范围是( )
A.m>-1 B.m<2
C.-1
考向 集合运算中求参数的取值范围.
思路分析 先求出集合A与B,然后根据A∪B=R求实数m的取值范围.
解析 集合A={x|-1m+2或x-1,所以-1
9.(★★★)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式2x+my≥4恒成立,则m的取值范围是( )
A.m≥2 B.m≥2
C.0
考向 基本不等式及恒成立问题.
思路分析 两次利用基本不等式求得m的取值范围.
解析 因为xy>0,所以x与y同号,又x+y=2,所以x>0,y>0,因为x+y=2≥2xy,所以xy≤1,
当且仅当x=y=1时取等号,
又2x+my≥22mxy≥22m≥4,
所以m≥2,故选B.
答案 B
小题巧解 令x=1,y=1,m=3,则2x+my=5>4,故选B.
误区警示 在利用基本不等式时一定要写上等号成立的条件.
10.(★★★)某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x,生产x件所需成本为C(元),其中C=500+30x,若要求每天获利不少于1300元,则日销量x的取值范围是( )
A.20≤x≤30,x∈N* B.20≤x≤45,x∈N*
C.15≤x≤30,x∈N* D.15≤x≤45,x∈N*
10.
考向 一元二次不等式的实际问题.
思路分析 利用关于x的函数表示每天的获利,然后令获利≥1300,求得x的取值范围即可.
解析 由题意知每天的获利为Px-C=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500,令-2x2+130x-500≥1300,解得20≤x≤45,x∈N*,故选B.
答案 B
易错警示 在求解实际问题时,一定要注意求出的结果与实际是否相符,例如本题的自变量一定取整.
二、多项选择题(共3题,每小题4分,共12分,在每小题给出的选项中,不止一项是符合题目要求的)
11.(★★)设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,则实数a的值可以为( )
A.15 B.0
C.3 D.13
11.
考向 由集合间的关系求参数的值.
思路分析 求得集合A,B,然后由A∩B=B求得实数a的值.
解析 由题意知A={3,5}.
因为A∩B=B,所以B⊆A.
当B=⌀时,a=0,当B≠⌀时,
若B={3},则3∈B={x|ax-1=0},得a=13,
同理,若B={5},则a=15.
综上,a=0或13或15.
答案 ABD
注意 一是利用性质A∩B=B⇔B⊆A来转化;二是要弄清楚B={x|ax-1=0}≠xx=1a,要注意对a是不是0进行讨论.
12.(★★★)有下面四个不等式,其中恒成立的有( )
A.a+b2≥ab
B.a(1-a)≤14
C.a2+b2+c2≥ab+bc+ca
D.ba+ab≥2
12.
考向 基本不等式与函数的值域.
解析 对于选项A,只有在a>0,b>0时不等式才成立;
对于选项B,a(1-a)=-a-122+14≤14,故B恒成立;
对于选项C,解法一:a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca成立.
解法二:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,
展开得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,故C恒成立;
对于选项D,只有当a,b同号时不等式才成立,
如a=-1,b=1时,ba+ab=-2<2,故D不恒成立.故选BC.
答案 BC
方法技巧 判断不等式是否恒成立,先移项,然后通过基本不等式,配方等方法来解,当然对于选择题也可以用特值法进行排除.
13.(★★★)下列命题正确的是( )
A.∃a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0
B.∀a∈R,∃x∈R,使得ax>2
C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件
D.若a≥b>-1,则a1+a≥b1+b
13.
考向 不等式性质、充分条件与必要条件、全称量词命题与存在量词命题.
思路分析 由不等式性质,举特例即可得答案.
解析 对于A,当a=2,b=-1时,|a-2|+(b+1)2≤0成立;
对于B,当a=0时,不存在x使得ax>2;
对于C,ab≠0,即a≠0且b≠0,a2+b2≠0,即a,b不同时为0,所以ab≠0是a2+b2≠0的充分不必要条件;
对于D,若a≥b>-1,则1+a≥1+b>0,因为a1+a-b1+b=a-b(1+a)(1+b),
又a≥b,所以a1+a≥b1+b,故选AD.
答案 AD
方法技巧 对于存在问题,只要找出一个例子即可判断正确,对于任意问题,只要找出一个特例使等式或不等式不成立,即可判断不成立.
第Ⅱ卷(非选择题,98分)
三、填空题(共4小题,每小题4分,共16分,每17题每个空2分)
14.(★)若2
考向 不等式性质的应用.
解析 因为3
15.(★)若命题“∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为 .
15.
考向 求与存在量词命题有关的参数的取值范围.
思路分析 写出命题的否定,然后求得实数a的取值范围.
解析 命题“∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0”,由题意得Δ=(a-1)2-4≤0,所以-1≤a≤3.
答案 -1≤a≤3
方法技巧 当求解与含有量词命题有关的问题不好理解时,可以利用命题的否定求解.
16.(★)设U为全集,对集合X、Y,定义运算“*”,X*Y=∁U(X∩Y).对于集合U={1,2,3,4,5,6,7,8},X={1,2,3},Y={3,4,5},Z={2,4,7},则(X*Y)*Z= .
16.
考向 集合运算的新定义问题.
解析 由题意得 X*Y=∁U(X∩Y)={1,2,4,5,6,7,8},所以(X*Y)*Z={1,3,5,6,8}.
答案 {1,3,5,6,8}
方法技巧 解决本题的关键是正确理解新运算的意义,将新定义问题通过已学过的一个或多个知识来解决.
17.(★★)已知函数f(x)=-x2+3x+4,则函数y=f(x)的定义域为 ;函数y=f(2x+1)的定义域是 .
17.
考向 函数的定义域.
思路分析 定义域是自变量x的取值范围;f(x)中的x与f(2x+1)中的2x+1的取值范围相同.
解析 由题意得-x2+3x+4=-(x-4)(x+1)≥0,所以-1≤x≤4,
所以函数y=f(x)的定义域为{x|-1≤x≤4}.
由-1≤2x+1≤4,
解得-1≤x≤32,
所以y=f(2x+1)的定义域是x-1≤x≤32.
答案 {x|-1≤x≤4};x-1≤x≤32
四、解答题(本题共6小题,共82分)
18.(★★)(12分)已知集合A={x|x2-4ax+3a2<0},集合B={x|(x-3)(2-x)≥0}.
(1)当a=1时,求A∩B,A∪B;
(2)设a>0,若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
18.
考向 集合的基本运算,参数的取值范围.
思路分析 (1)化简集合A,B,再进行集合的交、并运算;
(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,得到集合B⫋A,再利用数轴得到关于a的不等式组,解不等式组即可.
解析 (1)当a=1时,
A={x|x2-4x+3<0}={x|1
所以A∩B={x|2≤x<3},A∪B={x|1
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,所以B⫋A,
所以a<2,3a>3.解得1
19.
考向 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围.
思路分析 求出命题p与q为真命题的等价条件,利用p与q为真命题即可求得a的取值范围.
解析 “对任意x∈[1,2],x2-a≥0”,
则a≤x2,
∵1≤x2≤4,
∴a≤1,即命题p为真时,a≤1.
“存在x∈R,x2+2ax+2-a=0”,
则Δ=4a2-4(2-a)≥0,
即a2+a-2≥0,
解得a≥1或a≤-2,
即命题q为真时,a≥1或a≤-2.
命题p与q都是真命题,
则有a≤1,a≥1或a≤−2,
解得a=1或a≤-2.
故实数a的取值范围是{a|a=1或a≤-2}.
20.(★★★)(14分)解关于x的不等式ax2-(2a+3)x+6>0(a∈R).
20.
考向 一元二次不等式的解法.
思路分析 原不等式等价于(ax-3)(x-2)>0,对a分情况讨论即可得结果.
解析 原不等式可化为(ax-3)(x-2)>0,
当a=0时,解得x<2,
当a>0时,不等式化为x-3a(x-2)>0,
①当3a>2,即03a或x<2.
②当3a=2,即a=32时,解得x≠2.
③当3a<2,即a>32时,解得x>2或x<3a.
当a<0时,不等式化为x-3a(x-2)<0,
解得3a
当a<0时,原不等式的解集为3a,2,
当a=0时,原不等式的解集为(-∞,2),
当0
当a>32时,原不等式的解集为-∞,3a∪(2,+∞).
21.(★★★)(14分)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+4(a∈R).
(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(1,b),求a和b的值;
(2)若对任意x∈[1,4],f(x)≥-a-1恒成立,求实数a的取值范围.
21.
考向 三个“二次”之间的关系、一元二次不等式的求参问题.
思路分析 (1)由根与系数的关系即可求得a与b的值;
(2)讨论x=1和1
(2)∵对任意x∈[1,4],f(x)≥-a-1恒成立,
∴a(x-1)≤x2-2x+5对任意的x∈[1,4]恒成立.(6分)
当x=1时,0≤4恒成立,符合题意,所以a∈R.(7分)
当x∈(1,4]时,问题等价于a≤x2-2x+5x-1恒成立,
x2-2x+5x-1=x-1+4x-1,
∵1
当且仅当x-1=4x-1,即x=3时取等号.
∴a≤4,
∴a的取值范围为(-∞,4].(14分)
易错警示 将参数分离时,注意分母不等于0,需分类讨论.
22.(★★★)(14分)运货卡车以xkm/h的速度匀速行驶130km,按交通法规限制50≤x≤100(单位:km/h).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油2+x2360升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
22.
考向 基本不等式的实际应用问题.
思路分析 (1)求出行车所用时间,根据汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油2+x2360升,司机的工资是每小时14元,可得行车总费用;
(2)利用基本不等式,即可求得当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
解析 (1)行车所用时间为130x(h),
根据题意,可得行车总费用
y=130x×2×2+x2360+14×130x
=2340x+13x18(50≤x≤100).
(2)y=2340x+13x18≥2610,
当且仅当2340x=13x18,
即x=1810时,等号成立,
故当x=1810km/h时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为2610 元.
方法技巧 正确理解题意并能结合基本不等式解题是关键.
23.(★★★)(14分)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设h(x)=f(x)-2tx,当x∈[1,3]时,求函数h(x)的最小值.
23.
考向 函数的解析式、二次函数的最值.
思路分析 (1)先设出函数的解析式,然后由题意列方程组求解即可;
(2)表示出h(x),进而得h(x)图象的对称轴为x=t-1,然后根据对称轴及x的取值范围分情况讨论.
解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+3,
∴c=2,a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x+3,
即c=2,2ax+a+b=2x+3,∴c=2,2a=2,a+b=3,
解得c=2,a=1,b=2,∴f(x)=x2+2x+2.(6分)
(2)由题意得h(x)=x2+2(1-t)x+2,其图象的对称轴为直线x=t-1,
①当t-1≤1,即t≤2时,函数在[1,3]上单调递增,h(x)min=h(1)=5-2t.(9分)
②当1
③当t-1≥3,即t≥4时,h(x)的最小值为h(3)=-6t+17.
综上:当t≤2时,h(x)min=5-2t;
当2
易错警示 对于含参问题的最值问题需要根据实际情况进行分类讨论.
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
满分150分 时间:120分钟
第Ⅰ卷(选择题,共52分)
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)已知集合P={-1,0,1,2,3},集合Q={x|-1
C.{-1,0,1} D.{0,1,2}
1.
考向 交集的运算.
思路分析 找出两个集合的公共元素即可.
解析 由题意知P∩Q={0,1},故选B.
答案 B
方法技巧 求集合交集的方法:求A∩B的关键是找出集合A与集合B的所有公共元素,再用适当的方法将A∩B表示出来,即①寻找公共元素;②写成集合的形式.
2.(★)下列函数中,是同一函数的是( )
A.y=x2与y=x|x|
B.y=x2与y=(x)2
C.y=x2+xx与y=x+1
D.y=2x+1与y=2t+1
2.
考向 判断两个函数是不是同一函数.
思路分析 判断定义域和对应关系是否完全相同.
解析 A中,y=x|x|=x2,x≥0,-x2,x<0,与y=x2的对应关系不同,故两个函数不是同一函数.
B中,y=x2的定义域为R,而y=(x)2的定义域为[0,+∞),故两个函数不是同一函数.
C中,y=x2+xx的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而y=x+1的定义域为R,故两个函数不是同一函数.
D中,两个函数的定义域和对应关系都相同,故是同一函数.
故选D.
答案 D
方法技巧 在判断两个函数是不是同一函数时,与用什么字母表示自变量、因变量无关.
3.(★)函数f(x)=x+3+1x+1的定义域为( )
A.{x|x≥-1}
B.{x|x>-3且x≠-1}
C.{x|x≥-3且x≠-1}
D.{x|x≥-3}
3.
考向 函数的定义域.
解析 由题意知x+3≥0且x+1≠0,解得x≥-3且x≠-1,所以f(x)=x+3+1x+1的定义域为{x|x≥-3且x≠-1},故选C.
答案 C
方法技巧 当使函数解析式有意义的限制条件不止一个时,确定定义域的步骤为:1.确定所有的限制条件,不能遗漏,2.分别求由每个限制条件所确定的自变量的取值集合,3.求这些集合的交集.
4.(★)“x>0”是“x2+x>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.件
考向 充分、必要条件.
解析 由x2+x=x(x+1)>0解得x>0或x<-1,所以“x>0”是“x2+x>0”的充分不必要条件,故选A.
答案 A
易错警示 一定要弄清谁是谁的什么条件,千万不要弄反.
5.(★★)已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是( )
A.t>s B.t≥s
C.t
考向 比较大小.
思路分析 作差比较或利用基本不等式求解.
解析 解法一:s-t=a+b2+4-(a+4b)=b2-4b+4=(b-2)2≥0,所以t≤s.
解法二:a+b2+4≥a+4b,当且仅当b=2时等号成立,所以t≤s.故选D.
答案 D
方法技巧 比较两个数或代数式的大小,常用的方法是作差法(与0比较),作商法(与1比较).还可以利用基本不等式,配方等方法进行比较.
6.(★★)下列函数中,值域是(0,+∞)的是( )
A.y=2x+1(x>0) B.y=x2
C.y=1x2-3 D.y=2x
6.
考向 函数的值域.
思路分析 利用图象或换元法得各选项的值域,从而得结论.
解析 A选项中函数的值域为(1,+∞);B选项中函数的值域为[0,+∞);C选项中函数的值域为(0,+∞);D选项中函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞).故选C.
答案 C
易错警示 在利用换元法求函数值域时,一定要注意换元后新元的取值范围.
7.(★★)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.
考向 充分、必要条件.
思路分析 利用充分条件和必要条件的定义结合基本不等式,特值法即可得结果.
解析 因为a>0,b>0,所以4≥a+b≥2ab,所以2≥ab,所以ab≤4;若a=4,b=14,则ab=1<4,但a+b=4+14>4,即ab≤4推不出a+b≤4,所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件,故选A.
答案 A
8.(★★)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={x|(x-m)[x-(m+2)]>0},若A∪B=R,则实数m的取值范围是( )
A.m>-1 B.m<2
C.-1
考向 集合运算中求参数的取值范围.
思路分析 先求出集合A与B,然后根据A∪B=R求实数m的取值范围.
解析 集合A={x|-1
9.(★★★)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式2x+my≥4恒成立,则m的取值范围是( )
A.m≥2 B.m≥2
C.0
考向 基本不等式及恒成立问题.
思路分析 两次利用基本不等式求得m的取值范围.
解析 因为xy>0,所以x与y同号,又x+y=2,所以x>0,y>0,因为x+y=2≥2xy,所以xy≤1,
当且仅当x=y=1时取等号,
又2x+my≥22mxy≥22m≥4,
所以m≥2,故选B.
答案 B
小题巧解 令x=1,y=1,m=3,则2x+my=5>4,故选B.
误区警示 在利用基本不等式时一定要写上等号成立的条件.
10.(★★★)某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x,生产x件所需成本为C(元),其中C=500+30x,若要求每天获利不少于1300元,则日销量x的取值范围是( )
A.20≤x≤30,x∈N* B.20≤x≤45,x∈N*
C.15≤x≤30,x∈N* D.15≤x≤45,x∈N*
10.
考向 一元二次不等式的实际问题.
思路分析 利用关于x的函数表示每天的获利,然后令获利≥1300,求得x的取值范围即可.
解析 由题意知每天的获利为Px-C=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500,令-2x2+130x-500≥1300,解得20≤x≤45,x∈N*,故选B.
答案 B
易错警示 在求解实际问题时,一定要注意求出的结果与实际是否相符,例如本题的自变量一定取整.
二、多项选择题(共3题,每小题4分,共12分,在每小题给出的选项中,不止一项是符合题目要求的)
11.(★★)设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,则实数a的值可以为( )
A.15 B.0
C.3 D.13
11.
考向 由集合间的关系求参数的值.
思路分析 求得集合A,B,然后由A∩B=B求得实数a的值.
解析 由题意知A={3,5}.
因为A∩B=B,所以B⊆A.
当B=⌀时,a=0,当B≠⌀时,
若B={3},则3∈B={x|ax-1=0},得a=13,
同理,若B={5},则a=15.
综上,a=0或13或15.
答案 ABD
注意 一是利用性质A∩B=B⇔B⊆A来转化;二是要弄清楚B={x|ax-1=0}≠xx=1a,要注意对a是不是0进行讨论.
12.(★★★)有下面四个不等式,其中恒成立的有( )
A.a+b2≥ab
B.a(1-a)≤14
C.a2+b2+c2≥ab+bc+ca
D.ba+ab≥2
12.
考向 基本不等式与函数的值域.
解析 对于选项A,只有在a>0,b>0时不等式才成立;
对于选项B,a(1-a)=-a-122+14≤14,故B恒成立;
对于选项C,解法一:a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca成立.
解法二:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,
展开得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,故C恒成立;
对于选项D,只有当a,b同号时不等式才成立,
如a=-1,b=1时,ba+ab=-2<2,故D不恒成立.故选BC.
答案 BC
方法技巧 判断不等式是否恒成立,先移项,然后通过基本不等式,配方等方法来解,当然对于选择题也可以用特值法进行排除.
13.(★★★)下列命题正确的是( )
A.∃a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0
B.∀a∈R,∃x∈R,使得ax>2
C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件
D.若a≥b>-1,则a1+a≥b1+b
13.
考向 不等式性质、充分条件与必要条件、全称量词命题与存在量词命题.
思路分析 由不等式性质,举特例即可得答案.
解析 对于A,当a=2,b=-1时,|a-2|+(b+1)2≤0成立;
对于B,当a=0时,不存在x使得ax>2;
对于C,ab≠0,即a≠0且b≠0,a2+b2≠0,即a,b不同时为0,所以ab≠0是a2+b2≠0的充分不必要条件;
对于D,若a≥b>-1,则1+a≥1+b>0,因为a1+a-b1+b=a-b(1+a)(1+b),
又a≥b,所以a1+a≥b1+b,故选AD.
答案 AD
方法技巧 对于存在问题,只要找出一个例子即可判断正确,对于任意问题,只要找出一个特例使等式或不等式不成立,即可判断不成立.
第Ⅱ卷(非选择题,98分)
三、填空题(共4小题,每小题4分,共16分,每17题每个空2分)
14.(★)若2
考向 不等式性质的应用.
解析 因为3
15.(★)若命题“∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为 .
15.
考向 求与存在量词命题有关的参数的取值范围.
思路分析 写出命题的否定,然后求得实数a的取值范围.
解析 命题“∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0”,由题意得Δ=(a-1)2-4≤0,所以-1≤a≤3.
答案 -1≤a≤3
方法技巧 当求解与含有量词命题有关的问题不好理解时,可以利用命题的否定求解.
16.(★)设U为全集,对集合X、Y,定义运算“*”,X*Y=∁U(X∩Y).对于集合U={1,2,3,4,5,6,7,8},X={1,2,3},Y={3,4,5},Z={2,4,7},则(X*Y)*Z= .
16.
考向 集合运算的新定义问题.
解析 由题意得 X*Y=∁U(X∩Y)={1,2,4,5,6,7,8},所以(X*Y)*Z={1,3,5,6,8}.
答案 {1,3,5,6,8}
方法技巧 解决本题的关键是正确理解新运算的意义,将新定义问题通过已学过的一个或多个知识来解决.
17.(★★)已知函数f(x)=-x2+3x+4,则函数y=f(x)的定义域为 ;函数y=f(2x+1)的定义域是 .
17.
考向 函数的定义域.
思路分析 定义域是自变量x的取值范围;f(x)中的x与f(2x+1)中的2x+1的取值范围相同.
解析 由题意得-x2+3x+4=-(x-4)(x+1)≥0,所以-1≤x≤4,
所以函数y=f(x)的定义域为{x|-1≤x≤4}.
由-1≤2x+1≤4,
解得-1≤x≤32,
所以y=f(2x+1)的定义域是x-1≤x≤32.
答案 {x|-1≤x≤4};x-1≤x≤32
四、解答题(本题共6小题,共82分)
18.(★★)(12分)已知集合A={x|x2-4ax+3a2<0},集合B={x|(x-3)(2-x)≥0}.
(1)当a=1时,求A∩B,A∪B;
(2)设a>0,若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
18.
考向 集合的基本运算,参数的取值范围.
思路分析 (1)化简集合A,B,再进行集合的交、并运算;
(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,得到集合B⫋A,再利用数轴得到关于a的不等式组,解不等式组即可.
解析 (1)当a=1时,
A={x|x2-4x+3<0}={x|1
所以A∩B={x|2≤x<3},A∪B={x|1
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,所以B⫋A,
所以a<2,3a>3.解得1
19.
考向 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围.
思路分析 求出命题p与q为真命题的等价条件,利用p与q为真命题即可求得a的取值范围.
解析 “对任意x∈[1,2],x2-a≥0”,
则a≤x2,
∵1≤x2≤4,
∴a≤1,即命题p为真时,a≤1.
“存在x∈R,x2+2ax+2-a=0”,
则Δ=4a2-4(2-a)≥0,
即a2+a-2≥0,
解得a≥1或a≤-2,
即命题q为真时,a≥1或a≤-2.
命题p与q都是真命题,
则有a≤1,a≥1或a≤−2,
解得a=1或a≤-2.
故实数a的取值范围是{a|a=1或a≤-2}.
20.(★★★)(14分)解关于x的不等式ax2-(2a+3)x+6>0(a∈R).
20.
考向 一元二次不等式的解法.
思路分析 原不等式等价于(ax-3)(x-2)>0,对a分情况讨论即可得结果.
解析 原不等式可化为(ax-3)(x-2)>0,
当a=0时,解得x<2,
当a>0时,不等式化为x-3a(x-2)>0,
①当3a>2,即0
②当3a=2,即a=32时,解得x≠2.
③当3a<2,即a>32时,解得x>2或x<3a.
当a<0时,不等式化为x-3a(x-2)<0,
解得3a
当a<0时,原不等式的解集为3a,2,
当a=0时,原不等式的解集为(-∞,2),
当0
当a>32时,原不等式的解集为-∞,3a∪(2,+∞).
21.(★★★)(14分)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+4(a∈R).
(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(1,b),求a和b的值;
(2)若对任意x∈[1,4],f(x)≥-a-1恒成立,求实数a的取值范围.
21.
考向 三个“二次”之间的关系、一元二次不等式的求参问题.
思路分析 (1)由根与系数的关系即可求得a与b的值;
(2)讨论x=1和1
(2)∵对任意x∈[1,4],f(x)≥-a-1恒成立,
∴a(x-1)≤x2-2x+5对任意的x∈[1,4]恒成立.(6分)
当x=1时,0≤4恒成立,符合题意,所以a∈R.(7分)
当x∈(1,4]时,问题等价于a≤x2-2x+5x-1恒成立,
x2-2x+5x-1=x-1+4x-1,
∵1
当且仅当x-1=4x-1,即x=3时取等号.
∴a≤4,
∴a的取值范围为(-∞,4].(14分)
易错警示 将参数分离时,注意分母不等于0,需分类讨论.
22.(★★★)(14分)运货卡车以xkm/h的速度匀速行驶130km,按交通法规限制50≤x≤100(单位:km/h).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油2+x2360升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
22.
考向 基本不等式的实际应用问题.
思路分析 (1)求出行车所用时间,根据汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油2+x2360升,司机的工资是每小时14元,可得行车总费用;
(2)利用基本不等式,即可求得当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
解析 (1)行车所用时间为130x(h),
根据题意,可得行车总费用
y=130x×2×2+x2360+14×130x
=2340x+13x18(50≤x≤100).
(2)y=2340x+13x18≥2610,
当且仅当2340x=13x18,
即x=1810时,等号成立,
故当x=1810km/h时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为2610 元.
方法技巧 正确理解题意并能结合基本不等式解题是关键.
23.(★★★)(14分)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设h(x)=f(x)-2tx,当x∈[1,3]时,求函数h(x)的最小值.
23.
考向 函数的解析式、二次函数的最值.
思路分析 (1)先设出函数的解析式,然后由题意列方程组求解即可;
(2)表示出h(x),进而得h(x)图象的对称轴为x=t-1,然后根据对称轴及x的取值范围分情况讨论.
解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+3,
∴c=2,a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x+3,
即c=2,2ax+a+b=2x+3,∴c=2,2a=2,a+b=3,
解得c=2,a=1,b=2,∴f(x)=x2+2x+2.(6分)
(2)由题意得h(x)=x2+2(1-t)x+2,其图象的对称轴为直线x=t-1,
①当t-1≤1,即t≤2时,函数在[1,3]上单调递增,h(x)min=h(1)=5-2t.(9分)
②当1
③当t-1≥3,即t≥4时,h(x)的最小值为h(3)=-6t+17.
综上:当t≤2时,h(x)min=5-2t;
当2
易错警示 对于含参问题的最值问题需要根据实际情况进行分类讨论.
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