人教版2022届一轮复习打地基练习 同角三角函数间的基本关系

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 同角三角函数间的基本关系，共19页。试卷主要包含了已知α∈，已知sinα=23，α∈等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 同角三角函数间的基本关系
一．选择题（共13小题）
1．已知a是第二象限角，sinα=1213，则cosα＝（　　）
A．−513 B．−1213 C．513 D．1213
2．已知α∈（0，π），若cosα=−12，则tanα的值为（　　）
A．33 B．−33 C．3 D．−3
3．已知sinα﹣cosα=−52，则tanα+1tanα的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
4．已知α∈（0，π），且cosα=−35，则tanα等于（　　）
A．−43 B．−34 C．34 D．43
5．已知cosα=−12，且α是钝角，则tanα等于（　　）
A．3 B．33 C．−3 D．−33
6．已知α为第三象限角，且sinα=−255，则cosα＝（　　）
A．55 B．−55 C．255 D．−255
7．已知tanα＝2，sinα−4cosα5sinα+2cosα=（　　）
A．−16 B．16 C．79 D．−79
8．如果sinx+cosx=15，且0＜x＜π，那么tanx的值是（　　）
A．−43 B．−43或−34 C．−34 D．43或−34
9．已知cos2θ=35，则sin4θ﹣cos4θ的值为（　　）
A．45 B．35 C．−35 D．−45
10．已知sinα=23，α∈（π2，π），则tanα＝（　　）
A．52 B．−52 C．255 D．−255
11．若3sinα+5cosαsinα−2cosα=−15，则tanα的值为（　　）
A．32 B．−32 C．2316 D．−2316
12．已知sinα+cosα=15，且α∈（0，π），sinα﹣cosα＝（　　）
A．±75 B．−75 C．75 D．4925
13．若α+β=2π3，则cos2α+cos2β最大值是（　　）
A．32 B．32 C．52 D．62
二．填空题（共15小题）
14．已知sinα=−55，α∈（−π2，π2），则sin（α+π2）＝　 　．
15．已知角α的终边经过点P（2，﹣1），则sinα−cosαsinα+cosα= 　 　．
16．已知sinx+cosx=15且﹣π＜x＜0，则sinx﹣cosx＝　 　．
17．在△ABC中，已知sinA+cosA=717，则tanA＝　 　．
18．已知tanα＝2，则sinαcosα+2sinα的值为　 　．
19．若tanα=12，则2sin2α+sinαcosα＝　 　．
20．函数y＝tanx的定义域为　 　；若tanx＝2，则5cosx−sinxsinx+2cosx=　 　．
21．已知sinθ+cosθ=33，则tanθ+1tanθ的值是　 　．
22．已知tanθ＝﹣2，则cosθ−sinθsinθ+cosθ=　 　．
23．已知tan（π+α）＝2，则sinα−3cosα2sinα+cosα=　 　．
24．已知α为第二象限角，cos（α−π2）﹣2sin（π+α）=34，则cosα＝　 　．
25．已知sin2α=2425，π＜α＜3π2，则sinα+cosα＝　 　．
26．已知cosα4sinα−2cosα=16，则tanα＝　 　．
27．已知sinα﹣2cosα＝0，则3sinαcosα﹣cos2α的值是　 　
28．已知sinα1+cosα=−23，则sinα1−cosα的值是　 　．
三．解答题（共10小题）
29．已知sinx2−3cosx2=0
（1）求tanx的值；
（2）求cos2x2cos(π4+x)⋅sinx的值．
30．定义双曲正弦函数y＝sinhx=12（ex﹣e﹣x），双曲余弦函数y＝coshx=12（ex+e﹣x）．
（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）
（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．
（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．
31．已知sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=23（π2＜α＜π）．
求：（1）sinα﹣cosα；
（2）tanα+1tanα．
32．已知tanα＝2，计算：
（1）4sinα−2cosα5cosα+3sinα；
（2）sinαcosα；
（3）若α是第三象限角，求sinα、cosα．
33．已知关于x的方程2x2−bx+14=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(π4，3π4)．
（1）求实数b的值；
（2）求2sinθcosθ+1cosθ−sinθ的值．
34．（1）若sinα＝2cosα，求sinα+cosαsinα−cosα+cos2α的值；
（2）已知sinα+cosα=713，α∈（0，π），求sinα﹣cosα的值．
35．已知cosα=−35，且α为第二象限角．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求sinα+cosαsinα−cosα的值．
36．已知α为第二象限角，且4sinα+3cosα＝0．
（Ⅰ）求tanα与sinα的值；
（Ⅱ）sinα+2cosα2sinα+cosα与tan2α的值．
37．已知tanα=−43，且α是第二象限的角．
（1）求sinα和cosα的值；
（2）求cosα+sinαcosα−sinα的值．
38．（1）已知0＜x＜π，sinx+cosx=15，求tanx的值；
（2）已知tanx＝2，求sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值．

人教版2022届一轮复习打地基练习 同角三角函数间的基本关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．已知a是第二象限角，sinα=1213，则cosα＝（　　）
A．−513 B．−1213 C．513 D．1213
【分析】由已知直接利用同角三角函数基本关系式化简求值．
【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=1213，
∴cosα=−1−sin2α=−1−(1213)2=−513．
故选：A．
2．已知α∈（0，π），若cosα=−12，则tanα的值为（　　）
A．33 B．−33 C．3 D．−3
【分析】由已知结合特殊角的三角函数值可求α，进而可求．
【解答】解：因为α∈（0，π），cosα=−12，
所以α=2π3
则tanα=−3．
故选：D．
3．已知sinα﹣cosα=−52，则tanα+1tanα的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
【分析】先平方，可得sin2α=−14，再切化弦tanα+1tanα=112sin2α，可得结论．
【解答】解：∵sinα﹣cosα=−52，
∴两边平方可得1﹣2sinαcosα=54，
∴sin2α=−14，
∴tanα+1tanα=112sin2α=−8，
故选：C．
4．已知α∈（0，π），且cosα=−35，则tanα等于（　　）
A．−43 B．−34 C．34 D．43
【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系式即可求值．
【解答】解：∵α∈（0，π），且cosα=−35，
∴tanα=−1cos2α−1=−1925−1=−43．
故选：A．
5．已知cosα=−12，且α是钝角，则tanα等于（　　）
A．3 B．33 C．−3 D．−33
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用同角三角函数基本关系式即可求tanα的值．
【解答】解：∵cosα=−12，且α是钝角，
∴sinα=1−cos2α=32，
∴tanα=sinαcosα=−3．
故选：C．
6．已知α为第三象限角，且sinα=−255，则cosα＝（　　）
A．55 B．−55 C．255 D．−255
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简求解．
【解答】解：因为α为第三象限角，且sinα=−255，
则cosα=−1−sin2α=−1−(−255)2=−55．
故选：B．
7．已知tanα＝2，sinα−4cosα5sinα+2cosα=（　　）
A．−16 B．16 C．79 D．−79
【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．
【解答】解：∵tanα＝2，sinα−4cosα5sinα+2cosα=tanα−45tanα+2=2−410+2=−16，
故选：A．
8．如果sinx+cosx=15，且0＜x＜π，那么tanx的值是（　　）
A．−43 B．−43或−34 C．−34 D．43或−34
【分析】利用同角的三角函数基本关系式、倍角公式、弦化切、三角函数值所在象限的符号即可得出．
【解答】解：sinx+cosx=15，两边平方得1+2sinxcosx=125，化为sinxcosx=−1225．
∴sinxcosxsin2x+cos2x=−1225，
∴tanxtan2x+1=−1225，解得tanx=−43，或−34．
∵sinxcosx=−1225且0＜x＜π，
∴x∈(π2，π)，且|sinx|＞|cosx|，故tanx=−43．
故选：A．
9．已知cos2θ=35，则sin4θ﹣cos4θ的值为（　　）
A．45 B．35 C．−35 D．−45
【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，原式利用平方差公式及同角三角函数间的基本关系化简，将得出关系式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ=35，
∴sin4θ﹣cos4θ＝（sin2θ﹣cos2θ）（sin2θ+cos2θ）＝sin2θ﹣cos2θ＝﹣（cos2θ﹣sin2θ）=−35，
故选：C．
10．已知sinα=23，α∈（π2，π），则tanα＝（　　）
A．52 B．−52 C．255 D．−255
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为sinα=23，α∈（π2，π），
所以cosα=−1−sin2α=−53，
则tanα=sinαcosα=−255．
故选：D．
11．若3sinα+5cosαsinα−2cosα=−15，则tanα的值为（　　）
A．32 B．−32 C．2316 D．−2316
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．
【解答】解：∵3sinα+5cosαsinα−2cosα=3tanα+5tanα−2=−15，
∴解得tanα=−2316．
故选：D．
12．已知sinα+cosα=15，且α∈（0，π），sinα﹣cosα＝（　　）
A．±75 B．−75 C．75 D．4925
【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出2sinαcosα的值小于0，确定出sinα与cosα的正负，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出sinα﹣cosα的值．
【解答】解：把sinα+cosα=15，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα=125，即2sinαcosα=−2425＜0，
∵0＜α＜π，∴π2＜α＜π，即sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα﹣cosα=(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=1−(−2425)=75．
故选：C．
13．若α+β=2π3，则cos2α+cos2β最大值是（　　）
A．32 B．32 C．52 D．62
【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cos2α+cos2β＝1+cos(2α+π3)2，利用余弦函数的图象和性质可求最大值．
【解答】解：∵α+β=2π3，
∴cos2α+cos2β
＝cos2α+cos2（2π3−α）
=54cos2α+34sin2α−34sin2α
＝1+cos2α−3sin2α4
＝1+cos(2α+π3)2，
∴当2α+π3=2kπ，k∈Z时，
即：α＝kπ−π6，k∈Z时，可得cos2α+cos2β的最大值为1+12=32．
故选：B．
二．填空题（共15小题）
14．已知sinα=−55，α∈（−π2，π2），则sin（α+π2）＝　255　．
【分析】由题意可得范围α∈（−π2，0），进而根据同角三角函数基本关系式，诱导公式即可求解．
【解答】解：因为sinα=−55＜0，α∈（−π2，π2），
所以α∈（−π2，0），cosα=1−sin2α=255，
则sin（α+π2）＝cosα=255．
故答案为：255．
15．已知角α的终边经过点P（2，﹣1），则sinα−cosαsinα+cosα= 　﹣3　．
【分析】由角α的终边经过点P（2，﹣1），利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），
∴sinα=−15=−55，cosα=255
则sinα−cosαsinα+cosα=−55−255−55+255=−3．
故答案为：﹣3．
16．已知sinx+cosx=15且﹣π＜x＜0，则sinx﹣cosx＝　−75　．
【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinxcosx的值，原式平方利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，开方即可求出sinx﹣cosx的值．
【解答】解：∵sinx+cosx=15，两边平方可得：1+2sinxcosx=125，
∴解得：2sinxcosx=−2425＜0，
又∵﹣π＜x＜0，
可得sinx＜0，cosx＞0，
∴sinx﹣cosx=−(sinx−cosx)2=−1−2sinxcosx=−1−(−2425)=−75．
故答案为：−75．
17．在△ABC中，已知sinA+cosA=717，则tanA＝　−158　．
【分析】依题意，可得2sinAcosA的值，知A为钝角，sinA﹣cosA＞0，由（sinA﹣cosA）2=529289，易求得sinA﹣cosA的值，与已知联立，即可求得sinA与cosA的值，继而可得答案．
【解答】解：∵角A是△ABC的一个内角，sinA+cosA=717，①，
∴（sinA+cosA）2=49289，
∴1+2sinAcosA=49289，
∴2sinAcosA=−240289，
∴A为钝角，
∴sinA﹣cosA＞0，
∴（sinA﹣cosA）2＝1﹣（−240289）=529289，
∴sinA﹣cosA=2317，②
联立①②得：sinA=1517，cosA=−817，
∴tanA=sinAcosA=−158．
故答案为：−158．
18．已知tanα＝2，则sinαcosα+2sinα的值为　25　．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【解答】解：∵tanα＝2，
∴sinαcosα+2sinα=tanα1+2tanα=21+2×2=25．
故答案为：25．
19．若tanα=12，则2sin2α+sinαcosα＝　45　．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
【解答】解：因为tanα=12，
所以2sin2α+sinαcosα=2sin2α+sinαcosαsin2α+cos2α=2tan2α+tanαtan2α+1=45．
故答案为：45．
20．函数y＝tanx的定义域为　{x|x≠kπ+π2，k∈Z}　；若tanx＝2，则5cosx−sinxsinx+2cosx=　34　．
【分析】根据正切函数y＝tanx的定义，写出定义域即可，利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．
【解答】解：根据正切函数y＝tanx的定义知，
其定义域为：{x|x≠kπ+π2，k∈Z}．
若tanx＝2，
则5cosx−sinxsinx+2cosx=5−tanxtanx+2=5−22+2=34．
故答案为：{x|x≠kπ+π2，k∈Z}，34．
21．已知sinθ+cosθ=33，则tanθ+1tanθ的值是　﹣3　．
【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简所求式子，即可求出结果．
【解答】解：∵sinθ+cosθ=33，
∴两边平方，可得1+2sinθcosθ=13，可得sinθcosθ=−13，
∴tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=1sinθcosθ=1−13=−3．
故答案为：﹣3．
22．已知tanθ＝﹣2，则cosθ−sinθsinθ+cosθ=　﹣3　．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．
【解答】解：∵tanθ＝﹣2，
∴cosθ−sinθsinθ+cosθ=1−tanθtanθ+1=1−(−2)−2+1=−3．
故答案为：﹣3．
23．已知tan（π+α）＝2，则sinα−3cosα2sinα+cosα=　−15　．
【分析】由已知利用诱导公式可得tanα＝2，进而根据同角三角函数基本关系式化简即可求解．
【解答】解：∵tan（π+α）＝tanα＝2，
∴sinα−3cosα2sinα+cosα=tanα−32tanα+1=2−32×2+1=−15．
故答案为：−15．
24．已知α为第二象限角，cos（α−π2）﹣2sin（π+α）=34，则cosα＝　−154　．
【分析】由已知利用诱导公式可求得sinα的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值．
【解答】解：因为cos（α−π2）﹣2sin（π+α）＝sinα+2sinα＝3sinα=34，
可得sinα=14，
因为α为第二象限角，
则cosα=−1−sin2α=−154．
故答案为：−154．
25．已知sin2α=2425，π＜α＜3π2，则sinα+cosα＝　−75　．
【分析】利用二倍角的正弦公式及同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：由于：sin2α＝2sinαcosα=2425，
因为π＜α＜3π2，可知sinα＜0，cosα＜0，
解得sinα+cosα=−(sinα+cosα)2=−1+2sinαcosα=−1+2425=−75．
故答案为：−75．
26．已知cosα4sinα−2cosα=16，则tanα＝　2　．
【分析】对已知等式分子分母同时除以cosα，即可求出tanα的值．
【解答】解：∵cosα4sinα−2cosα=16，
∴14tanα−2=16，
∴4tanα﹣2＝6，
∴tanα＝2，
故答案为：2．
27．已知sinα﹣2cosα＝0，则3sinαcosα﹣cos2α的值是　1　
【分析】由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【解答】解：由sinα﹣2cosα＝0，的tanα＝2，
∴3sinαcosα﹣cos2α=3sinαcosα−cos2αsin2α+cos2α=3tanα−1tan2α+1=3×2−122+1=1．
故答案为：1．
28．已知sinα1+cosα=−23，则sinα1−cosα的值是　−32　．
【分析】由sinα1+cosα×sinα1−cosα=1，结合已知即可求解．
【解答】解：因为sinα1+cosα×sinα1−cosα=sin2α1−cos2α=sin2αsin2α=1，
又sinα1+cosα=−23，
所以sinα1−cosα=−32．
故答案为：−32．
三．解答题（共10小题）
29．已知sinx2−3cosx2=0
（1）求tanx的值；
（2）求cos2x2cos(π4+x)⋅sinx的值．
【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求得tanx2的值，再利用二倍角的正切公式求得tanx的值．
（2）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：（1）由sinx2−3cosx2=0，可得tanx2=3，∴tanx=2tanx21−tan2x2=61−9=−34．
（2）原式=cos2x−sin2x2⋅(22cosx−22⋅sinx)⋅sinx=cosx+sinxsinx=1tanx+1=−13．
30．定义双曲正弦函数y＝sinhx=12（ex﹣e﹣x），双曲余弦函数y＝coshx=12（ex+e﹣x）．
（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）
（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．
（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．
【分析】（1）由sin hx=12（ex﹣e﹣x） 是奇函数，单调递增，无周期性，值域为R．同理写出cos hx=12（ex+e﹣x）的性质．
（2）利用同角三角函数的基本关系可得双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，计算求得 cos h2（x）﹣sin h2（x）＝1；cot h2（x）﹣csc h2（x）＝1；tan h2（x）+sec h2（x）＝1．
（3）利用两角和差的三角公式，写出sin h（x+y）、sin h（x﹣y）、cos h（x+y）、tan h（x+y）及tan h（x﹣y ）的表达式．
【解答】解：（1）sin hx=12（ex﹣e﹣x） 奇函数，单调递增，无周期性，值域为R．
cos hx=12（ex+e﹣x） 偶函数，R上无单调，无周期性，值域为[1，+∞）．
（2）tan hx=sinℎxcosℎx；cot hx=cosℎxsinℎx；sec hx=1cosℎx；csc hx=1sinℎx．
cos h2（x）﹣sin h2（x）＝1；cot h2（x）﹣csc h2（x）＝1；tan h2（x）+sec h2（x）＝1．
（3）sin h（x+y）＝sin h（x）•cos h（y）+cos h（x）•sin h（y），
sin h（x﹣y）＝sin h（x）•cos h（y）﹣cos h（x）•sin h（y），
cos h（x+y）＝cos h（x）•cos h（y）+sin h（x）•sin h（y），
cos h（x﹣y）＝cos h（x）•cos h（y）﹣sin h（x）•sin h（y），
tan h（x+y）=tanℎ(x)+tanℎ(y)1+tanℎ(x)⋅tanℎ(y)；tan h（x﹣y）=tanℎ(x)−tanℎ(y)1−tanℎ(x)⋅tanℎ(y)．
31．已知sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=23（π2＜α＜π）．
求：（1）sinα﹣cosα；
（2）tanα+1tanα．
【分析】由条件利用诱导公式求得2sinαcosα 的值，可得sinα﹣cosα=(sinα−cosα)2 以及tanα+1tanα=1sinαcosα 的值．
【解答】解：根据sin（π﹣α）﹣cos（π+α）＝sinα+cosα=23，（π2＜α＜π），
平方可得2sinαcosα=−79，
∴（1）sinα﹣cosα=(sinα−cosα)2=1+79=43．
（2）tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα=−187．
32．已知tanα＝2，计算：
（1）4sinα−2cosα5cosα+3sinα；
（2）sinαcosα；
（3）若α是第三象限角，求sinα、cosα．
【分析】（1）由已知化弦为切求解；
（2）分母看作1，用平方关系替换，在化弦为切求解；
（3）联立商的关系与平方关系求解．
【解答】解：（1）4sinα−2cosα5cosα+3sinα=4tanα−25+3tanα=4×2−25+3×2=611；
（2）sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=222+1=25；
（3）∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα，①
代入sin2α+cos2α＝1中，可得4cos2α+cos2α＝1．
∴cos2α=15，得cosα=±55，
又∵α是第三象限角，∴cosα=−55．
代入①式得sinα=2×(−55)=−255．
33．已知关于x的方程2x2−bx+14=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(π4，3π4)．
（1）求实数b的值；
（2）求2sinθcosθ+1cosθ−sinθ的值．
【分析】（1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出b的值即可；
（2）由b的值，利用完全平方公式求出sinθ±cosθ的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出值．
【解答】解：（1）∵方程2x2−bx+14=0的两根为sinθ、cosθ，
∴sinθ+cosθ=b2，sinθcosθ=18＞0，
∵θ∈(π4，3π4)，
∴θ+π4∈（π2，π），即sinθ+cosθ=2sin（θ+π4）＞0，
∴（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2×18=b24，
解得：b=5（负值舍去），
则b=5；
（2）∵（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2×18=34，
∴sinθ﹣cosθ=32，
∵sinθ+cosθ=52，
∴2sinθcosθ+1cosθ−sinθ=(sinθ+cosθ)2cosθ−sinθ=(52)2−32=−536．
34．（1）若sinα＝2cosα，求sinα+cosαsinα−cosα+cos2α的值；
（2）已知sinα+cosα=713，α∈（0，π），求sinα﹣cosα的值．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而根据同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
（2）将已知等式两边平方，根据同角三角函数基本关系式解得2sinαcosα=−120169＜0，可得sinα＞0，cosα＜0，根据同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
【解答】解：（1）若sinα＝2cosα，
可得tanα＝2，
可得sinα+cosαsinα−cosα+cos2α=tanα+1tanα−1+11+tan2α=2+12−1+11+22=165；
（2）因为sinα+cosα=713，α∈（0，π），
两边平方，可得1+2sinαcosα=49169，解得2sinαcosα=−120169＜0，
所以sinα＞0，cosα＜0，
可得sinα﹣cosα=(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=1713．
35．已知cosα=−35，且α为第二象限角．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求sinα+cosαsinα−cosα的值．
【分析】（Ⅰ）由已知直接利用平方关系求得sinα，再由商的关系求得tanα；
（Ⅱ）分子分母同时除以cosα，化弦为切求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵cosα=−35，且α为第二象限角，
∴sinα=1−cos2α=45，则tanα=sinαcosα=−43；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，tanα=−43，
∴sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=−43+1−43−1=17．
36．已知α为第二象限角，且4sinα+3cosα＝0．
（Ⅰ）求tanα与sinα的值；
（Ⅱ）sinα+2cosα2sinα+cosα与tan2α的值．
【分析】（I）由已知结合同角平方关系可求sinα，cosα，进而可求tanα，
（II）结合同角基本关系可把所求的式子转化为切，然后代入即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为4sinα+3cosα＝0．
所以tanα=sinαcosα=−34，
因为sin2α+cos2α=sin2α+169sin2α=1，
因为α为第二象限角，
故sinα＞0，
故sinα=35，cosα=−45，tanα=−34；
（Ⅱ）sinα+2cosα2sinα+cosα=tanα+22tanα+1=−52；
tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−34)1−916=−247．
37．已知tanα=−43，且α是第二象限的角．
（1）求sinα和cosα的值；
（2）求cosα+sinαcosα−sinα的值．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
（2）根据已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
【解答】解：（1）因为tanα=sinαcosα=−43，所以sinα=−43cosα，
又sin2α+cos2α＝1，所以259cos2α＝1，
因为α为第二象限角，
所以cosα=−35，sinα=45，
（2）原式=1+tanα1−tanα=1−431+43=−17．
38．（1）已知0＜x＜π，sinx+cosx=15，求tanx的值；
（2）已知tanx＝2，求sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值．
【分析】（1）把已知等式两边平方，求得sinxcosx，进一步求解sinx﹣cosx，与已知联立求解sinx与cosx的值，则tanx的值可求；
（2）直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【解答】解：（1）由sinx+cosx=15①，两边平方得，1+2sinxcosx=125，则sinxcosx=−1225，
∵0＜x＜π，∴π2＜x＜π，
∴（sinx﹣cosx）2＝1﹣2sinxcosx=1+2×1225=4925，
∴sinx﹣cosx=75②，
由①②解得sinx=45cosx=−35，
∴tanx=−43；
（2）由tanx＝2，
得sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2sinxcosx+3cos2xsin2x+cos2x
=tan2x+2tanx+3tan2x+1=115．