人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数两角和与差

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数两角和与差，共15页。试卷主要包含了函数f，设函数f且0≤θ≤π等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数两角和与差
一．选择题（共7小题）
1．sin20°cos10°+cos20°sin10°＝（　　）
A．12 B．32 C．−12 D．−32
2．cos45°sin75°+sin45°sin165°的值为（　　）
A．32 B．−32 C．12 D．−12
3．函数f(x)=3cos(2x−π2)+cos(π+2x)的单调增区间为（　　）
A．[−π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z B．[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z
C．[−5π12+kπ，π12+kπ]，k∈Z D．[−π12+kπ，5π12+kπ]，k∈Z
4．函数f（x）＝sinx−3cosx在[t，2t]（t＞0）上是增函数，则t的最大值为（　　）
A．π6 B．π4 C．5π12 D．π2
5．已知x∈（2kπ−34π，2kπ+π4）（k∈Z），且cos(π4−x)=−35，则cos2x的值是（　　）
A．−725 B．−2425 C．2425 D．725
6．sin155°sin35°﹣cos25°cos35°＝（　　）
A．−32 B．−12 C．12 D．32
7．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝（　　）
A．12 B．32 C．−12 D．−32
二．填空题（共13小题）
8．满足等式cos（x+y）＝cosx+cosy成立的一组x，y的值可以为 　 　．
9．已知sinα=13，α∈（π2，π）则tanα＝　 　，cos（α+π4）＝　 　．
10．设函数f（θ）=3sinθ+cosθ，其中θ的顶点与坐标原点重合，始终与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y）且0≤θ≤π．
（1）若点P的坐标为(12，32)，则f（θ）的值为　 　
（2）若点P（x，y）为平面区域Ω：x+y≥1x≤1y≤1内的一个动点，记f（θ）的最大值为M，最小值m，则logMm＝　 　．
11．已知1−tanα1+tanα=2−3，则tan(π4+α)=　 　．
12．已知cos（α﹣β）=13，cosβ=34，α﹣β∈（0，π2），β∈（0，π2），则sinα＝　 　．
13．已知tan（π4−α）=−13，则sinαcosα的值是　 　．
14．函数f（x）＝sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　 　，单调递增区间是　 　．
15．已知cos(π4−α)=24，则sin2α＝　 　．
16．已知α，β∈[0，π]，cosα+cosβ=35，cosαcosβ=−15，则sinαsinβ＝　 　．
17．对于函数f（x）＝sinx+cosx，给出下列四个命题：
①存在α∈(0，π2)，使f(α)=43；
②存在α∈(0，π2)，使f（x+α）＝f（x+3α）恒成立；
③存在φ∈R，使函数f（x+ϕ）的图象关于y轴对称；
④函数f（x）的图象关于点(3π4，0)对称；
⑤若x∈[0，π2]，则f(x)∈[1，2]．
其中正确命题的序号是　 　．
18．已知sinα−3cosα＝m﹣1，则实数m的取值范围是　 　．
19．已知sinα=−35，α是第四象限角，则sin(π4−α)=　 　．
20．已知tan（α−β2）=12，tan（β−α2）=−13，则tanα+β2=　 　．
三．解答题（共5小题）
21．已知a→=(sinx−cosx，−2)，b→=(1，sinxcosx)，f(x)=a→⋅b→，其中x∈[π4，3π4]．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若存在x0∈[π4，3π4]，使得f（x0）＝0，求22sin(x0+3π4)的值．
22．已知sin(3π+θ)=13，求cos(π+θ)cosθ[cos(π+θ)−1]+cos(θ−2π)sin(θ−3π2)cos(θ−π)−sin(3π2+θ)的值．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α是以Ox轴为始边，OA为终边的角，把OA绕点O逆时针旋转β（0＜β＜π）角到OB位置，已知A、B是单位圆上分别位于第一、二象限内的点，它们的横坐标分别为35、−22．
（1）求1+sin2αcos2α的值；
（2）求cosβ的值．

24．已知函数y=f(x)=sin(2x+π6)+2(cos2x−1)．
（1）求函数y＝f（x）的值域和单调减区间；
（2）已知A，B，C为△ABC的三个内角，且cosB=13，f(C2)=12，求sinA的值．
25．函数f（x）＝sinx（1﹣2sin2θ2）+cosxsinθ（0＜θ＜π）在x＝π得最小值．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c别是角A，B，C的对边，已知α＝1，b=3，f（A）=32，求角C．

人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数两角和与差
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．sin20°cos10°+cos20°sin10°＝（　　）
A．12 B．32 C．−12 D．−32
【分析】由条件利用本题主要考查两角和差的正弦公式，求得所给式子的值．
【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin（20°+10°）＝sin30°=12，
故选：A．
2．cos45°sin75°+sin45°sin165°的值为（　　）
A．32 B．−32 C．12 D．−12
【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式进行转化求解即可．
【解答】解：cos45°sin75°+sin45°sin165°＝cos45°cos15°+sin45°sin15°＝cos（45°﹣15°）＝cos30°=32，
故选：A．
3．函数f(x)=3cos(2x−π2)+cos(π+2x)的单调增区间为（　　）
A．[−π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z B．[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z
C．[−5π12+kπ，π12+kπ]，k∈Z D．[−π12+kπ，5π12+kπ]，k∈Z
【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间．
【解答】解：函数f(x)=3cos(2x−π2)+cos(π+2x)
=3cos（π2−2x）﹣cos2x
=3sin2x﹣cos2x
＝2sin（2x−π6），
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z；
解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z；
所以f（x）的单调增区间为[−π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z．
故选：A．
4．函数f（x）＝sinx−3cosx在[t，2t]（t＞0）上是增函数，则t的最大值为（　　）
A．π6 B．π4 C．5π12 D．π2
【分析】将函数f（x）化简，由正弦函数的单调性可得t的取值范围，然后求出t的最大值．
【解答】解：f（x）＝sinx−3cosx＝2sin（x−π3）在[t，2t]（t＞0）上是增函数，
所以t−π3≤x−π3≤2t−π3，所以[t−π3，2t−π3]⊆[−π2+2kπ，π2+2kπ]，k∈Z，
因为t＞0，
当k＝0时，则t−π3≥−π22t−π3≤π2，所以0＜t≤512π．
当k＝1时，则t−π3≥−π2+2π2t−π3≤π2+2π可得t∉∅，
同理k≥2时，t∉∅，
故选：C．
5．已知x∈（2kπ−34π，2kπ+π4）（k∈Z），且cos(π4−x)=−35，则cos2x的值是（　　）
A．−725 B．−2425 C．2425 D．725
【分析】根据三角函数的角之间的关系，利用倍角公式即可求出结论．
【解答】解：∵2(π4−x)=π2−2x，
∴cos2x=sin(π2−2x)=sin2(π4−x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)，
∵x∈（2kπ−34π，2kπ+π4），
∴π4−x∈（﹣2kπ，﹣2kπ+π），
∴sin（π4−x）＞0，
即sin（π4−x）=45，
∴cos2x=2sin(π4−x)cos(π4−x)=−2×35×45=−2425，
故选：B．
6．sin155°sin35°﹣cos25°cos35°＝（　　）
A．−32 B．−12 C．12 D．32
【分析】由已知结合诱导公式及两角和的余弦公式，即可求解．
【解答】解：sin155°sin35°﹣cos25°cos35°
＝sin25°sin35°﹣cos25°cos35°
＝﹣cos60°=−12．
故选：B．
7．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝（　　）
A．12 B．32 C．−12 D．−32
【分析】观察所求的式子，发现满足两角和与差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．
【解答】解：cos45°cos15°﹣sin45°sin15°
＝cos（45°+15°）
＝cos60°
=12．
故选：A．
二．填空题（共13小题）
8．满足等式cos（x+y）＝cosx+cosy成立的一组x，y的值可以为 　x＝kπ，或y＝kπ，k∈Z　．
【分析】由题意利用两角和的余弦公式可得sinxsiny＝0，即sinx＝0 或siny＝0，由此求得x和y的取值范围，即为所求．
【解答】解：∵cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，若等式cosx•cosy＝cos（x+y）成立，
则sinxsiny＝0，即sinx＝0 或siny＝0，故x＝kπ，或y＝kπ，k∈Z，
故答案为：x＝kπ，或y＝kπ，k∈Z．
9．已知sinα=13，α∈（π2，π）则tanα＝　−24　，cos（α+π4）＝　−4+26　．
【分析】由已知条件结合α的范围即可求出cosα，则tanα可求；利用两角和的余弦函数公式求解即可．
【解答】解：由sinα=13，α∈（π2，π），
得cosα=−1−sin2α=−1−19=−223，
则tanα=sinαcosα=13−223=−24；
cos（α+π4）=cosαcosπ4−sinαsinπ4=−223×22−13×22=−4+26．
故答案为：−24；−4+26．
10．设函数f（θ）=3sinθ+cosθ，其中θ的顶点与坐标原点重合，始终与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y）且0≤θ≤π．
（1）若点P的坐标为(12，32)，则f（θ）的值为　2　
（2）若点P（x，y）为平面区域Ω：x+y≥1x≤1y≤1内的一个动点，记f（θ）的最大值为M，最小值m，则logMm＝　0　．
【分析】首先由两角和的正弦公式，化简f（θ）．
（1）由P的坐标为(12，32)，则θ=π3，代入，即可得到；
（2）画出平面区域Ω，由图象得到0≤θ≤π2，即有π6≤θ+π6≤2π3，再由正弦函数的性质即可得到最值．
【解答】解：f（θ）=3sinθ+cosθ＝2（32sinθ+12cosθ）＝2sin（θ+π6）．
（1）由P的坐标为(12，32)，则θ=π3，f（θ）＝2sin（π3+π6）＝2sinπ2=2；
（2）平面区域Ω：x+y≥1x≤1y≤1如图：
则P位于点（0，1）处，θ最大，位于点（1，0）处最小，即0≤θ≤π2，
即有π6≤θ+π6≤2π3，
则f（θ）的最大值为M＝f（π3）＝2，最小值为m＝f（0）＝1，
则logMm＝log21＝0．
故答案为：2，0．

11．已知1−tanα1+tanα=2−3，则tan(π4+α)=　2+3　．
【分析】利用两角和的正切公式即可得解．
【解答】解：因为1−tanα1+tanα=2−3，
所以tan(π4+α)=1+tanα1−tanα=12−3=2+3．
故答案为：2+3．
12．已知cos（α﹣β）=13，cosβ=34，α﹣β∈（0，π2），β∈（0，π2），则sinα＝　7+6212　．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），sinβ的值，进而根据α＝（α﹣β）+β，利用两角和的正弦公式即可求解．
【解答】解：由cos（α﹣β）=13，α﹣β∈（0，π2），可得sin（α﹣β）=1−cos2(α−β)=1−(13)2=223，
由cosβ=34，β∈（0，π2），可得sinβ=1−cos2β=1−(34)2=74，
可得sinα＝sin[（α﹣β）+β]＝sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=223×34+13×74=7+6212．
故答案为：7+6212．
13．已知tan（π4−α）=−13，则sinαcosα的值是　25　．
【分析】由已知利用两角差的正切函数公式可求tanα的值，进而求解结论．
【解答】解：∵tan（π4−α）=1−tanα1+tanα=−13，
∴解得tanα＝2，
∴sinαcosα=sinα⋅cosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=25．
故答案为：25．
14．函数f（x）＝sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　π　，单调递增区间是　[−π8+kπ，kπ+3π8]（k∈Z）　．
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x+sinxcosx+1，
则：f(x)=1−cos2x2+sin2x2+1=22sin(2x−π4)+32，
则函数的最小正周期T=2π2=π，
令：−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ（k∈Z），
解得：−π8+kπ≤x≤kπ+3π8（k∈Z），
单点递增区间为：[−π8+kπ，kπ+3π8]（k∈Z），
故答案为：π；[−π8+kπ，kπ+3π8]（k∈Z），
15．已知cos(π4−α)=24，则sin2α＝　−34　．
【分析】由已知结合诱导公式及二倍角的余弦求解．
【解答】解：∵cos(π4−α)=24，
∴sin2α＝cos（π2−2α）＝cos2（π4−α）
=2cos2(π4−α)−1=2×(24)2−1=−34．
故答案为：−34．
16．已知α，β∈[0，π]，cosα+cosβ=35，cosαcosβ=−15，则sinαsinβ＝　75　．
【分析】（sinαsinβ）2＝sin2αsin2β＝（1﹣cos2α）（1﹣cos2β），将其展开，代入求值．
【解答】解：依题意，（sinαsinβ）2＝sin2αsin2β＝（1﹣cos2α）（1﹣cos2β）=(1+cosαcosβ)2−(cosα+cosβ)2=725，则sinαsinβ=75．
故答案是：75．
17．对于函数f（x）＝sinx+cosx，给出下列四个命题：
①存在α∈(0，π2)，使f(α)=43；
②存在α∈(0，π2)，使f（x+α）＝f（x+3α）恒成立；
③存在φ∈R，使函数f（x+ϕ）的图象关于y轴对称；
④函数f（x）的图象关于点(3π4，0)对称；
⑤若x∈[0，π2]，则f(x)∈[1，2]．
其中正确命题的序号是　①③④⑤　．
【分析】利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式，化简函数y＝sinx+cosx为 2sin（x+π4），确定函数的值域，判断①的真假； 找出特殊值判断②；根据函数的对称轴判断③的真假；将 （34π，0）代入函数解析式成立，说明④正确．⑤若x∈[0，π2]，则有 （x+π4）∈[π4，3π4]，可得 f(x)∈[1，2]，故⑤正确．
【解答】解：函数y＝sinx+cosx=2sin（x+π4），①α∈（0，π2）时 y∈（1，2]，因为 43∈（1，2]，所以为真命题；
②f（x+α）＝f（x+3α）说明2α是函数的周期，函数f（x）的周期为2π，故α＝π，显然为假命题；
③存在θ∈R使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称，
函数f（x）是周期函数，并且有对称轴，适当平移即可满足题意，为真命题；
④函数f（x）的图象关于点 （34π，0）对称，当x=3π4时，f（ 3π4）＝0，满足题意，为真命题，
⑤若x∈[0，π2]，则有 （x+π4）∈[π4，3π4]，∴f(x)∈[1，2]，故⑤为真命题，
故答案为 ①③④⑤．
18．已知sinα−3cosα＝m﹣1，则实数m的取值范围是　﹣1≤m≤3　．
【分析】利用辅助角公式可将sinα−3cosα化简为2sin（α−π3），利用正弦函数的有界性即可求得实数m的取值范围．
【解答】解：∵m﹣1＝sinα−3cosα＝2sin（α−π3），
∴由正弦函数的有界性知，﹣2≤m﹣1≤2，
解得﹣1≤m≤3．
∴实数m的取值范围﹣1≤m≤3．
故答案为：﹣1≤m≤3．
19．已知sinα=−35，α是第四象限角，则sin(π4−α)=　7210　．
【分析】根据α的范围和sinα的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，进而利用正弦的两角和公式求得答案．
【解答】解：∵sinα=−35，α是第四象限角，
∴cosα=1−sin2α=1−(−35)2=45，
∴sin(π4−α)=sinπ4cosα−cosπ4sinα=22×45−22×(−35)=7210
故答案为：7210
20．已知tan（α−β2）=12，tan（β−α2）=−13，则tanα+β2=　17　．
【分析】直接利用两角和与差的正切函数求解即可．
【解答】解：tan（α−β2）=12，tan（β−α2）=−13，
则tanα+β2=tan[（α−β2）+（β−α2）]
=tan(α−β2)+tan(β−α2)1−tan(α−β2)tan(β−α2)
=12−131−12×(−13)
=17．
故答案为：17，
三．解答题（共5小题）
21．已知a→=(sinx−cosx，−2)，b→=(1，sinxcosx)，f(x)=a→⋅b→，其中x∈[π4，3π4]．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若存在x0∈[π4，3π4]，使得f（x0）＝0，求22sin(x0+3π4)的值．
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示求出f（x），然后利用换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质求解值域即可；
（2）利用f（x0）＝0，求出2sin(x0−π4)=−1+52，然后利用诱导公式求解即可．
【解答】解：（1）因为a→=(sinx−cosx，−2)，b→=(1，sinxcosx)，f(x)=a→⋅b→，
所以f（x）＝（sinx﹣cosx）﹣2sinxcosx，
设sinx﹣cosx＝t，则1﹣2sinxcosx＝t2，
所以f（x）＝t2+t﹣1，
又sinx−cosx=2sin(x−π4)，x−π4∈[0，π2]，
所以x−π4∈[0，2]，即t∈[0，2]，
因为y＝t2+t﹣1在[0，2]上单调递增，
所以当t＝0时，y取得最小值0；
当t=2时，y取得最大值y=2+1，
故f（x）的值域为[−1，2+1]；
（2）由f(x0)=t2+t−1=0，t∈[0，2]，
得t=−1+52，即2sin(x0−π4)=−1+52，
故22sin(x0+3π4)=22sin(x0−π4+π)=−22sin(x0−π4)=1−5．
22．已知sin(3π+θ)=13，求cos(π+θ)cosθ[cos(π+θ)−1]+cos(θ−2π)sin(θ−3π2)cos(θ−π)−sin(3π2+θ)的值．
【分析】由已知求得sinθ，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．
【解答】解：由sin(3π+θ)=13，可得sinθ=−13，
∴cos(π+θ)cosθ[cos(π+θ)−1]+cos(θ−2π)sin(θ−3π2)cos(θ−π)−sin(3π2+θ)
=−cosθcos(−cosθ−1)+cosθ−cos2θ+cosθ
=11+cosθ+11−cosθ=2(1+cosθ)(1−cosθ)
=21−cos2θ=2sin2θ=18．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α是以Ox轴为始边，OA为终边的角，把OA绕点O逆时针旋转β（0＜β＜π）角到OB位置，已知A、B是单位圆上分别位于第一、二象限内的点，它们的横坐标分别为35、−22．
（1）求1+sin2αcos2α的值；
（2）求cosβ的值．

【分析】（1）由已知求出A、B的坐标，由三角函数的定义求得sinα、cosα的值，利用倍角公式化简1+sin2αcos2α后求值；
（2）由三角函数的定义求出sin（α+β）与cos（α+β）的值，再由cosβ＝cos[（α+β）﹣α]展开两角差的余弦求解．
【解答】解：（1）由已知可得点A的坐标为（35，45），点B的坐标为（−22，22），
∴sinα=45，cosα=35，
则1+sin2αcos2α=(sinα+cosα)2(cosα+sinα)(cosα−sinα)=sinα+cosαcosα−sinα=45+3535−45=−7；
（2）sin(α+β)=22，cos(α+β)=−22，且β＝（α+β）﹣α，
∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=−22×35+22×45=210．
24．已知函数y=f(x)=sin(2x+π6)+2(cos2x−1)．
（1）求函数y＝f（x）的值域和单调减区间；
（2）已知A，B，C为△ABC的三个内角，且cosB=13，f(C2)=12，求sinA的值．
【分析】（1）展开两角和的正弦，再由倍角公式降幂，利用辅助角公式化积，则函数的值域可求，再由复合函数的单调性求函数的单调减区间；
（2）由已知求得sinB，再由f(C2)=12求解C，然后利用诱导公式及两角和的正弦求解sinA的值．
【解答】解：（1）∵f(x)=sin(2x+π6)+2(cos2x−1)
=32sin2x+32cos2x−1=3sin(2x+π3)−1，且sin(2x+π3)∈[−1，1]，
∴所求值域为f(x)∈[−3−1，3−1]；
由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
得：π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z．
故所求减区间为：[π12+kπ，7π12+kπ]，k∈Z；
（2）∵A，B，C是△ABC的三个内角，cosB=13，∴sinB=1−cos2B=223，
又f(C2)=3sin(2×C2+π3)−1=12，即sin(C+π3)=32，
且C+π3∈(π3，4π3)，∴C=π3．
故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=223×12+13×32=22+36．
25．函数f（x）＝sinx（1﹣2sin2θ2）+cosxsinθ（0＜θ＜π）在x＝π得最小值．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c别是角A，B，C的对边，已知α＝1，b=3，f（A）=32，求角C．
【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简后，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据f（x）在x＝π得最小值，即可确定出θ的值；
（Ⅱ）由第一问的f（x）解析式，以及f（A）=32，求出A的度数，进而得到sinA的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinB的值，确定出B的度数，即可求出C的度数．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sinxcosθ+cosxsinθ＝sin（x+θ），
∵f（x）在x＝π得最小值，即f（π）＝sin（π+θ）＝﹣sinθ＝﹣1，且0＜θ＜π，
∴θ=π2；
（Ⅱ）根据第一问及f（A）=32得：f（A）＝sin（A+π2）=32，
∴A+π2=π3（不合题意，舍去）或A+π2=2π3，即A=π6，
∵a＝1，b=3，
∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=bsinAa=3×121=32，
∴B=π3或B=2π3，
则C=π2或π6．