湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高三上学期数学8月联考试卷

这是一份湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高三上学期数学8月联考试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三上学期数学8月联考试卷
一、单选题
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （    ）
A.
B.
C.
D.
2.若复数z满足 ，则z的共轭复数在复平面内对应的点在第（    ）象限
A.一
B.二
C.三
D.四
3.若一圆台的上底面半径为1，且上､下底面半径和高的比为 ，则圆台的体积为（    ）
A.
B.
C.
D.
4.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的是（    ）
A.是奇函数
B.的最小正周期为
C.在区间 上单调递增
D.的最小值为1
5.已知F是抛物线 的焦点，M是C上一点， 的延长线交y轴于点N．若M为 的中点，则 （    ）
A.4
B.6
C.8
D.10
6.已知 且 则 =（    ）
A.
B.
C.
D.
7.在 的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（    ）
A.
B.
C.
D.28
8.关于函数 ， ，下列说法错误的是（    ）
A.在 处的切线方程为
B.有两个零点
C.存在唯一极小值点 ，且
D.有两个极值点
二、多选题
9.下列说法：①对于回归分析，相关系数 的绝对值越小，说明拟合效果越好；
②以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则 ， 的值分别是 和 ；
③已知随机变量 ，若 ，则 的值为 ；
④通过回归直线 及回归系数 ，可以精确反映变量的取值和变化趋势．
其中正确的选项是（    ）
A.①
B.②
C.③
D.④
10.下列说法中正确的（    ）
A.已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
B.向量 ， 不能作为平面内所有向量的一组基底
C.非零向量 ， ，满足 且 与 同向，则
D.非零向量 和 ，满足 ，则 与 的夹角为
11.已知圆锥曲线 与 （ ， ）的公共焦点为 ， ．点M为 ， 的一个公共点，且满足 ，若圆锥曲线 的离心率为 ，则下列说法错误的是（    ）
A.的离心率为  
B.的离心率为
C.的渐近线方程为   
D.的渐近线方程为
12.在正方体 中，点M在线段 上运动，则下列说法正确的是（    ）
A.直线 平面
B.直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
C.异面直线AM与 所成角的取值范围是
D.三棱锥 的体积为定值
三、填空题
13.已知函数 的导函数为 ，且 （其中e为自然对数的底数），则        ．
14.已知 是定义域为 的奇函数， 是偶函数，且当 ， 时， ，则       
15.设点P是椭圆 的短轴的一个上端点，Q是椭圆上的任意一个动点，则 长的最大值是       ．
16.把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列 ，则（1）       ；（2）若 ，则        ．

四、解答题
17.在① ， ；② ；③ 三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.
已知数列 的前 项和为 ，满足______.
（1）求数列 的通项公式：
（2）数列 满足 ，求数列 的前10项和.
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
18.在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是 ，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．
19.在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c， ， 时，
（1）若 ，求c；
（2）记
①当k为何值时， 是直角三角形．
②当k为何值时，使得 有解．（写出满足条件的所有k的值）
20.如图， 且 ， ， 且 ， 且 ， 平面 ， .

（1）若 为 的中点， 为 的中点，求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．

21.在平面直角坐标系 中，圆 ， ，过 的直线 与圆 交于 两点，过 作直线 平行 交 于点 .
（1）求点 的轨迹方程；
（2）若不过坐标原点的直线 与曲线 相交于 、 两点，点 ，且满足 ，求 面积最大时直线 的方程.
22.已知函数
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）设 ， 是函数 的两个极值点，证明： 恒成立．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：由全集 ，集合 ， ，
则 ，所以 。
故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合并集和补集的运算法则，从而求出集合。
2.【答案】 D
【解析】【解答】 ，
共轭复数 ，
对应的点为 ，故对应点在第四象限。
故答案为：D

【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的几何意义，从而求出复数z的共轭复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。
3.【答案】 C
【解析】【解答】由题意：上底面面积为 ，下底面半径为2，则下底面面积为 ，圆台高为 ，
所以圆台的体积 。
故答案为：C.

【分析】利用一圆台的上底面半径为1，且上､下底面半径和高的比为 ， 再结合圆的面积公式得出上底面面积为 ，下底面半径为2，则下底面面积为 ，圆台高为 ，再利用圆台的体积公式，进而求出圆台的体积。
4.【答案】 D
【解析】【解答】因为 ，所以 是偶函数，A不符合题意；
显然是周期函数，因为 ，所以B不符合题意；
因为当 时， ，所以 在区间 上单调递增，在 上单调递减，C不符合题意；
由B中解答知 是 的周期，因为 当 时， ，当 时， ，所以 的最小值为1，D符合题意 ．
故答案为：D

【分析】 由奇偶性的定义可得f (x )是偶函数，可验证π是f(x)的周期，当时，去绝对值号化简判断函数的单调性，结合函数的周期性求f (x)在[0, π]上的最小值即可.
5.【答案】 B
【解析】【解答】不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线 交x轴于点 ，作 于点A， 于点B，如图，

而点 ，M为 的中点，则 ，
所以 。
故答案为：B

【分析】利用已知条件，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线 交x轴于点 ，作 于点A， 于点B，再利用点 ，M为 的中点，从而结合抛物线的定义和中位线的性质，进而求出的值。
6.【答案】 D
【解析】【解答】因为 ，且 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ， 因为 ，所以 。
故答案为：D

【分析】利用 且 ，再利用不等式的基本性质，所以 ，再利用 ，所以 ，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出 的值和的值 ，再利用两角和的余弦公式，进而求出的值，再利用 ，从而求出角的值。
 
7.【答案】 B
【解析】【解答】展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以 ，展开式的通项为： ，若为常数项，则 ，所以， ，得常数项为： 。
故答案为：B

【分析】在展开式中只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以 ，再利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
8.【答案】 D
【解析】【解答】对A，对函数 求导，得 ，则 ， ，所以在 处的切线方程为 ，A正确，不符合题意；
，当 时， ，
当 时， ， ，∴ ，
∴ 时， ，∴ 单调递增，
， ，
在 内， 存在唯一的零点 ,且 ，
且在 内， ， 单调递减； ， ， 单调递增，∴ 为极值点，且为极小值点；由 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 有唯一的极值点，且为极小值点 ，且 ，D错误，符合题意，C正确，不符合题意；
又∵ ,
结合函数 的单调性可知，∴ 有两个零点，B正确，不符合题意；
故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出函数在切点处的切线方程；利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，从而推出函数有两个零点；利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值点，再利用函数有唯一的极值点，且为极小值点 ，且 ，进而找出说法错误的选项。
二、多选题
9.【答案】 B,C
【解析】【解答】对于A，回归分析中，相关系数绝对值越大，拟合效果越好，A不正确；
对于B，由 两边取对数得 ，依题意， ，即 ，B符合题意；
对于C，由正态分布的性质知，由 得 ，于是得 ，C符合题意；
对于D，回归直线 及回归系数 ，不能精确反映变量的取值和变化趋势，D不正确.
故答案为：BC

【分析】利用已知条件结合在回归分析中，相关系数绝对值越大，拟合效果越好；再利用已知条件结合对数的运算法则，从而得出 ， 的值；利用已知条件结合随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的图像的对称性，从而求出 的值；利用回归直线 及回归系数 ，不能精确反映变量的取值和变化趋势，从而找出正确的选项。
10.【答案】 B,D
【解析】【解答】对于A， ， ，且 与 的夹角为锐角，
，且 （ 时， 与 的夹角为 ），所以 且 ，A不符合题意；
对于B，向量 ，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B符合题意；
对于C，C不符合题意；
对于D，因为 ，两边平方得， ，又 ，
则 ， ，
故 ，
而向量的夹角范围为 ，所以 和 的夹角为 ，D符合题意．
综上，正确的选项为BD．
故答案为：BD．

【分析】利用已知条件结合数量积求向量的夹角公式，从而求出实数 的取值范围；利用已知条件结合平面向量基本定理中基底的要求，从而结合向量共线定理，进而推出向量 ， 不能作为平面内所有向量的一组基底； 再利用向量是有方向的量，不能比较大小；再利用已知条件结合数量积求向量的夹角合模的公式，进而得出当非零向量 和 满足 ，从而求出 与 的夹角，进而找出说法正确的选项。
 
11.【答案】 A,D
【解析】【解答】不妨取点M为 ， 第一象限的一个公共点，令 则曲线 的方程为 ,曲线 的方程为 .
又由两曲线有公共焦点,则 ,
由圆锥曲线定义可得: ,
解得： .
又 ，所以 ，可得： ,
整理得 .
因为 ，所以 .A错误，符合题意；B正确，不符合题意；
由 ，得： ，解得： ，所以渐近线方程为 .
C正确，不符合题意，D错误，符合题意.
故答案为：AD

【分析】利用已知条件结合椭圆的定义合双曲线的定义，再利用勾股定理结合椭圆和双曲线的离心率公式以及双曲线的渐近线方程，进而找出说法错误的选项。
12.【答案】 A,B,D
【解析】【解答】分别以DA、DC、 为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
 
对于A：设边长为1，则 , ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
又 平面 ，
所以直线 平面 ，A符合题意；
对于B：因为点M在线段 上运动，
所以设点 ，则 ，
因为 ，
所以平面 平面
所以平面 的法向量 ，也为平面 的法向量，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
因为 ，令
所以当 时， 的最小值为 ，
此时 的最大值为 ，B符合题意；
对于C： ，设异面直线AM与 所成角为 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，
因为 ，
所以 ，
综上 ，所以 ，C不符合题意；
对于D： 因为 ，点M在线段 上运动，
所以点M到直线 的距离不变，即 的面积不变，
又因为点 到平面 的距离恒为 ，
所以点 到平面 的距离不变，即三棱锥的高不变，
所以三棱锥 的体积为定值，D符合题意。
故答案为：ABD

【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用线面垂直的判定定理推出直线 平面 ；再结合线面角的求解方法及诱导公式和二次函数的图像求最大值的方法，进而求出直线 与平面 所成角的正弦值的最大值；再利用已知条件结合异面直线所成的角和二次函数的图像求值域的方法，进而求出异面直线AM与 所成角的取值范围；再利用，点M在线段 上运动，所以点M到直线 的距离不变，再结合三角形的面积公式，得出三角形的面积不变，再利用点 到平面 的距离恒为 ，所以点 到平面 的距离不变，即三棱锥的高不变，再结合三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥 的体积为定值，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
13.【答案】 -2
【解析】【解答】因 ，则两边求导得： ，
取 得： ，解得 ，
所以 。
故答案为：-2。

【分析】利用导数的运算法则结合已知条件，再利用代入法，从而求出导函数的值。
14.【答案】 1
【解析】【解答】利用 为 上的奇函数， 为偶函数，
所以 图象关于 对称， ，
即 ，则 是周期为4的周期函数，
定义域为 的奇函数，则 ， 是周期为4的周期函数，则 ；
当 ， 时， ，则 ，
所以
故答案为：1。

【分析】利用 为 上的奇函数， 为偶函数，再利用偶函数的图像的对称性，所以 图象关于 对称，再利用函数图象的对称性，再结合已知条件得出 ，再结合周期函数的定义，则函数 是周期为4的周期函数，再利用周期函数的定义结合奇函数的性质，从而结合已知条件当 ， 时， ， 进而求出函数值，即的值，再结合求和法得出 的值。
15.【答案】
【解析】【解答】由已知可得 ，设 是椭圆上的任意一个动点， ，
则 ，
所以当 时， 取得最大值为 。
故答案为： 。

【分析】由已知可得 ，设 是椭圆上的任意一个动点， ，再利用两点求距离公式结合二次函数的图像求最值的方法，进而求出 长的最大值。
16.【答案】 58；1028
【解析】【解答】图乙中第 行有 个数，第 行最后一个数为  ，
前 行共有 个数，所以第 行末位数为第 个数，
故第 行末位数即 第 个数，即 ，
由每一行都为公差为 的等差数列，
所以 ，
由 ，
所以 在第45行，
第45行第一个数为 ，
设 为第45行的第 个数，
有 ， ，
所以 。
故答案为：58，1028  。

【分析】利用已知条件结合归纳推理的方法，再结合等差数列的定义和等差数列前n项和公式，进而利用等差数列的性质求出数列第33项的值；再结合 结合等差数列前n项和公式，从而求出n的值。
四、解答题
17.【答案】 （1）选① ， ；
，知数列 是公差 的等差数列，
则 ，得 ，
所以数列 的通项公式为 .
选② ；
，知 ，得 ，
，得 ，即 ，
所以数列 的通项公式为 .
选③ ；
，得 ，
则 ，所以
因为 ，
所以数列 的通项公式为 .

（2）因为 ，所以 ，
则 ， ， ， ， ，
数列 的前10项和为：
.
【解析】【分析】（1） 在① ， ；② ；③ 三个条件中任选一个，补充到问题中，并解答。 选① ， ，再利用递推公式结合等差数列的定义，从而推出数列 是公差 的等差数列，再利用等差数列前n项和公式和已知条件，从而求出等差数列的首项，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
选② ，再结合的关系式结合分类讨论的方法，从而求出数列 的通项公式。选③ ，再利用的关系式结合分类讨论的方法，从而求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列的通项公式结合 和分组求和的方法，从而结合等比数列前n项和公式，从而求出数列 的前10项和。
18.【答案】 （1）解：依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．
设其打破世界纪录的项目数为随机变量 ，
“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则有



（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知， ，
则 ,
,
,
，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以期望 ．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式和互斥事件求概率公式，进而求出该运动员至少能打破2项世界纪录的概率。
（2） 设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知， ， 再利用二项分布求概率公式求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
19.【答案】 （1）在 中，由余弦定理可得： ，
即 ，所以 ，解得： 或 （舍）

（2）①若 ，则 ，所以 ，
若 ，则 ，所以 ，
所以 或 时， 为直角三角形，
②由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以当 时，使得 有解，
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，从而解一元二次方程求出满足要求的c的值。
（2） ① 利用直角三角形的结构特征和分类讨论的方法，再结合正弦函数的定义和正切函数的定义，从而结合已知条件求出k的值。
②由三角形 有解结合正弦定理，可得 ，再利用 ，从而结合正弦型函数的图像，进而求出正弦型函数的值域，从而求出实数k的取值范围。
 
 
20.【答案】 （1）解：依题意,可以建立以 为原点,
分别以 , , 的方向为 轴, 轴, 轴的正方向的空间直角坐标系（如图）,

可得 , , , , ,
, , , .
证明:依题意 , ．
设 为平面 的法向量,
则 ,即 ,
不妨令 ,可得 ．
又 ,可得 ,
又因为直线 平面 ,所以 平面 .

（2）依题意,可得 , , .

设 为平面 的法向量,
则 ,即 ,
不妨令 ,可得 ．
设 为平面 的法向量,
则 ,即 ,
不妨令 ,可得 ．
因此有 ,于是 .
所以,二面角 的正弦值为 .
【解析】【分析】（1） 依题意,可以建立以 为原点,分别以 , , 的方向为 轴, 轴, 轴的正方向的空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合线面平行的判定定理，从而证出线面平行，即证出 平面 。
（2）依题意,可以建立以 为原点,分别以 , , 的方向为 轴, 轴, 轴的正方向的空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量的夹角公式，进而求出二面角 的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出二面角 的正弦值。
21.【答案】 （1）由 ，

于是点 的轨迹是以 为焦点长轴为 的椭圆，
设轨迹方程为 ，其中 ，
轨迹方程为 ，
由于直线 不能与 轴重合，所以 ，
则轨迹为： ( ).

（2）由题意可知，直线 的斜率显然存在，

设直线 的方程为 ， ， ，
由 得 ，
①，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，代入①得 且 ，
由于直线 不能经过点 ，所以 ,
所以
，
当且仅当 ，即 时上式取等号，此时符合题意，
所以直线 的方程为 .
【解析】【分析】（1） 由 ，再利用椭圆的定义，得出点 的轨迹是以 为焦点长轴为 的椭圆，设椭圆的轨迹方程为 ，再利用已知条件结合长轴长和焦距的定义，得出a,c的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程为 ，由于直线 不能与 轴重合，所以 ，进而求出点E的轨迹方程。
（2） 由题意可知，直线 的斜率显然存在， 利用直线的斜截式方程设出直线 的方程，再利用直线余椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，再利用代入法结合 ，再由向量的坐标表示得出直线的斜率，进而求出实数m的取值范围， 由于直线 不能经过点 ，所以 , 再利用三角形的面积公式结合均值不等式求最值的方法，进而求出满足要求的m的值，从而求出直线 的方程。
 
22.【答案】 （1）由题意，函数 的定义域为 ，
且 ，
①当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
②当 时，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时，则 ，所以在 上 单调递增，
④当 时，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；

（2）由 ，则 的定义域为 ，
且 ，
若 有两个极值点 ， ，
则方程 的判别式 ，
且 ， ，解得 ，
又由 ，所以 ，即 ，
所以

，
设函数 ，其中 ， ，
由 得 ，又 ，
所以 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，
即 的最大值为 ，
从而 恒成立．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数 的单调区间。
（2） 利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用函数 有两个极值点 ， ，再结合方程 ，从而利用判别式法得出实数a的取值范围，再利用 结合韦达定理，从而推出 ，再利用作差法得出 ， 设函数 ，其中 ， ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再结合不等式恒成立问题的求解方法，进而证出不等式 恒成立。