九年级数学上册第一次月考数学试卷（附解析）

这是一份九年级数学上册第一次月考数学试卷（附解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。
第一次月考数学试卷（附解析）
一、选择题
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．s＝2t2﹣2t+1 C．y＝ax2+bx+c D．y＝
3．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
4．（3分）如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
5．（3分）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）

A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
6．（3分）下列命题中，真命题的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．任意三个点确定一个圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．90°的圆周角所对的弦是直径
7．（3分）已知二次函数y＝x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
8．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝70°，过点A的圆的切线交射线BO于点P，则∠P的度数是（　　）

A．60° B．50° C．45° D．40°
9．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB＝1，∠B＝60°，则CD的长为（　　）

A．0.5 B．1.5 C． D．1
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（3分）点A（m﹣1，﹣2）与点B（3，n+1）关于原点对称，则m+n＝　 　．
12．（3分）关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
13．（3分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，根据题意可列方程为　 　．
14．（3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB的度数是　 　．

15．（3分）⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为　 　．
16．（3分）若m，n是一元二次方程x2+x﹣12＝0的两根，则m2+2m+n+mn＝　 　．
17．（3分）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数　 　．

18．（3分）如图，△ABC、△CDE是两个直角三角板，其中∠ECD＝∠ACB＝90°，∠CED＝45°，∠CAB＝30°，若AB＝DE＝6，将直角三角板CDE绕点C旋转一周，则|AD﹣BE|的最大值为 　 　．

三、计算题
19．解方程
（1）x2+4x﹣5＝0
（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2．

21．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

22．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝5，BC﹣AC＝1，求CE的长．

23．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

24．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
25．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴正半轴交于C，OC＝OB．
（1）求二次函数解析式；
（2）抛物线对称轴上是否存在点D，使得三角形ACD为等腰三角形，若存在，直接写出D点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在直线BC上方的抛物线上有点P，作PQ⊥BC于点Q，求PQ最大值．
26．把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，C2图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．
（1）若a＝1，m＝0时，C1的相关函数C2为 　 　；
（2）t的值为 　 　（用含m的代数式表示）；
（3）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式．

2020-2021学年江苏省南通市崇川区东方中学九年级（上）
第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．s＝2t2﹣2t+1 C．y＝ax2+bx+c D．y＝
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故此选项符合题意；
C、y＝ax2+bx+c当a＝0时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x2+分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2，
故选：A．
4．（3分）如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理即可求出OC的长．
【解答】解：连接OA，如图：
∵AB＝16cm，OC⊥AB，
∴AC＝AB＝8cm，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm），
故选：D．

5．（3分）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）

A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
【分析】连接AB、AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，
∵AW＝1，WH＝3，
∴AH＝＝；
∵BQ＝3，QH＝1，
∴BH＝＝；
∴AH＝BH，
同理，AD＝BD，
所以GH为线段AB的垂直平分线，
易得EF为线段AC的垂直平分线，
H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，
则BH＝AH＝HC，
H为圆心．
则该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．

6．（3分）下列命题中，真命题的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．任意三个点确定一个圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【分析】利用垂径定理对A进行判断；利用确定圆的条件对B进行判断；利用圆周角定理对C、D进行判断．
【解答】解：A．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以A选项不符合题意；
B．不共线的三点确定一个圆，所以B选项不符合题意；
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项不符合题意；
D．90°的圆周角所对的弦是直径，所以D选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）已知二次函数y＝x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数图象与x轴的两交点关于对称轴对称，即可求出抛物线与x轴的另一交点坐标，此题得解．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣5x+m的图象的对称轴为直线x＝．
∵该二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴另一交点坐标为（×2﹣1，0），即（4，0）．
故选：B．
8．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝70°，过点A的圆的切线交射线BO于点P，则∠P的度数是（　　）

A．60° B．50° C．45° D．40°
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠AOP，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接OA，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝140°，
∴∠AOP＝40°，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠P＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．

9．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB＝1，∠B＝60°，则CD的长为（　　）

A．0.5 B．1.5 C． D．1
【分析】利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝2AB＝2，再根据旋转的性质得AD＝AB，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD＝AB＝1，然后计算BC﹣BD即可．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴BC＝2AB＝2，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，
∴AD＝AB，
而∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝2﹣1＝1．
故选：D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据对称轴和抛物线与y轴的交点可对①作出判断；
根据△ABC的面积＝AB•yC＝AB×2＝2可得AB的长，得出点A的坐标，可对②作出判断；
根据抛物线的对称轴得到点M、N离对称轴得远近，可对③作出判断；
根据抛物线与一元二次方程的关系可对④作出判断．
【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，abc＜0，故①正确，符合题意；
②△ABC的面积＝AB•yC＝AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故③错误，不符合题意；
④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），根据函数的对称轴是x＝1可知该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故④正确；
故选：B．
二、填空题
11．（3分）点A（m﹣1，﹣2）与点B（3，n+1）关于原点对称，则m+n＝　﹣1　．
【分析】根据“关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”列方程求出m、n的值，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵点A（m﹣1，﹣2）与点B（3，n+1）关于原点对称，
∴m﹣1＝﹣3，
n+1＝2，
解得m＝﹣2，n＝1，
所以，m+n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（3分）关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜4且k≠0　．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4×k×1＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4×k×＞0，
解得：k＜4且k≠0．
故：k的取值范围是k＜4且k≠0，
故答案为：k＜4且k≠0．
13．（3分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，根据题意可列方程为　25（1﹣x）2＝16　．
【分析】由两次降价的百分率都为x结合原价及两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵两次降价的百分率都为x，
∴25（1﹣x）2＝16．
故答案为：25（1﹣x）2＝16．
14．（3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB的度数是　65°　．

【分析】连接BD，由于点D是AC弧的中点，即弧CD＝弧AD，根据圆周角定理得∠ABD＝∠CBD，则∠ABD＝25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数．
【解答】解：连接BD，如图，
∵点D是 的中点，即弧CD＝弧AD，
∴∠ABD＝∠CBD，
而∠ABC＝50°，
∴∠ABD＝×50°＝25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣25°＝65°．
故答案为65°．

15．（3分）⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为　4　．
【分析】先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据Δ＝0即可求出m的值．
【解答】解：∵d、R是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且直线L与⊙O相切，
∴d＝R，
∴方程有两个相等的实根，
∴Δ＝16﹣4m＝0，
解得，m＝4，
故答案为：4．
16．（3分）若m，n是一元二次方程x2+x﹣12＝0的两根，则m2+2m+n+mn＝　﹣1　．
【分析】根据方程的解得定义和韦达定理得m2+m＝12，m+n＝﹣1，代入原式＝m2+m+m+n+mn可得答案．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣12＝0的两根，
∴m2+m﹣12＝0，即m2+m＝12，m+n＝﹣1，mn＝﹣12，
则原式＝m2+m+m+n+mn＝12﹣1﹣12＝﹣1，
故答案为：﹣1．
17．（3分）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数　150°　．

【分析】首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP＝60°，由△ABP≌CBQ可得QC＝PA，在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC＝90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．
【解答】解：连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ
则QB＝PB＝4，PA＝QC＝3，∠ABP＝∠CBQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝60°，
∴∠PBQ＝∠CBQ+∠PBC＝60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ＝PB＝BQ＝4，
又∵PQ＝4，PC＝5，QC＝3，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP＝60°，
∴∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝150°
∴∠APB＝∠BQC＝150°

18．（3分）如图，△ABC、△CDE是两个直角三角板，其中∠ECD＝∠ACB＝90°，∠CED＝45°，∠CAB＝30°，若AB＝DE＝6，将直角三角板CDE绕点C旋转一周，则|AD﹣BE|的最大值为 　3﹣3　．

【分析】如图，在CA取一点J，使得CJ＝CB，连接DJ．利用全等三角形的性质证明BE＝DJ，推出|AD﹣BE|＝|AD﹣DJ|≤AJ，求出AJ即可解决问题．
【解答】解：如图，在CA取一点J，使得CJ＝CB，连接DJ．

在Rt△ACB中，AB＝6，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，
∴CB＝CJ＝AB＝6＝3，AC＝BC＝3×＝3，
∵∠ECD＝∠BCJ＝90°，
∴∠DCJ＝∠ECB，
在△DCJ与△ECB中，
，
∴△DCJ≌△ECB（SAS），
∴DJ＝BE，
∴|AD﹣BE|＝|AD﹣DJ|，
∵|AD﹣DJ|≤AJ，
∴|AD﹣BE|≤3﹣3，
∴|AD﹣BE|的最大值为3﹣3．
故答案为：3﹣3．
三、计算题
19．解方程
（1）x2+4x﹣5＝0
（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）
【分析】根据解一元二次方程的方法﹣因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）因式分解得（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1；
（2）3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝2，x2＝．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2．

【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（﹣2，﹣4）；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．

21．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
22．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝5，BC﹣AC＝1，求CE的长．

【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝AB，根据等腰三角形的性质得出即可；
（2）根据勾股定理求出AC和BC，求出DC，求出∠B＝∠E＝∠D，根据等腰三角形的判定得出DC＝CE，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BD，
∵BC＝CD，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D；

（2）解：在Rt△ACB中，AB＝5，BC﹣AC＝1，由勾股定理得：AC2+（AC+1）2＝52，
解得：AC＝3，BC＝4，
∵BC＝CD，
即CD＝4，
∵由圆周角定理得：∠B＝∠E，
又∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CE＝DC，
∵CD＝4，
∴CE＝4．
23．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，则CD为⊙O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，设AD＝x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD．
∵DC+DA＝6，
设AD＝x，则OF＝CD＝6﹣x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF＝OC＝5，
∴AF＝5﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．
即（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，
化简得x2﹣11x+18＝0，
解得x1＝2，x2＝9．
∵CD＝6﹣x大于0，故x＝9舍去，
∴x＝2，
从而AD＝2，AF＝5﹣2＝3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝6．

24．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x≤80 ）；

（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜0，
∴当x＝60时，P最大值＝8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；

（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，
解得x1＝50，x2＝70．
∵抛物线P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝58时，y最小值＝﹣20×58+1600＝440，
即超市每天至少销售粽子440盒．
25．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴正半轴交于C，OC＝OB．
（1）求二次函数解析式；
（2）抛物线对称轴上是否存在点D，使得三角形ACD为等腰三角形，若存在，直接写出D点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在直线BC上方的抛物线上有点P，作PQ⊥BC于点Q，求PQ最大值．
【分析】（1）先求出C（0，3），再把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，求出a，b，c的值即可；
（2）分三种情形讨论：①CD＝AD，②AD＝AC，③AC＝CD，画出图形即可解决问题；
（3）求出BC所在直线解析式y＝﹣x+3，作直线l平行直线BC且与抛物线只有一个交点，求出两条直线之间的距离即为PQ的最大值．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且OC＝OB，
∴C（0，3），
把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得，
，解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；

（2）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣＝1，顶点坐标为（1，4），
设D点坐标为：D（1，a），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝12+32＝10，
CD2＝12+（a﹣3）2＝a2﹣6a+10，
AD2＝（1+1）2+a2＝a2+4，
①如图，以AC为底，CD＝AD时，

a2﹣6a+10＝a2+4，
解得，a＝1，
D（1，1）；
②以CD为底，AD＝AC，如图，

∴a2+4＝10，
解得，a＝±，
∴D（1，）或D（1．﹣）；
③以AD为底，AC＝CD，如图，

∴a2﹣6a+10＝10，
解得，a＝0或6，
∴D（1，0）或D（1，6），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC所在直线解析式y＝x+3，
∴D（1，6）时，点A、C、D在同一直线上，
∴以AD为底，AC＝CD时，D（1，0）；
综上所述，存在，D点的坐标为：（1，0）或（1，1）或 （1， ），D（1，﹣）；

（3）设BC所在直线解析式为y＝kx+b，
把（3，0），C（0，3）代入得，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
∵PQ⊥BC于点Q，过点P作直线1：y＝﹣x+b与BC平行且与抛物线只有唯一一个交点P，交y于点N，如图，

此时，PQ最长，
∴﹣x2+2x+3＝﹣x+b，即x2﹣3x+b﹣3＝0．
∴Δ＝9﹣4（b﹣3）＝0，
∴b＝，
过点C作CM⊥l于点M，则CM＝PQ，∠NCM＝45°，
∴PQ最大值即CM＝（b﹣3）×＝×＝．
26．把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，C2图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．
（1）若a＝1，m＝0时，C1的相关函数C2为 　y＝﹣x2﹣2x+3　；
（2）t的值为 　t＝2m﹣1　（用含m的代数式表示）；
（3）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式．
【分析】（1）求出函数C1与函数C2的对应顶点坐标，即可求解；
（2）顶点（1，﹣4a）绕点P（m，0）旋转180°后，对应顶点坐标分别为（1，﹣4a）、（2m﹣1，4a），即可求t＝2m﹣1；
（3）分三种情况讨论：①当≤t＜1时；②当1≤t≤时；③当t＞时，分别求出符合条件的t即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点坐标为（1，﹣4a），
当a＝1时，顶点坐标为（1，﹣4），
∴旋转后的函数顶点坐标为（﹣1，4），
∴y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故答案为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵函数C1的顶点坐标为（1，﹣4a），
∴顶点y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°后的顶点坐标为（2m﹣1，4a），
∵C2图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0），
∴t＝2m﹣1，
故答案为t＝2m﹣1；
（3）∵a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∴函数的对称轴为x＝1，
①当≤t＜1时，x＝t时，有最大值y1＝﹣t2+2t+3，
x＝时，有最小值y2＝，
∵y1﹣y2＝1，
∴﹣t2+2t+3﹣＝1，
∴t无解；
②当1≤t≤时，x＝1时，有最大值y1＝4，
x＝时，有最小值y2＝，
∴y1﹣y2＝，不符合题意；
③当t＞时，x＝1时，有最大值y1＝4，
x＝t时，有最小值y2＝﹣t2+2t+3，
∵y1﹣y2＝1，
∴4﹣t2﹣2t﹣3＝1，
∴t＝2或t＝0（舍），
∴C2的解析式y＝x2﹣4x．