高考物理一轮复习第九章磁场第3课时带电粒子体在有界磁场中的运动学案新人教版

第3课时　带电粒子(体)在有界磁场中的运动

1．(2020·全国卷Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选C　为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有＋r＝3a，解得r＝a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB＝m，解得B＝，选项C正确。

2. (2019·全国卷Ⅱ)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　)

A.kBl，kBl　　　　　　 B.kBl，kBl

C.kBl，kBl   D.kBl，kBl

解析：选B　若电子从a点射出，运动轨迹如图线①所示，

有qvaB＝m

Ra＝

解得va＝＝＝

若电子从d点射出，运动轨迹如图线②所示，

有qvdB＝m

其中Rd2＝2＋l2

解得vd＝＝＝

选项B正确。

3．(2021年1月新高考8省联考·河北卷)如图，x轴正半轴与虚线所围区域内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。甲、乙两粒子分别从距x轴h与2h的高度以速率v0平行于x轴正向进入磁场，并都从P点离开磁场，OP＝h。则甲、乙两粒子比荷的比值为(不计重力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)

A．32∶41       B．56∶41

C．64∶41       D．41∶28

解析：选C　甲粒子从N位置水平飞入磁场，运动的轨迹如图所示，

甲粒子做匀速圆周运动的半径为O1N＝O1P＝r1，＝＋＝＋htan 37°＝

由勾股定理得：(r1－)2＋（）2＝r12，即(r1－h)2＋2＝r12，解得r1＝h

乙粒子从A位置飞入磁场，O2A＝O2P＝2h，转过圆周从P点飞出，则乙粒子运动的半径为r2＝O2A＝2h

洛伦兹力提供向心力qvB＝m

解得r＝

可知粒子运动的半径r与粒子的比荷＝k成反比，所以甲、乙两粒子比荷的比值为＝＝＝，C项正确。

4.(2021年1月新高考8省联考·湖南卷)在某些精密实验中，为了避免变化的电场和磁场之间的相互干扰，可以用力学装置对磁场中的带电粒子进行加速，如图，表面光滑的绝缘平板水平放置在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于竖直面向里。平板上有一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，初始时刻带电粒子静止在绝缘平板上，与绝缘平板左侧边缘的距离为d，在机械外力作用下，绝缘平板以速度v1竖直向上做匀速直线运动。一段时间后带电粒子从绝缘平板的左侧飞出，并垂直入射到一块与绝缘平板相互垂直的荧光屏上，不计带电粒子的重力。

(1)指出带电粒子的电性，并说明理由；

(2)求带电粒子在绝缘平板上的运动时间t；

(3)求整个过程中带电粒子在竖直方向位移的大小h。

解析：(1)粒子带正电，因为粒子能够向左运动离开绝缘平板，说明粒子在和绝缘平板向上运动的时候受到向左的洛伦兹力，由左手定则知粒子带正电。

(2)带点粒子在竖直方向做匀速直线运动，受到向左的洛伦兹力，大小为F＝qv1B，因此水平方向做匀加速直线运动，F＝qv1B＝ma，d＝at2，联立解得t＝。

(3)粒子离开绝缘平板时具有竖直向上的速度v1，在水平方向做匀加速运动，则有vx2＝2ad

设粒子离开绝缘平板时的速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝

粒子离开绝缘平板后做匀速圆周运动，合速度为v＝

由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m

粒子离开绝缘平板后竖直方向的位移为h2＝R－Rsin θ

在绝缘平板上时上升的高度h1＝v1t

总高度h＝h1＋h2

联立可得

h＝ ＋。

答案：(1)带正电，理由见解析　(2)　

(3)＋

1．带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动问题是历年高考的热点，常以选择题、计算题的形式出现。

2．有界磁场问题可以综合考查受力分析、圆周运动及学生的空间作图，识图能力等，因此一般难度较高。

命题视角一　带电粒子在有界磁场中的运动

1．两种方法定圆心

(1)已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心。如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点。

(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心。如图乙所示，P为入射点，M为出射点。

2．几何知识求半径

(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。

(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)。

(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。

3．带电粒子在有界磁场中运动的解题步骤：

类型1　直线边界问题

[例1]　(多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ角的不同速率，向磁场中射入两个相同的粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，则(　　)

A．粒子1与粒子2的速度之比为1∶2

B．粒子1与粒子2的速度之比为1∶4

C．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶1

D．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶2

[解析]粒子进入磁场时速度的垂线与OA的垂直平分线的交点为粒子1在磁场中做圆周运动的圆心，同理，粒子进入磁场时速度的垂线与OB的垂直平分线的交点为粒子2在磁场中做圆周运动的圆心，由几何关系可知，两个粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为r1∶r2＝1∶2，由r＝可知，粒子1与粒子2的速度之比为1∶2，A项正确，B项错误；由于粒子在磁场中做圆周运动的周期均为T＝，且两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角相同，因此粒子在磁场中运动的时间相同，即C项正确，D项错误。

[答案]　AC

类型2　平行边界问题

[例2]　如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里。一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场。若电子在磁场中运动的轨迹半径为2d。O′在MN上，且OO′与MN垂直。下列判断正确的是(　　)

A．电子将向右偏转

B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d

C．电子打在MN上的点与O′点的距离为d

D．电子在磁场中运动的时间为

[解析]电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示，A错误；设电子打在MN上的点与O′点的距离为x，则由几何知识得：x＝r－＝2d－＝(2－)d，故B、C错误；设轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得：sin θ＝＝0.5，得θ＝，则电子在磁场中运动的时间为t＝＝，故D正确。

[答案]　D

类型3　圆形边界的磁场

[例3]如图所示，半径为r的圆形空间内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)，从静止经电场加速后从圆形空间边缘上的A点沿半径方向垂直射入磁场，在C点射出。已知∠AOC＝120°，粒子在磁场中运动时间为t0，则加速电场的电压是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

[解析]　根据几何知识可知，粒子轨迹对应的圆心角为α＝180°－120°＝60°＝，轨迹半径为R＝rtan 60°＝r，由t0＝·及qU＝mv2，得U＝，A正确。

[答案]　A

类型4　三角形边界的磁场

[例4](2021·福州模拟)如图所示，匀强磁场的边界为直角三角形abc，一束带正电的相同粒子以不同的速度v沿bc方向从b点射入磁场，不计粒子的重力。关于粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是(　　)

A．入射速度越大的粒子，在磁场中的运动时间越长

B．入射速度越大的粒子，在磁场中的运动轨迹越长

C．从ab边出射的粒子在磁场中的运动时间都相等

D．从ac边出射的粒子在磁场中的运动时间都相等

[解析]　带电粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹半径r＝，速度越大，半径越大，从ac边出射的粒子，速度越大，运动轨迹越短，对应的圆心角θ越小，根据t＝T和T＝可知，粒子在磁场中的运动时间越短，选项A、B、D错误；从ab边出射的粒子速度的偏向角都相同，而粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角等于速度的偏向角，由t＝T可知，粒子在磁场中的运动时间相等，选项C正确。

[答案]　C

类型5　其他形状边界的磁场

[例5]如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则(　　)

A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1

B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2

C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1

D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2

[解析]如图所示，设正六边形的边长为l，当带电粒子的速度大小为vb时，其圆心在a点，轨迹半径r1＝l，转过的圆心角θ1＝π，当带电粒子的速度大小为vc时，其圆心在O点(即fa、cb延长线的交点)，故轨迹半径r2＝2l，转过的圆心角θ2＝，根据qvB＝m得v＝，故＝＝。由T＝得T＝，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又t＝T，所以＝＝。故选项A正确，B、C、D错误。

[答案]　A

命题视角二　临界极值问题

1．临界条件的挖掘

(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

(3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长。

(4)当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大。

2．不同边界磁场中临界条件的分析

(1)平行边界：常见的临界情景和几何关系如图所示。

(2)矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。

(3)三角形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直于AB进入磁场的粒子临界轨迹示意图。粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。

[例1]如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是(　　)

A．粒子a带负电

B．粒子c的动能最大

C．粒子b在磁场中运动的时间最长

D．粒子b在磁场中运动时的向心力最大

[解析]　由左手定则可知，粒子a带正电，故A错误；由qvB＝m，可得r＝，由题图可知粒子c的轨迹半径最小，粒子b的轨迹半径最大，又m、q、B相同，所以粒子c的速度最小，粒子b的速度最大，由Ek＝mv2，知粒子c的动能最小，根据洛伦兹力提供向心力有F向＝qvB，则可知粒子b的向心力最大，故D正确，B错误；由T＝，可知粒子a、b、c的周期相同，但是粒子b的轨迹所对的圆心角最小，则粒子b在磁场中运动的时间最短，故C错误。

[答案]　D

[例2]　如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一个粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

[解题指导]　解答本题应注意两点：

(1)粒子运动的弦越长，时间越长；

(2)粒子运动的弦越短，时间越短。

[解析]由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动。由粒子速度大小都相同，故轨迹弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；而弧长越小，弦长也越短，所以从S点作OC的垂线SD，则SD为最短弦，可知粒子从D点射出时运行时间最短，如图所示，根据最短时间为，可知△O′SD为等边三角形，粒子做圆周运动半径R＝SD，过S点作OA的垂线交OC于E点，由几何关系可知SE＝2SD，SE为圆弧轨迹的直径，所以从E点射出，对应弦最长，运行时间最长，且t＝，故B项正确。

[答案]　B

[集训冲关]

1.如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r，此时粒子轨迹对应的圆心角为60°，故t＝＝＝，故选项C正确。

2.如图所示，长方形abcd长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T。一群不计重力、质量m＝3×10－7 kg、电荷量q＝＋2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×102 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则(　　)

A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边

B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边

C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边

D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边

解析：选D　由r＝得带电粒子在匀强磁场中运动的半径r＝0.3 m，从Od边射入的粒子，出射点分布在be边；从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边；选项D正确。

3. (多选)如图所示，直角三角形边界ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，AC长为2L，AB长为L。从AC的中点D连续发射不同速率的相同粒子，方向与AC垂直，粒子带正电，电荷量为q，质量为m，不计粒子重力与粒子间的相互作用，下列判断正确的是(　　)

A．以不同速率入射的粒子在磁场中运动的时间一定不等

B．BC边上有粒子出射的区域长度不超过L

C．AB边上有粒子出射的区域长度为(－1)L

D．从AB边出射的粒子在磁场中的运动时间最短为

解析：选BC　若不同速率入射的粒子在磁场中运动时都从AC边射出，则运动的时间相等，选项A错误；如图甲，当粒子的速度无穷大时可认为粒子不发生偏转从E点射出，从BC边上有粒子出射的区域在BE部分，则长度不超过Ltan 30°＝L，选项B正确；

由图乙可知，AB边上有粒子出射的区域为BF之间，由几何关系可知：＝，解得r＝，则BF＝L－＝(－1)L，选项C正确；从AB边上出射的粒子在B点射出时时间最短，粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°，则粒子在磁场中的运动时间最短为t＝＝，选项D错误。

命题视角三　带电粒子在匀强磁场中的多解问题

类型1　带电粒子电性不确定形成多解

受洛伦兹力作用的带电粒子，由于电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。

如图所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。　　

[例1]　(多选)如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

[解析]　粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R＝知，粒子的入射速度v0越大，R越大，当粒子的轨迹和边界QQ′相切时，粒子刚好不从QQ′射出，此时其入射速度v0应为最大。若粒子带正电，其运动轨迹如图(a)所示(此时圆心为O点)，由几何关系得R1sin 45°＋d＝R1，将R1＝代入上式得v0＝，B项正确。若粒子带负电，其运动轨迹如图(b)所示(此时圆心为O′点)，由几何关系得R2＋R2cos 45°＝d，将R2＝代入上式得v0＝，C项正确。

[答案]　BC

类型2　磁场方向不确定形成多解

有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。

如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。　　

[例2]　(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　　)

A.   B.

C.   D.

[解析]　依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv＝m，得v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv＝m，v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝，故A、C正确。

[答案]　AC

类型3　临界状态不唯一形成多解

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。

[例3]　(多选)如图所示，xOy平面的一、二、三象限内存在垂直纸面向外、磁感应强度B＝1 T的匀强磁场，ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为 9 m，M点为x轴正方向上一点，OM间距为3 m。现有一个比荷大小为＝1.0 C/kg可视为质点带正电的小球(重力不计)，从挡板下端N处以不同的速度沿x轴负方向射入磁场，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，小球最后都能经过M点，则小球射入的速度大小可能是(　　)

A．3 m/s  B．3.75 m/s

C．4 m/s  D．5 m/s

[解析]　因为小球射入磁场后再通过y轴时的速度方向一定是沿x轴正方向，故带电小球做圆周运动轨迹半径最小值Rmin＝lOM＝3 m，即Rmin＝，解得vmin＝3 m/s；经验证，带电小球能以3 m/s速度进入磁场，与ON碰撞一次，再经四分之三圆周经过M点，如图甲所示，A项正确；当带电小球与ON不碰撞，直接经过M点，如图乙所示，小球沿x轴负方向射入磁场，则轨迹圆心一定在y轴上，由几何关系知，此时轨迹半径最大值满足Rmax2＝lOM2＋(lON－Rmax)2，解得Rmax＝5 m，又Rmax＝，解得vmax＝5 m/s，D项正确；当小球速度大于3 m/s、小于5 m/s时，轨迹如图丙所示，由过圆直径的内接三角形几何条件可得＝，解得轨迹半径R＝3.75 m(另一解R＝3 m舍去)，由半径公式R＝，得v＝3.75 m/s，B项正确；由上述分析易知C项错误。

[答案]　ABD

类型4　运动的周期性形成多解

带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。

[例4]　如图甲所示，M、N为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个正对的小孔，分别为O、O′，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的影响，不计离子所受重力。求：

(1)磁感应强度B0的大小；

(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。

[解析]　(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，

有qv0B0＝，

做匀速圆周运动的周期T0＝，

联立两式得磁感应强度B0＝。

(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，

两板之间正离子只运动一个圆周运动周期即T0时，

有r＝，

当两板之间正离子运动n个圆周运动周期，即nT0时，

有r＝(n＝1,2,3，…)

联立求解，得正离子的速度的可能值为

v0＝＝(n＝1,2,3，…)．

[答案]　(1)　(2)(n＝1,2,3，…)