初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程综合与测试测试题

这是一份初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程综合与测试测试题，共26页。试卷主要包含了方程x，一元二次方程的根的情况是，用配方法解时，配方结果正确的是，下列方程中，有实数根的是等内容，欢迎下载使用。
第二章《一元二次方程》检测卷（广东专用）
一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．方程x（x﹣5）＝2（x﹣5）的解是（　　）
A．﹣5 B．2 C．2或﹣5 D．2或5
2．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（ ）

-1.13
-1.12
-1.11
-1.10
-1.09
-1.08
-1.07

4.67
4.61
4.56
4.51
4.46
4.41
4.35

A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．如图，某小区有一块长为45米，宽为36米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形草地，它们的面积之和为1080平方米，两块草地之间及周围都是宽度相同的人行通道，求人行通道的宽度为（ ）米

A．3 B．30 C．4 D．5
5．用配方法解时，配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列方程中，有实数根的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解，则另一个解是（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣1
8．一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A．4 B．-1 C．-3 D．-2
9．方程化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．1，1， B．1，，6 C．1，，2 D．1，3，2
10．爷爷的生日晚宴上，大家两两碰杯一次，总共碰杯45次，那么有几人参加了这次宴会？（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．方程2x(x−2)=3(x−2)的解是__________．
12．请写出一个解为x1＝2，x2＝3的一元二次方程_______．
13．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为________．
14．把方程的左边展开，化成一般形式，得方程__________________，这个方程的二次项系数为_______，一次想系数p＝___________，常数项q＝_______，于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：___________，＝___________
15．方程配成的形式为_______________．
16．在△ABC中，点D为AB边上一点，连接CD，把△BCD沿着CD翻折，得到△B'CD，AC与B'D交于点E，若∠A＝∠ACD，AE＝CE，S△ACD＝S△B'CE，BC＝，则点A到BC的距离为_____．


三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程
（1） （2）



（3） （配方法） （4）（公式法）




18．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程不含的一次项，求的值和方程的解．
（2）当时，求方程的解．












19．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．
（1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？













20．求解一元一次方程，根据等式的性质，把方程转化为的形式求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来求解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，因为“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用转化的数学思想我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，从而可得方程的解．
（1）问题：方程的解是，________，________；
（2）拓展：用“转化”的思想求方程的解．









四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．已知关于的方程．
（1）若是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根．
（2）若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？










22．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）若商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？










23．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元，也不得低于7元，调查发现日均销售量(桶)与销售单价(元)的函数图象如图所示．

（1）求日均销售量(桶)与销售单价(元)的函数关系式；
（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么日均销售多少桶水？







五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．

（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．











25．（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．
（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．
（3）若a、b、c分别是ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断ABC的形状，并说明理由．
（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．












































参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．方程x（x﹣5）＝2（x﹣5）的解是（　　）
A．﹣5 B．2 C．2或﹣5 D．2或5
【答案】D
【分析】
利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵x（x﹣5）＝2（x﹣5），
∴x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0，
则（x﹣5）（x﹣2）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝5，x2＝2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（ ）

-1.13
-1.12
-1.11
-1.10
-1.09
-1.08
-1.07

4.67
4.61
4.56
4.51
4.46
4.41
4.35

A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
【答案】B
【分析】
根据表格中的数据，可判断代数式的值为4.61和4.56时，对应的值为-1.12和-1.11，观察原方程可理解为求代数式的值为4.6时，对应的的值，由此判断即可．
【详解】
解：∵时，；时，；
∴时，对应应满足，
∴原方程的近似解为：-1.118，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的近似解，理解表格中的数据，掌握求近似解的方法是解题关键．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】
先化为一般形式，判断一元二次方程的根的情况，只要看方程根的判别式△的值的符号就可以了．
【详解】
解：，
，
，
，，，
△，
有两个不相等的实数根．
故选：．
【点睛】
本题考查了根的判别式，总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△方程有两个不相等的实数根；
（2）△方程有两个相等的实数根；
（3）△方程没有实数根．
4．如图，某小区有一块长为45米，宽为36米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形草地，它们的面积之和为1080平方米，两块草地之间及周围都是宽度相同的人行通道，求人行通道的宽度为（ ）米

A．3 B．30 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
设人行通道的宽为x米，则两块草地可合成长为（45-3x）米，宽为（36-2x）米的矩形，根据两块草地的面积之和为1080平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】
解：设人行通道的宽为x米，则两块草地可合成长为（45-3x）米，宽为（36-2x）米的矩形，
依题意得：（45-3x）（36-2x）=1080，
整理得：x2-33x+90=0，
解得：x1=3，x2=30（不合题意，舍去）．
所以，人行通道的宽为3米．
故选：A
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．用配方法解时，配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：方程x2-4x-5=0，
移项得：x2-4x=5，
配方得：x2-4x+4=9，即（x-2）2=9．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．下列方程中，有实数根的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可．
【详解】
解：A．此选项方程根的判别式△＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，此方程没有实数根；
B．此选项方程根的判别式△＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）＝32＞0，此方程有两个不相等的实数根；
C．此选项方程根的判别式△＝42﹣4×3×4＝﹣32＜0，此方程没有实数根；
D．此选项方程根的判别式△＝（﹣5）2﹣4×4×2＝﹣7＜0，此方程没有实数根；
故选B．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b24ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
7．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解，则另一个解是（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣1
【答案】C
【分析】
根据根与系数的关系：x1+x2＝﹣，即可求得．
【详解】
解：设方程的另一个解为x1，
∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解，
∴﹣1+x1＝﹣3，
∴x1＝﹣2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
8．一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A．4 B．-1 C．-3 D．-2
【答案】A
【分析】
设方程的另一个根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设方程的另一个根为m，
则有m×（-1）=-4，
解得：m=4．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于是解题的关键．
9．方程化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．1，1， B．1，，6 C．1，，2 D．1，3，2
【答案】B
【分析】
首先将方程化为一般形式：，然后根据此一般形式，即可求得答案．
【详解】
解：方程化成一般形式是，
二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6．
故选：B．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式．解题的关键是注意一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
10．爷爷的生日晚宴上，大家两两碰杯一次，总共碰杯45次，那么有几人参加了这次宴会？（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【答案】C
【分析】
此题利用基本数量关系：两两碰杯一次，总次数为 （n表示人数）列方程解答即可．
【详解】
解：设有x人参加了这次宴会，根据题意列方程得，
，
解得x₁＝10，x₂＝−9（不合题意，舍去），
∴有10人参加了这次宴会．
故选：C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用中的基本数量关系：单循环比赛进行的总场数为，依此数量关系推广到一般问题．

第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．方程2x(x−2)=3(x−2)的解是__________．
【答案】x1=2，x2=
【分析】
利用因式分解法求解可得．
【详解】
解：∵2x(x−2)=3(x−2)，
∴2x(x−2)-3(x−2)=0，
则（x-2）（2x-3）=0，
∴x-2=0或2x-3=0，
解得：x1=2，x2=；
故答案为：x1=2，x2=．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解题的关键是选择适当的解题方法．
12．请写出一个解为x1＝2，x2＝3的一元二次方程_______．
【答案】（x-2）（x-3）=0（答案不唯一）
【分析】
根据因式分解法解一元二次方程即可构造方程．
【详解】
写出一个解为x1＝2，x2＝3的一元二次方程为（x-2）（x-3）=0
故答案为：（x-2）（x-3）=0（答案不唯一）．
【点睛】
此题主要考查因式分解法解方程的应用，解题的关键是熟知一元二次方程的解法．
13．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为________．
【答案】25%
【分析】
设平均每月的增长率是x，根据2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，可列方程求解．
【详解】
解：设平均每月的增长率是x，根据题意得
160（1＋x）2＝250，
解得x＝25%或x＝﹣225%（舍去）．
答：平均每月的增长率是25%．
故答案为：25%．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解.
14．把方程的左边展开，化成一般形式，得方程__________________，这个方程的二次项系数为_______，一次想系数p＝___________，常数项q＝_______，于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：___________，＝___________
【答案】 1 －p q
【详解】
略
15．方程配成的形式为_______________．
【答案】
【分析】
根据配方法的一般步骤计算：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】
解：∵3x2−8x−3=0，
∴3x2−8x=3，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
16．在△ABC中，点D为AB边上一点，连接CD，把△BCD沿着CD翻折，得到△B'CD，AC与B'D交于点E，若∠A＝∠ACD，AE＝CE，S△ACD＝S△B'CE，BC＝，则点A到BC的距离为_____．

【答案】
【分析】
过点C作CM⊥AB，结合等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理求得CM的长，然后利用三角形面积公式列方程求解．
【详解】
解：过点C作CM⊥AB，

∵∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵AE＝CE，
∴DE⊥AC，
∴S△ACD＝2S△DCE，
又∵S△ACD＝S△B'CE，
∴2S△DCE＝S△B'CE，
∴，
设DE＝x，则B′E＝2x，
由折叠性质可得：DB′＝DB＝3x，BC＝B′C，∠B＝∠B′，
又∵CM⊥AB，DE⊥AC，
∴∠CMB＝∠CEB′，
∴△CMB≌△CEB′（AAS），
∴BM＝B′E＝2x，CM＝CE，
又∵CD＝CD，
∴Rt△CMD≌Rt△CED（HL），
∴DM＝DE=x，
∵S△ABC＝AB•CM＝（AD+BD）•CM＝CM·（AD+3x），
S△ABC＝S△ADC+S△BDC＝2S△CDE+S△BDC＝2×DE•CE+BD•CM＝ x·CM，
∴CM·（AD+3x）＝ x·CM，
解得：AD＝2x，
∴AD＝CD＝2x，
在Rt△CMD中，CM＝，
在Rt△BCM中，（2x）2+（x）2＝（）2，
解得：x＝±（负值舍去），
∴CM＝，AB＝，
设△ABC中BC边上的高为h，
∴S△ABC＝BC•h＝AB•CM，
∴，
解得：h＝，
即点A到BC的距离为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠性质、三角形的面积公式、勾股定理、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会运用等面积法求解是解答的关键．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程
（1） （2）
（3）（配方法） （4）（公式法）
【答案】（1）x1=0，x2=；（2）x1=1，x2=；（3）x1=，x2=；（4）x1=，x2=．
【分析】
（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（3）利用配方法得到（x-）2=，然后利用直接开平方法解方程；
（4）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【详解】
解：（1），
移项得：5x2-4x=0，
x（5x-4）=0，
x=0或5x-4=0，
解得：x1=0，x2=；
（2），
移项、整理得：3x（x-1）+2（x-1）=0，
（x-1）（3x+2）=0，
x-1=0或3x+2=0，
解得：x1=1，x2=；
（3），
方程变形得：x2-3x=1，
配方得：x2-3x+=1+，即（x-）2=，
开方得：x-=±，
解得：x1=，x2=；
（4），
∵，，，
∴，
∴x=，
∴x1=，x2=．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
18．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程不含的一次项，求的值和方程的解．
（2）当时，求方程的解．
【答案】（1）m=3，；（2）．
【分析】
（1）方程整理后，根据题意得到m−3=0，求得m=3，再直接开平方法即可求解；
（2）把m=−3代入一元二次方程，利用因式分解法即可求出方程的解．
【详解】
解：（1）方程整理，得：x2+(m−3)x−16=0，
根据题意得：m−3=0，
解得：m=3，
则一元二次方程为：x2 −16=0，即x2 =16，
解得：；
（2）把m=−3代入一元二次方程得：x2-3x−3x−16=0，
即x2−6x−16=0，
因式分解得：，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，正确解方程是解题关键．
19．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．
（1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？

【答案】（1）这个车棚的长为10米，宽为8米．（2）小路的宽度是1米．
【分析】
（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，依据题意列方程求解即可；
（2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，依据题意列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，
依题意得：x•＝80，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
又∵这堵墙的长度为12米，
∴x＝8，
∴＝10．
答：这个车棚的长为10米，宽为8米．
（2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，
依题意得：（10﹣m）（8﹣2m）＝54，
整理得：m2﹣14m+13＝0，
解得：m1＝1，m2＝13．
当m＝1时，10﹣m＝9，8﹣2m＝6，符合题意；
当m＝13时，10﹣m＝﹣3，不合题意，舍去．
答：小路的宽度是1米．
【点睛】
此题考查了一元二次方程与几何图形面积的应用，理解题意找到题中的等量关系是解题的关键．
20．求解一元一次方程，根据等式的性质，把方程转化为的形式求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来求解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，因为“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用转化的数学思想我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，从而可得方程的解．
（1）问题：方程的解是，________，________；
（2）拓展：用“转化”的思想求方程的解．
【答案】（1）-3，2；（2）x=3
【分析】
（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根，
【详解】
解：（1）x3+x2-6x=0，
x（x2+x-6）=0，
x（x+3）（x-2）=0
所以x=0或x+3=0或x-2=0
∴x1=0，x2=-3，x3=2；
故答案为：-3，2；
（2），
方程的两边平方，得2x+3=x2
即x2-2x-3=0
（x-3）（x+1）=0
∴x-3=0或x+1=0
∴x1=3，x2=-1，
当x=-1时，，
所以-1不是原方程的解．
所以方程的解是x=3
【点睛】
本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．已知关于的方程．
（1）若是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根．
（2）若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
【答案】（1）k的值为1，方程的另一根为2；（2）△ABC的周长为10．
【分析】
（1）把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值；然后根据根与系数的关系来求方程的另一根；
（2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．
【详解】
解：（1）把x=1代入，得
1-(2k+1)+4(k-)=0，
解得k=1．
设方程的另一根为t，则t=4(k-)=2．
即k的值为1，方程的另一根为2；
（2）x2-（2k+1）x+4k-2=0，
整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x1=2，x2=2k-1，
当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，
因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k-1，
解得k=，则三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4，解得k=，
则三角形三边长分别为：2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4=10．
所以△ABC的周长为10．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．
22．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）若商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）1692元；（2）每件商品应降价10元或25元
【分析】
（1）降价1元，可多售出2件，降价3元，可多售出2×3件，盈利的钱数＝原来的盈利−降低的钱数；
（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30＋2×降价的钱数），列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）当天盈利：（50−3）×（30＋2×3）＝1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；
（2）根据题意，得：（50−x）×（30＋2x）＝2000，
整理，得：x2−35x＋250＝0，
解得：x1＝10，x2＝25，
答：每件商品降价10元或25元时，商场日盈利可达到2000元．

【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．
23．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元，也不得低于7元，调查发现日均销售量(桶)与销售单价(元)的函数图象如图所示．

（1）求日均销售量(桶)与销售单价(元)的函数关系式；
（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么日均销售多少桶水？
【答案】（1）p=﹣50x+850；（2）400
【分析】
（1）设日均销售p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为：p=kx+b（k≠0），把（7，500），（12，250）代入，得到关于k，b的方程组，解方程组即可；
（2）设销售单价应定为x元，根据题意得，（x-5）•p-250=1350，由（1）得到p=-50x+850，于是有（x-5）•（-50x+850）-250=1350，然后整理，解方程得到x1=9，x2=13，根据条件7≤x≤12确定合适的x的值，然后代入解析式求出数量即可．
【详解】
（1）设日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为：p=kx+b，
根据题意得，
解得：k=﹣50，b=850，
∴日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为：p=﹣50x+850；
（2）根据题意得一元二次方程：(x﹣5)(﹣50x+850)﹣250=1350，
解得：x1=9，x2=13，
∵销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，
∴x=13不合题意，舍去，
将x=9代入p=﹣50x+850，得p=400，
∴若该经营部希望日均获利1350元，那么日均销售400桶水．
【点睛】
本题考查了一元二次方程及一次函数的应用，解题的关键是通过题目和图象弄清题意，并列出方程或一次函数，用数学知识解决生活中的实际问题．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．

（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2t，5-t；（2）t1=0，t2=2时，PQ的长度等于5cm；（3）存在，当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．
【分析】
（1）根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB-AP就可以求出PB的值；
（2）在Rt△PBQ中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值；
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．
【详解】
（1）由题意，得：BQ=2t，PB=5-t．
故答案为：2t，5-t；
（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得
4t2+（5-t）2=25，
解得：t1=0，t2=2；‘
（3）由题意，得=4，
解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），
∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．
【点睛】
本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
25．（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．
（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．
（3）若a、b、c分别是ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断ABC的形状，并说明理由．
（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．
【答案】（1）（x﹣2）2﹣9；（2）（x+5）（x﹣7）；（3）等边三角形，见解析；（4）见解析
【分析】
（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行变形即可配方法．
（2）先利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35变形，再利用平方差公式分解即可．
（3）△ABC为等边三角形，将a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法变形，再根据偶次方的非负性可得答案．
（4）分别对含x和含y的式子进行配方，再利用偶次方的非负性可得答案．
【详解】
解：（1）x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+22﹣22﹣5
＝（x﹣2）2﹣9．
（2）x2﹣2x﹣35
＝x2﹣2x+1﹣1﹣35
＝（x﹣1）2﹣62
＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6）
＝（x+5）（x﹣7）．
（3）△ABC为等边三角形，理由如下：
∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
∴a＝b，b＝1，c＝1，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15
＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2
＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，
∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，
∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．
【点睛】本题主要考查了配方法，分解因式，等边三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．