辽宁省实验学校北校区2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】

这是一份辽宁省实验学校北校区2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省实验学校北校区九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每题2分，共20分）
1．若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（　　）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b﹣c＝0 D．﹣a+b+c＝0
2．下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝50°，则∠OAD的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．15°
4．若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4
5．下列命题，真命题是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角为直角的四边形为矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
6．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A＝134°，则∠BEC的大小为（　　）

A．23° B．28° C．62° D．67°
7．如图，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若AB：A'B'＝1：2，则△AOC与△A'OC'的面积之比为（　　）

A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
8．某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（　　）
A．8% B．9% C．10% D．11%
9．已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　）

A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC•BA
C． D．
10．在△ABC中，点E在AC上，且，F为BE中点，AF的延长线交BC于D，则：＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．已知x＝1是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则此方程的另一根为 　 　．
12．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝20，则线段x的长是　 　．
13．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为5，一条对角线为8时，则阴影部分的面积为 　 　．

14．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝9，DO＝3，CD＝3，则AB的长是 　 　．

15．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子高CD为2m，那么这棵大树高 　 　m．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为 　 　．

三、解答题
17．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）2x2+3x﹣2＝0．
18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝3．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，写出点C1的坐标．
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，写出点B2的坐标．

20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；
（2）若△ABG∽△AGF，AB＝10，AG＝6，求线段BE的长．

21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝10．
（1）求AB，BC的长；
（2）如果AD＝7，CF＝12，求BE的长．

22．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得点D在AB边上，EF在BC边上，点G在AC边上，设EF＝x，矩形DEFG的面积为y．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出自变量x的取值范围　 　；
（3）若DG＝2DE，则矩形DEFG的面积为　 　．

24．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题．

（1）如图1所示，若AD是△ABC中BC边上的中线，则S△ABD　 　S△ACD（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）如图2所示，若CD，BE分别是△ABC中AB，AC边上的中线，求四边形ADOE的面积，有学生写出了如下不完整的解答过程，请根据所学知识将下列过程补充完整：连接AO，由AD＝BD得S△ADO＝S△BDO，同理：S△AEO＝S△CEO，设S△ADO＝x，S△AEO＝y，则S△ABO＝2x，S△ACO＝2y，由题意得S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝＝30，因此可列方程组为，解得 　 　，则四边形ADOE的面积为 　 　．
（3）模仿（2）的过程解决问题：如图3所示，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，求四边形ADOE的面积．（提示：等高的三角形面积比等于底的比）
25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．
（1）问题发现：在图1中，＝　 　；
（2）拓展探究：将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，求的值；
（3）问题解决：当矩形DFGE旋转至B，G，E三点共线时，请直接写出线段CE的长．



参考答案
一、选择题（共10小题，每题2分，共20分）
1．若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（　　）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b﹣c＝0 D．﹣a+b+c＝0
【分析】将x＝﹣1代人方程后即可得到正确的选项．
解：∵x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴a﹣b+c＝0，
故选：B．
2．下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故选：B．
3．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝50°，则∠OAD的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．15°
【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，根据等腰三角形的性质得出∠BAO，进而解答即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝50°，
∴∠BAO＝，
∴∠OAD＝90°﹣∠BAO＝90°﹣65°＝25°，
故选：A．
4．若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4
【分析】由已知先确定m≠0，再由方程根的情况，利用判别式Δ＝4m2﹣16m＝0，求解m即可．
解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4m2﹣16m＝0，
∴m＝0或m＝4，
∴m＝4，
故选：B．
5．下列命题，真命题是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角为直角的四边形为矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，本选项说法是假命题；
B、有一个角为直角的平行四边形为矩形，本选项说法是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，本选项说法是真命题；
故选：D．
6．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A＝134°，则∠BEC的大小为（　　）

A．23° B．28° C．62° D．67°
【分析】根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可．
解：∵菱形ABCD，∠A＝134°，
∴∠ABC＝180°﹣134°＝46°，
∴∠DBC＝，
∵CE⊥BC，
∴∠BEC＝90°﹣23°＝67°，
故选：D．
7．如图，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若AB：A'B'＝1：2，则△AOC与△A'OC'的面积之比为（　　）

A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】根据位似的性质得到△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的性质得到AC∥A′C′，AC：A′C′＝AB：A'B'＝1：2，再判断△AOC∽△A′OC′，然后根据相似三角形的性质计算△AOC与△A'OC'的面积之比．
解：∵△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴AC∥A′C′，AC：A′C′＝AB：A'B'＝1：2，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴△AOC与△A'OC'的面积之比＝1：22＝1：4．
故选：D．
8．某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（　　）
A．8% B．9% C．10% D．11%
【分析】设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2＝4月份的盈利额列出方程求解即可．
解：设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：
240000（1+x）2＝290400，
解得：x1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．
故选：C．
9．已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　）

A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC•BA
C． D．
【分析】根据黄金分割的定义可得，进而可得答案．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴，
∴选项C符合题意，
故选：C．
10．在△ABC中，点E在AC上，且，F为BE中点，AF的延长线交BC于D，则：＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【分析】过E点作EH∥BC交AD于H，如图，由HE∥BD得到＝＝1，则BD＝EH，由HE∥CD得到＝＝得到CD＝3HE，从而可得到的值．
解：过E点作EH∥BC交AD于H，如图，
∵F为BE中点，
∴EF＝BF，
∵HE∥BD，
∴＝＝1，即BD＝EH，
∵HE∥CD，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴＝，即CD＝3HE，
∴＝＝．
故选：B．

二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．已知x＝1是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则此方程的另一根为 　﹣2　．
【分析】设方程另一个根为x2，根据根与系数的关系得1•x2＝﹣2，然后解方程即可．
解：设方程另一个根为x2，根据题意得1•x2＝﹣2，
解得x2＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝20，则线段x的长是　5　．
【分析】因为四条线段成比例，可根据前两条线段，确定其比例，进而求出x的值．
解：∵m：n＝2：8＝1：4，
∴x：y＝1：4，
∵y＝20，
∴x＝5．
13．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为5，一条对角线为8时，则阴影部分的面积为 　12　．

【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
解：连接AC、BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，OA＝OC＝AC＝4，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OB＝＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×8＝24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝×24＝12；
故答案为：12．

14．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝9，DO＝3，CD＝3，则AB的长是 　9　．

【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案．
解：∵△ABO∽△CDO，
∴，
∴AB＝3CD＝3×3＝9，
故答案为：9．
15．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子高CD为2m，那么这棵大树高 　9　m．

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在院墙的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
则BE＝CD＝2（m），DE＝BC＝5（m）．
∵同一时刻物高和影长成正比，
∴＝，
∴AE＝7m，
∴AB＝AE+BE＝7+2＝9（m），
即：这棵大树高为9m．
故答案为：9．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为 　6或 　．

【分析】分两种情形：①当∠AFB′＝90°时．由直角三角形的性质得出AB＝2AC＝8，求出BD＝CD＝BC＝2，由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，证明BE＝DE＝B'E，证出△BDF∽△BAC，得出，解得：BF＝3，设BE＝DE＝x，在Rt△EDF中，DE＝2EF，得出方程x＝2（ 3﹣x），解方程即可；
②当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．证明Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），得出AC＝AB′＝4，在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），在Rt△AEH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：①如图1中，当∠AFB′＝90°时．
在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝BC＝2，
由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，
∴∠BDF＝60°，
∴∠EDB＝∠EDF＝30°，
∴∠B＝∠EDB＝30°，
∴BE＝DE＝B'E，
∵∠C＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠ABC＝90°，
∴△BDF∽△BAC，
∴，即＝，
解得：BF＝3，
设BE＝DE＝x，
在Rt△EDF中，DE＝2EF，
∴x＝2（ 3﹣x），
解得：x＝2，
∴AE＝8﹣2＝6．
②如图2中，当∠AB′F＝90°时，
作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．
∵AD＝AD，CD＝DB′，
∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），
∴AC＝AB′＝4，
∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，
∴∠EB′H＝60°，
在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），
在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，
∴[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2，
解得：x＝，
综上所述，满足条件的AE的值为6或 ．
故答案为：6或 ．


三、解答题
17．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）2x2+3x﹣2＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）∵x2﹣4x+2＝0，
∴x2﹣4x＝﹣2，
则x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵2x2+3x﹣2＝0，
∴（x+2）（2x﹣1）＝0，
则x+2＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝．
18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝3．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a＝3代入进行计算即可．
解：原式＝•
＝a﹣1，
当a＝3时，原式＝2．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，写出点C1的坐标．
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，写出点B2的坐标．

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B1，C1即可．
（2）利用位似变换的性质分别作出A，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
解：（1）如图，△A1B1C1为所求作的三角形，C1（3，3）．

（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，B2（2，8）．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；
（2）若△ABG∽△AGF，AB＝10，AG＝6，求线段BE的长．

【分析】（1）根据FG∥AB，又AD平分∠BAC，可证得，∠AGF＝∠GAF，从而得：AF＝FG＝BE，又因为FG∥AB，所以可知四边形BGFE是平行四边形；
（2）根据△ABG∽△AGF，可得，求出AF的长，再由（1）的结论：AF＝FG＝BE，即可得BE的长．
【解答】（1）证明：∵FG∥AB，
∴∠BAD＝∠AGF．
∵∠BAD＝∠GAF，
∴∠AGF＝∠GAF，AF＝GF．
∵BE＝AF，∴FG＝BE，
又∵FG∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形．

（2）解：△ABG∽△AGF，
∴，
即，
∴AF＝3.6，
∵BE＝AF，
∴BE＝3.6．
21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝10．
（1）求AB，BC的长；
（2）如果AD＝7，CF＝12，求BE的长．

【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出＝＝，即可求出AB的长，得出BC的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD＝HE＝GF＝7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．
解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴＝＝，
∴＝，
∵AC＝10，
∴AB＝4，
∴BC＝10﹣4＝6；

（2）如图所示：过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，

又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，
∴AD＝HE＝GF＝7，
∵CF＝12，
∴CG＝12﹣7＝5，
∵BE∥CF，
∴＝，
∴BH＝2，
∴BE＝2+7＝9．
22．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价＝2019年该类电脑显卡的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合要减少库存即可得出结论．
解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得点D在AB边上，EF在BC边上，点G在AC边上，设EF＝x，矩形DEFG的面积为y．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出自变量x的取值范围　0＜x＜6　；
（3）若DG＝2DE，则矩形DEFG的面积为　　．

【分析】（1）利用勾股定理和等腰三角形的三线合一求得BN、AN，再证明△ADG∽△ABC，得出比例线段，利用x表示出MN，利用矩形的面积求出函数解析式；
（2）由题意即可得出答案；
（3）由题意得出x＝2（4﹣x），解得x＝，代入函数关系式即可得出答案．
解：（1）如图，过点A作AN⊥BC于点N，交DG于点M，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AN⊥BC，
∴BN＝CN＝3，AN＝＝＝4，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴MN＝4﹣x．
∴y＝EF•MN＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x，
即y＝﹣x2+4x：
（2）0＜x＜6；
故答案为：0＜x＜6；
（3）若DG＝2DE，则EF＝2MN，
∴x＝2（4﹣x），
解得：x＝，
当x＝时，y＝﹣×（）2+4×＝；
故答案为：．

24．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题．

（1）如图1所示，若AD是△ABC中BC边上的中线，则S△ABD　＝　S△ACD（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）如图2所示，若CD，BE分别是△ABC中AB，AC边上的中线，求四边形ADOE的面积，有学生写出了如下不完整的解答过程，请根据所学知识将下列过程补充完整：连接AO，由AD＝BD得S△ADO＝S△BDO，同理：S△AEO＝S△CEO，设S△ADO＝x，S△AEO＝y，则S△ABO＝2x，S△ACO＝2y，由题意得S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝＝30，因此可列方程组为，解得 　　，则四边形ADOE的面积为 　20　．
（3）模仿（2）的过程解决问题：如图3所示，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，求四边形ADOE的面积．（提示：等高的三角形面积比等于底的比）
【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，根据三角形的面积公式可得出答案；
（2）利用题干所给解答方法解答即可；
（3）连接AO，利用（2）中的方法，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝2y，利用已知条件列出方程组，解方程组即可得出结论．
解：（1）如图1，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵S△ABD＝BD•AM，S△ADC＝DC•AM，
∴S△ABD＝S△ADC．
故答案为：＝；

（2）如图2，连接AO，
由AD＝BD得S△ADO＝S△BDO，
同理：S△AEO＝S△CEO，
设S△ADO＝x，S△AEO＝y，则S△ABO＝2x，S△ACO＝2y，
由题意得S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝＝30，
因此可列方程组为，解得，
∴S△AOD＝S△AOE＝10，
∴S四边形ADOE＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20，
故答案为：，20；

（3）如图3，连接AO，
∵AD：DB＝1：3，
∴S△ADO＝S△BDO，
∵CE：AE＝1：2，
∴S△CEO＝S△AEO，
设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝3x，S△AEO＝2y，
由题意得：S△ABE＝S△ABC＝40，S△ADC＝S△ABC＝15，
可列方程组为：，解得：，
∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2y＝13．



25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．
（1）问题发现：在图1中，＝　　；
（2）拓展探究：将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，求的值；
（3）问题解决：当矩形DFGE旋转至B，G，E三点共线时，请直接写出线段CE的长．

【分析】（1）如图1，延长FG交BC于H．在解直角三角形求出EC，BG即可解决问题；
（2）如图2，连接BD，DG．证明△CDE∽△BDG，即可求解；
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点G落在BG上时，利用勾股定理以及（2）中结论即可解决问题．②如图3﹣2中，当点G落在BE上时，同法可得EC的长．
解：（1）如图1，延长FG交BC于H．

∵四边形ABCD，四边形DEGF都是矩形，
∴DE＝FG＝AB＝4，DF＝EG＝AD＝3，∠C＝∠CEG＝∠EGH＝90°，
∴四边形ECHG是矩形，
∴EC＝GH＝4，EG＝CH＝3，BH＝BC﹣CH＝6﹣3＝3，
∴BG＝＝＝5，
∴＝，
故答案为；

（2）结论：不变．＝．
理由：如图2，连接BD，DG．

在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，
∵＝＝，
∴＝，
∵∠DCB＝∠DEG＝90°，
∴∠CDB＝∠EDG，＝，
∴＝，
∴∠CDE＝∠BDG，
∴△CDE∽△BDG，
∴＝＝＝；

（3）①如图3﹣1，当点G落在BG的延长线上时，

在Rt△DEB中，∵DE＝4，BD＝10，
∴BE＝＝＝2，
∴BG＝EG+BE＝3+2，
由（2）可知＝，
∴CE＝BG＝；
②如图3﹣2，当点G落在BE上时，CE＝，

综上所述，满足条件的EC的值为或．