云南省曲靖市第一中学2022届高三上学期第一次质量监测卷文数试题 含答案

曲靖一中高考复习质量监测卷一

文科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．，则，故，故选A．

2．，当为纯虚数，且，故，故选B．

3．，，，故选A．

4．设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，则有，，故解得则，故选D．

5．当时，；当时，；当时，；当时，，故输出的，故选B

6．B组学生考核成绩的中位数是81.5，故C选项错误，故选C．

7．由双曲线渐近线方程知，设顶点坐标为，则顶点到渐近线的距离为，焦点到渐近线的距离为，则，解得，故虚轴长为，故选A．

8．化简，由角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，得，因为，则，，故

   ，所以，故选C．

9．由题意可知时，取得最大值，则，解得，由于，则，故，最小正周期，故选B．

10．因为，，所以，又因为，故，

    故选C．

11．如图1：由已知条件易得，，由于，由余弦定理可

    解得，设为三角形的外心，则三角形外接圆半径为2，

    即，过作三角形的垂线，球心在上，则，

    可求外接球半径，故该四面体的外接球的表面积是，故选D．

12．∵，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∵在上总存在唯一的零点，即与的图象在上仅有一个交点，∴，即，.∵，∴，∴

    ，即的取值范围为，故选C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．如图2：直线，当纵截距最小时，的值最小，当

    平移经过A点时纵截距最小，此时A点的坐标为

    ，则.

14．②④正确.

15．由得，则，代入得，即

    ，所以.

16．焦点坐标为，设直线的方程为，的中点坐标为，根据三

    角形重心性质，，可计算得，联立方程得

    则，解得.

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

     解：（1）根据列联表数据得：

     ∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关.

                             ……………………………………………………………（6分）

    （2）根据分层抽样方法得：男教师有人，女教师有人，

     抽取的男教师记为A，B，C；女教师记为a，b.

     从抽取的这五名教师中选取2名，有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种选法，

     其中2人都是女教师的选法有ab一种选法，记事件A为“抽取的2人都为女教师”，则抽取的2人都为女教师的概率.

                              …………………………………………………………（12分）

18. （本小题满分12分）

    解：（1）当公比时，命题为假；当公比时，命题为真.

    理由如下：

    设的首项为，公比为.

    由已知得∴

    ∵∴∴    ……………………………（3分）

    当时，∵

    ∴不成等差数列.    ………………………………（6分）

    当时，

    ∴∴成等差数列.       …………………………（10分）

    综上得：当公比时，命题为假；当公比时，命题为真.

                            ……………………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

    （1）线段上存在点使得，为的中点.

     证明：如图3，取的中点，连接

     ∵，分别为，的中点，

     ∴且

     ∵且

     ∴，

     ∴四边形为平行四边形，则

     ∵∴      ……………………（5分）

    （2）解：过∵∴

     ∴

     ∵∴

     ∴

         …………………………………………………（12分）

20. （本小题满分12分）

    解：（1）定义域为R，

    在R上单调递减；

    ，

    ∴

                               …………………………………………………………（5分）

   （2）不存在.

    理由如下：

    ，

    .

    综上可知，不存在实数使得恒成立.   …………………………………（12分）

21. （本小题满分12分）

    解：（1）设，联立方程组整理得，

    则，可得

    由点为的中点，所以

    设，因为，可得，

    又由点在抛物线：上，可得，

    即，解得或（舍去），

    所以抛物线的标准方程为.       ……………………………………………（5分）

   （2）设，直线的斜率为，

    不妨设，则，且，

    因为，所以.

    由，得，即，

    即，

    将代入得，

     所以，所以，

     所以正方形的面积为

     因为，所以（当且仅当时取等号）.

     因为，所以

     所以（当且仅当时取等号），

     所以（当且仅当时取等号），

     所以正方形的面积的最小值为32.       …………………………………（12分）

22. （本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

    解：（1）利用，把圆的参数方程（为参数），

    化为，   

    ∴，即．

    由化简得：，

    则直线的直角坐标方程为: .   ………………………………………（5分）

   （2）设为点的极坐标，由解得

    设为点的极坐标，由解得

    ∵，∴．

    ∴，点C到OM的距离为，

    所以的面积为.    …………………………………………（10分）

23. （本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

    解：（1）

    ∴

    要满足恒成立，只需满足  

    即∴ 

    解得.                    …………………………………………（5分）

   （2）方程有两个不同的实数根，即函数与的图象有两个不同

    的交点，作出这两个函数的图象（如图4），

     由图象可知，的取值范围是.         ……………………………（10分）