第20讲-三角函数的图象与性质（讲义版）学案

这是一份第20讲-三角函数的图象与性质（讲义版）学案，共14页。

2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质.
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
[微点提醒]
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.
经典例题
考点一 三角函数的定义域
【例1】 (1)函数f(x)＝－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠\f(π,6))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(π,12)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,6)（k∈Z）)) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)（k∈Z）))
(2)不等式eq \r(3)＋2cs x≥0的解集是________.
(3)函数f(x)＝eq \r(64－x2)＋lg2(2sin x－1)的定义域是________.
【解析】 (1)由2x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z).
(2)由eq \r(3)＋2cs x≥0，得cs x≥－eq \f(\r(3),2)，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cs x≥－eq \f(\r(3),2)的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(5π,6)≤x≤\f(5,6)π))，故原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(5,6)π＋2kπ≤x≤\f(5,6)π＋2kπ，k∈Z)).
(3)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(64－x2≥0，①,2sin x－1>0，②))由①得－8≤x≤8，由②得sin x>eq \f(1,2)，由正弦曲线得eq \f(π,6)＋2kπ规律方法 1.三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.
2.简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解.
(2)利用三角函数的图象求解.
考点二 三角函数的值域与最值
【例2】 (1)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域是________.
(2)函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)cs x－eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))的最大值是________.
(3)函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为________.
【解析】 (1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，故3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))，
即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3)).
(2)由题意可得f(x)＝－cs2x＋eq \r(3)cs x＋eq \f(1,4)＝－(cs x－eq \f(\r(3),2))2＋1.
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs x∈[0，1].
∴当cs x＝eq \f(\r(3),2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)max＝1.
(3)设t＝sin x－cs x，
则t2＝sin2x＋cs2x－2sin xcs x，
sin xcs x＝eq \f(1－t2,2)，且－eq \r(2)≤t≤eq \r(2)，
所以y＝－eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－eq \r(2)时，ymin＝－eq \f(1,2)－eq \r(2).
所以函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\r(2)，1)).
规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
考点三 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间
【例3－1】 (1)函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kπ,12)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,12)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)
(2)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))的单调递减区间为________.
【解析】 (1)由kπ－eq \f(π,2)<2x－eq \f(π,3)(2)y＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，它的减区间是y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的增区间.令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z.故其单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z.
角度2 利用单调性比较大小
【例3－2】 已知函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，设a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,7)))，b＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
【解析】 令2kπ≤x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋π，k∈Z，
解得2kπ－eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，
∴函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上是减函数，
∵－eq \f(π,6)∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,7)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))).
角度3 利用单调性求参数
【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cs x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D.π
【解析】 f(x)＝cs x－sin x＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，
由题意得a>0，故－a＋eq \f(π,4)因为f(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))在[－a，a]是减函数，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(π,4)≥0，,a＋\f(π,4)≤π，,a>0，))解得0规律方法 1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
角度1 三角函数奇偶性、周期性
【例4－1】 (1)已知函数f(x)＝2cs2x－sin2x＋2，则( )
A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
(2)设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋θ))－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋θ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|θ|<\f(π,2)))的图象关于y轴对称，则θ＝( )
A.－eq \f(π,6) B.eq \f(π,6) C.－eq \f(π,3) D.eq \f(π,3)
【解析】 (1)易知f(x)＝2cs2x－sin2x＋2＝3cs2x＋1＝3eq \f(cs 2x＋1,2)＋1＝eq \f(3,2)cs 2x＋eq \f(5,2)，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.
(2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋θ))－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋θ))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋θ－\f(π,3)))，
由题意可得f(0)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝±2，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝±1，∴θ－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，
∴θ＝eq \f(5π,6)＋kπ(k∈Z).
∵|θ|规律方法 1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).
角度2 三角函数图象的对称性
【例4－2】 (1)已知函数f(x)＝asin x＋cs x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，则函数g(x)＝sin x＋acs x的图象( )
A.关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称 B.关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称
C.关于直线x＝eq \f(π,3)对称 D.关于直线x＝eq \f(π,6)对称
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，则ω的最大值为( )
A.11 B.9 C.7 D.5
【解析】 (1)因为函数f(x)＝asin x＋cs x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，
所以f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，所以1＝eq \f(\r(3),2)a＋eq \f(1,2)，a＝eq \f(\r(3),3)，
所以g(x)＝sin x＋eq \f(\r(3),3)cs x＝eq \f(2\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，
函数g(x)的对称轴方程为x＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，当k＝0时，对称轴为直线x＝eq \f(π,3)，所以g(x)＝sin x＋acs x的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称.
(2)因为x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为f(x)的图象的对称轴，所以eq \f(π,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝eq \f(T,4)＋eq \f(kT,2)，即eq \f(π,2)＝eq \f(2k＋1,4)T＝eq \f(2k＋1,4)·eq \f(2π,ω)(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z).
又因为f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，所以eq \f(5π,36)－eq \f(π,18)＝eq \f(π,12)≤eq \f(T,2)＝eq \f(2π,2ω)，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(11x－\f(π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(3π,44)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,44)，\f(5π,36)))上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9.
规律方法 1.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
2.对于可化为f(x)＝Acs(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可.
[方法技巧]
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.
2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t(或y＝cs t)的性质.
3.数形结合是本节的重要数学思想.
4.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
5.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.
6.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z.
课时作业
1．（2020·宝鸡中学高一期中）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·陕西省西安中学高一期中）设函数，则函数的最大值及取到最大值时的取值集合分别为（ ）
A．3，B．1，
C．3，D．1，
3．（2020·吉林省高三其他（文））下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )
A．B．C．D．
4．（2020·武功县普集高级中学高一月考）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2020·武功县普集高级中学高一月考）函数的部分图像是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2019·呼玛县高级中学高一月考）若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2019·呼玛县高级中学高一月考）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2019·延安市第一中学高三月考（理））已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
9．（2020·河北省故城县高级中学高一期中）关于函数在以下说法中正确的是（ ）
A．上是增函数B．上是减函数
C．上是减函数D．上是减函数
10．（2020·上海高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）
A．在第一象限和第四象限内是减函数
B．在第一象限和第三象限内是增函数
C．在上是减函数
D．在上是增函数
11．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））关于函数有下述四个结论：
①函数的图象把圆的面积两等分
②是周期为的函数
③函数在区间上有3个零点
④函数在区间上单调递减
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③④B．②④C．①④D．①③
12．（2020·山西省高三其他（文））已知的图象关于直线对称，把的图象向左平移个单位后所得的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2020·上海高二课时练习）设直线的斜率，则该直线的倾斜角满足（ ）.
A．B．或
C．或D．或
14．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）方程的根的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
15．（2020·福建省高三其他（文））图数，的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2020·上海高一期中）函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A．，1B．，C．，1D．，
17．（2020·山西省高三其他（文））对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当时,.其中正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
18．（多选题）（2020·海南省海南中学高三月考）已知函数（）在处取得最大值，且最小正周期为2，则下列说法正确的有( ).
A．函数是奇函数B．函数是偶函数
C．函数在上单调递增D．函数是周期函数
19．（多选题）（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数，则（ ）
A．为的一个周期B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减D．的一个零点为
20．（多选题）（2020·山东省高一期中）将函数图象向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为B．是奇函数
C．的图象关于点对称D．在上单调递减
21．（2020·上海高一期中）函数的单调递增区间为________
22．（2020·河北省故城县高级中学高一期中）已知函数，，有以下结论：
①函数的最小正周期为π；
②函数的最大值为2；
③将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象；
④将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.
其中正确结论的序号是____________.
23．（2020·宝鸡中学高一期中）函数的一部分图象如图所示，其中，，.
（1）求函数解析式；
（2）求时，函数的值域；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.
24．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）求函数在区间上的值域和取得最大值时相应的x的值.
25．（2020·武功县普集高级中学高一月考）在已知函数（其中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且)) x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))
递减区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
无