考点10 对数函数（讲解）（解析版）练习题

考点10：对数函数

【思维导图】

【常见考法】

考法一：定义辨析

1．下列函数表达式中，对数函数的个数有            。

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.

【答案】2

【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；

由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；

由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；

由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.

2．若函数是对数函数，_________.

【答案】5

【解析】由对数函数的定义可知，，解得．故答案为：

考法二：定义域

1．函数的定义域是      。

【答案】

【解析】由题意可知：.

2．函数的定义域是         。

【答案】(-1,0 ]

【解析】由题意可得：且，解得且x≤0 ，所以定义域为 (-1,0 ]．

3．已知函数，则函数的定义域为    。

【答案】

【解析】对于函数，，即，解得.对于函数，有，解得.

因此，函数的定义域为.

4．函数f(x)=lg(1+2cosx)的定义域为     。

【答案】

【解析】由题意得，所以，即得

5．函数的定义域为，则实数的取值范围是    。

【答案】

【解析】∵的定义域为，∴恒成立，
即判别式，得，即实数的取值范围是
6．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是    。

【答案】

【解析】试题分析：函数的定义域是R，则有恒成立.设，当时， 恒成立；当时，要使得恒成立，则有，解得.所以实数的取值范围是.

考法三：单调性

1．函数的单调递减区间为       。

【答案】

【解析】由得，或，则函数的定义域为，

又函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递增，由复合函数的单调性原则“同增异减”得函数的单调递减区间为

2．函数的单调递增区间为          。

【答案】

【解析】函数所以定义域为,解得或

由复合函数“同增异减”的性质,可知函数的单调递增区间为

即为函数的单调递增区间

3．已知函数(其中，)在区间上单调递减，则实数的取值范围是     。

【答案】

【解析】函数y＝loga（8﹣ax）（其中a＞0，a≠1）在区间[1，4]上单调递减，

当a＞1时，由函数t＝8﹣ax在区间[1，4]上单调递减且t＞0，故8﹣4a＞0，求得1＜a＜2．当0＜a＜1时，由函数t＝8﹣ax在区间[1，4]上单调递减，

可得函数y＝loga（8﹣ax）在区间[1，4]上单调递增，这不符合条件．综上，实数a的取值范围为（1，2）。

4．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在区间上递减,则实数的取值范围为        。

【答案】

【解析】令，其对称轴方程为，外函数对数函数是增函数，

要使函数在上递减，则，即：．实数的取值范围是．

5．已知函数在上单调,则的取值范围为         。

【答案】

【解析】

又 当时,是单调递减函数

在上是单调递减函数

根据分段函数的在定义域单调递减,即要保证每段函数上单调递减,也要保证在分界点上单调递减可得: 解得:.

6．当时，，则的取值范围是   。

【答案】

【解析】当时， ， ，不成立，

当时，当时，，解得：，

如图，若时，时，.

7．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若（且），则a的取值范围为_____________.

【答案】

【解析】因为已知是定义在R上的偶函数，所以由，又因为 上单调递减，所以有.

当时，；

当时，.

故答案为：

8．设，则a、b、c的大小关系        。

【答案】

【解析】由题意，，，显然，因此有．

9．若，，，则的大小关系        。

【答案】

【解析】，，，且，则

考法四：值域

1．已知函数，，则的值域是_________．

【答案】

【解析】因为,所以,则得,所以,即函数的值域为.故答案为:.

2．函数的值域是__．

【答案】

【解析】设函数，则函数，，∵，在上单调递增，∴当时，最小值为，故答案为：.

3．函数的值域为__________.

【答案】

【解析】由于函数，故当时，．

当时，．综上可得，，故函数的值域为，故答案为：．

4．函数的最小值为_______．

【答案】0

【解析】由题得，

，

，

，

令,则，

因为二次函数的对称轴为，所以当时，.故答案为0

5．已知函数的值域为R，则实数的范围是_________

【答案】

【解析】当时，，因此当时，的取值范围应包含，∴，解得．故答案为：．

6．已知的值域为，则实数的取值范围为       。

【答案】

【解析】因为的值域为，

所以函数可以取到任意的正实数，

若，该式为，符合题意若，则，解得，

所以实数a的取值范围是，

7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是      。

【答案】

【解析】，

当时，不合题意；

当时，，此时，满足题意；

当时，要使函数的值域为，

则函数值域包含，

，解得，

综上实数的取值范围是.

8．函数，若的值域为，则的值为______.

【答案】

【解析】因为的值域为，所以，

函数的最小值为，即，解得，故答案为：

9．若在上恒正，则实数的取值范围是     。

【答案】

【解析】因为函数,且，在上恒正,令，所以当时，，知，即.当时，，满足

或或

解不等式得：，所以实数的取值范围是.

10．若函数有最小值，则的取值范围是             。

【答案】

【解析】由题意得，令，当时，为单调递增函数，所以要使得有最小值，必须，所以，解得，所以；

当时，没有最大值，从而不能使得函数有最小值。

考法五：定点

1．函数（且）的图象经过的定点是      。

【答案】

【解析】当时，函数值恒为，故定点为.

2．函数的图象过定点     。

【答案】

【解析】令有.代入得.

故函数的图象过定点.

3．已知函数(且)的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为     。

【答案】

【解析】依题意，故，由诱导公式和三角函数的定义得.

4．已知函数（，且）的图象恒过点，且点在直线上，那么的最大值   

【答案】

【解析】当，即时，，

函数的图象恒过定点；

又点在直线上，

，

，

当且仅当时，“=”成立.所以ab的最大值为.

考法六：图像

1．图中曲线分别表示，，，的图象，则，，，的关系是     。．

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】如图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向轴靠近，

所以．故选．

2．在同一直角坐标系中，函数，的图像可能是   。

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当时,对数函数单调递增,且幂函数往下凸,无满足选项.当时, 对数函数单调递减, 且幂函数往上凸.易得D满足条件.故选：D

3．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是      。

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，若，则在上单调递减，

又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C，D.

若，则在上是增函数，

函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，

因此B项不正确，只有选项A满足.

4．已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】由于函数的图像不经过第四象限，所以，即，所以.故填：.

考法七：反函数

1．设常数a＞0且a≠1，函数f（x）＝logax，若f（x）的反函数图象经过点（1，2），则a＝_____.

【答案】2.

【解析】常数且，函数，的反函数的图象经过点，

函数的图象经过点，，解得．故答案为：2．

2．函数与互为反函数，且过点，则     。

【答案】-1

【解析】由题意可得，又过点，则在上，

即，解得，所以，

所以，

3．函数的反函数的解析表达式为     。

【答案】

【解析】，又

所以函数的反函数为

4．若函数的反函数为,则不等式的解集为______.

【答案】.

【解析】∵,∴有,则,必有,

∴,解得.故答案为：.