专题17立体几何（理）知识点与大题16道专练（中档题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

这是一份专题17立体几何（理）知识点与大题16道专练（中档题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案，共30页。

一. 平面基本性质即三条公理
公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二．直线与直线的位置关系
共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）
三．直线与平面的位置关系有三种情况：
在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α
相交——有且只有一个公共点 符号 a∩α= A
平行——没有公共点 符号 a∥α
说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
1．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。 符号：
2．直线和平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行，则线线平行. 符号:
3．直线与平面垂直
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
简记为：线线垂直，则线面垂直.
符号：
4.直线与平面垂直
性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号：

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
符号：
推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
符号语言：a∥b, a⊥α，⇒b⊥α
四．平面与平面的位置关系：
平行——没有公共点： 符号 α∥β
相交——有一条公共直线: 符号 α∩β=a
1．平面与平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行，则面面平行. 符号：
2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简记为：面面平行，则线线平行. 符号：
补充：平行于同一平面的两平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等；
两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；
3．平面与平面垂直的判定
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号：
推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。
4.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
简记为：面面垂直，则线面垂直.

证明线线平行的方法
①三角形中位线 ②平行四边形 ③线面平行的性质 ④平行线的传递性
⑤面面平行的性质 ⑥垂直于同一平面的两直线平行；
证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°；（特别是证明异面直线垂直）； ②线面垂直的性质
③利用勾股定理证明两相交直线垂直；
④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；
五：三种成角
1.异面直线成角
步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解
注意：取值范围：（0。,90。].
2.线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0。,90。].
如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。
3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形

取值范围：（0。,180。）
向量法解立体几何
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
⑵．平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面的法向量为．
③求出平面内两个不共线向量的坐标．
④根据法向量定义建立方程组.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
2、用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.
⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.
⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.
用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
⑵线面垂直
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.
②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若
⑶面面垂直。 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则
⑵求直线和平面所成的角
求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角
的余角.即有：
⑶求二面角
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.
O
A
B
O
A
B
l
如图：
求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角：
如果是锐角，则， 即；
如果是钝角，则， 即.
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离
若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为
⑵点A到平面的距离
若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.
即
⑷两平行平面之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即
⑸异面直线间的距离
设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。 即
1．在四棱锥P-ABCD中，，，，点E在棱PD上，且．
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）若底面ABCD，，，求直线AP与平面AEC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）在PC上取点F，使得，根据平行线分线段比例定理，结合平行四边形的定义和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，根据空间向量线面角公式进行求解即可.
【详解】
解：（1）在PC上取点F，使得，
连接EF，BF，
因为，所以，
且，又，，
所以，且，
从而可知四边形ABFE是平行四边形，
所以．
又平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC．
（2）以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则，，，，，
，，，
设平面AEC的法向量为，
由，得，
可取，得．
设AP与平面AEC所成的角为，
所以，
即直线AP与平面AEC所成角的正弦值为．
2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,底面是等腰直角三角形，,侧棱分别是的中点.
（1）求平面与平面的夹角的余弦.
（2）求与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）分别求出平面与平面的法向量，再利用空间向量法求出二面角的余弦值；
（2）利用空间向量法求出线面角的正弦值，再根据同角三角函数的基本关系求出其余弦值；
【详解】
解： ，，，，
(1) ，
设平面的法向量，则

令,得平面的一个法向量，
.
设平面的法向量,则

令,得平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
所以 .
(2) 由（1）知，平面的一个法向量，
，
设平面与平面的夹角为，
所以 ，
所以 .
3．如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，，且平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）要证平面平面，只要证平面，即证且，前者可以由为等边三角形得到，后者由平面得到.
（2）建立空间直角坐标系计算两个半平面的法向量的夹角.
【详解】
（1）由题，为的中点，可得，
∵平面平面，，∴平面.又∵平面，
∴. ∴平面.∴平面平面.
（2）取的中点，的中点，连接，
∵，∴
∵平面平面平面，
∴平面
分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的法向量为，
则.即.可取
同理，可得平面的法向量
所以二面角所成角的余弦值为
4．在长方体中，点E，F分别在，上，且，．
（1）求证：平面AEF；
（2）当，，时，求平面AEF与平面所成二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）利用向量证明，即可；
（2）首先建立空间直角坐标系，算出平面的法向量，利用第一问的结论进一步得到平面的法向量，最后利用法向量的夹角求出二面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：因为
所以
因为
所以
因为，所以平面
（2）分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，连接，
由于：，，
所以，
设平面的法向量为，则，
所以，所以可取
又由于：平面
所以：看作是平面的法向量
设平面和平面所成的角为，则
所以平面和平面所成的角的余弦值为．
5．三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设.
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据向量线性运算的几何含义，由几何图形知，确定与的关系，即可用表示向量；
（2）由（1）知，结合已知可求，进而得到即为MN的长.
【详解】
（1）由题图知，而，，，
，
（2）由题设条件知，，
∴，
由（1）知，
6．如图，在长方体中，，点是线段的中点.
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求二面角的大小的正弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）首先建立空间直角坐标系，利用向量坐标法计算异面直线与所成的角；（2）分别求平面和平面的法向量，利用公式求解.
【详解】
如图，以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
（1），，，，
，，
，
异面直线与所成的角是；
（2）显然平面平面的法向量是，
，，，
则，，
设平面平面的法向量，
则，即，令，则，
所以,
，
设二面角的大小为，则.
7．如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，M为PC上一点，且，，.
（1）证明：平面PAD；
（2）求直线DM与平面PBC所成角的正弦值；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）过作交于，证明四边形是平行四边形得出，于是平面；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过计算和的夹角得出直线与平面所成角的大小；
（3）根据计算棱锥的体积．
【详解】
（1）证明：过M作交PD于N，连接AN，
则，，
又，，
，，
四边形ABMN是平行四边形，
，又平面PAD，平面PAD，
平面PAD.
（2）连接BD，
，，，，
，，
又，，
以D为原点，以DB，DC，DP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
，，，
设平面PBC的法向量为，则，即，
令可得，
，
直线DM与平面PBC所成的角的正弦值为.
（3），
.
8．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.
（1）求的长；
（2）为何值时，的长最小并求出最小值；
（3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）当时，最小，最小值为；（3）.
【分析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出各点的坐标后可求的长.
（2）利用二次函数的性质可求的长最小以及何时取最小值.
（3）求出平面与平面的法向量的夹角的余弦值后可求二面角（锐）的余弦值.
【详解】
如图建立直角坐标系，，，，
因为，所以，.
（1），其中.
（2）
当时，最小，最小值为.
（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，则，
取得中点，连接，，则，
因为，，
所以，，所以或其补角为所求的角.
因为，，
所以,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【点睛】
思路点睛：求空间距离和空间角，可根据几何体或空间图形的规则性合理建立空间直角坐标系，从而通过向量的模或向量的夹角来计算空间距离和角.
9．如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一周.
（1）求旋转一周所得旋转体的体积和表面积；
（2）设逆时针旋转至，旋转角为，求异面直线AC与BD所成角的大小.
【答案】（1）；；（2）
【分析】
（1）利用体积、表面积公式，即可求旋转一周所得旋转体的体积和表面积.
（2）如图建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量的数量积即可求异面直线所成的角．
【详解】
试题解析：
（1）;
（2）如图，建立空间直角坐标系，
，，
由三角比定义，得，即，
则，
，所以
所以异面直线AC与BD所成角为
10．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点，分别是，的中点，设，，为空间向量的一组基底，，，，试用基底向量法求解以下各题．求：
（1）；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用向量减法运算和数量积运算直接计算即可；
（2）利用向量运算计算与所成的角的余弦值，则其绝对值即是异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
解：（1）由题意，，，
则，，故.
∵，
∴；
（2）由题意可知，．
．又∵，．
记异面直线与所成的角为，则．
因此异面直线与所成角的余弦值为．
11．如图，在长方体中，，点E在棱AB上移动
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到平面的距离．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）建立空间直角坐标系，根据空间向量垂直的性质进行证明即可；
（Ⅱ）利用空间点到平面的距离公式进行求解即可.
【详解】
以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间宜角坐标系，
设，
则，，，，．
（Ⅰ）因为，所以．
（Ⅱ）因为E为AB的中点，则，
从而，，，
设平面的法向量为，
则，
也即，得，取，从而，
所以点E到平面的距高为．
12．如图，正方体中，、分别为、的中点．选用合适的方法证明以下问题：
（1）证明：平面平面；
（2）证明：面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
如图建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可
（1）求出两个平面的法向量，若两法向量共线，则可得证；
（2）求出向量，若此向量与平面的法向量共线，则可得证
【详解】
（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，，，
设平面的法向量为，
∵，，
∴，
∴取，
同理平面的法向量为，∴，
∴平面平面；
（2）∵、分别为、的中点，
∴，∴，
∴面．
13．在边长为2正方体中：
（1）求证平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段AB上是否存在一点M（不与端点重合，使得二面角所成平面角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
【分析】
（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再由证明平面；
（2）利用数量积公式求出直线与平面所成角的正弦值；
（3）设，从而得出，分别求出平面、平面的法向量，再由数量积公式求出的值.
【详解】
（1）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
，
设平面的法向量为
，则
又，
则平面
（2）
则直线与平面所成角的正弦值为
（3）设，，则
即，
，
设平面的法向量为
，则
同理可得出平面的法向量
即，解得（舍），
即存在使得二面角所成平面角的余弦值为
14．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）点是线段上异于两端点的任意一点，若满足异面直线与所成角为，求的长.
【答案】（1）证明过程见解析；（2）；（3）.
【分析】
以A为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为横轴、纵轴、竖轴，求出相应点的坐标.
（1）求出平面的法向量，利用空间向量数量积运算进行计算证明即可；
（2）利用空间平面向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间平面向量夹角公式，结合空间两点距离公式进行求解即可,
【详解】
以A为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为横轴、纵轴、竖轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
所以.
（1）因为平面，平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，因此平面的法向量为，
因为在上，且，所以有，
所以点的坐标为，因此，
因为，
所以，因此平面；
（2）由（1）知平面的法向量为，
设平面的法向量为，，显然有：
，令，所以，
即，设平面与平面所成锐二面角，
所以；
（3）设，设，
所以有，因此，
所以，因为异面直线与所成角为，
所以，
解得或（舍去），所以，
.
15．在长方体中，，，，是的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：
（1）求直线与所成的角的余弦值；
（2）作于，求点到点的距离．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由题意写出点的坐标，求出，的坐标，利用空间向量求异面直线所成角即可；
（2）由题意得，，，设，求出，，的坐标，列出方程组，求解，得出点坐标，利用向量的模求解即可.
【详解】
（1）由题意得，，，．
∴，，
∴，
∴与所成的角的余弦值为．
（2）由题意得，，，公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
作用
判断线在面内
确定一个平面
证明多点共线