专题3解三角形知识点与大题20道专练（培优题）（原卷版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

专题3解三角形知识点与大题20道专练（培优题）（原卷版）

一，三角函数

二，三角恒等变换

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

(1）

(2）

(3）

(4）

(5）  

(6）   

(7)  =(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ，该法也叫合一变形).

(8)   

2. 二倍角公式

（1）      

（2）

（3）   

 3. 降幂公式：

（1）             （2）

  4. 升幂公式

（1）             （2）

（3）       （4）

（5）

5，辅角公式

      其中

三，平面向量

1平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.

6．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

2．平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.

3．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

4．平面向量数量积的重要性质

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；                    (2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝；

(4)cos θ＝；                              (5)|a·b|__≤__|a||b|.

5．平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)；     (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；     (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

6．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

四，解三角形

1正弦定理：

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即  （其中R是三角形外接圆的半径）

2.变形：1）．

         2）化边为角：；

        3）化边为角：

        4）化角为边：  

        5）化角为边：

三角形面积

1.

余弦定理

1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即

2.变形：

注意整体代入，如：

利用余弦定理判断三角形形状：

设、、是的角、、的对边，则：

①若，，所以为锐角

②若

③若， 所以为钝角，则是钝角三角形

三角形中常见的结论

三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

三角形三边关系：

      两边之和大于第三边：，，；

      两边之差小于第三边：，，；

在同一个三角形中大边对大角：

   4) 三角形内的诱导公式：

   7) 三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

     重心——三角形三条中线的相交于一点

     外心——三角形三边垂直平分线相交于一点

     内心——三角形三内角的平分线相交于一点

     旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

一、解答题

1．在中，且，，均为整数.

（1）求的大小；

（2）设的中点为，求的值.

2，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

3．锐角的内角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）求角；

（2）求的取值范围．

4．如图，已知正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），在运动的过程中，始终保持不变，设.

（1）将的面积表示成的函数，并写出定义域；

（2）求面积的最小值.

5．已知在中，角，，的对边分别为...且. 

（1）证明:，，成等差数列;

（2）求角的最大值.

6．已知在中，角、、的对边分别为、、，且.

（1）若，，求的值；

（2）若，且的面积为，试判断的形状并说明理由.

7．在中，内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求角；

（2）若，是的中点，，求边．

8．在中，角，，的对边分别是，，，已知．

（1）求；

（2）若，求面积的最大值．

9．已知函数．

（1）求的最小正周期和单调递增区间；

（2）在中，，，且的面积为，求的值．

10．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2a，3csinB=4asinC.

(1)求cosB；

(2)求的值.

11．在中，角，，所对的边分别是，，，且，.

（1）求的值；

（2）若的面积为，求的值.

12．在中，角、、的对边分别为、、，已知面积为，，.

（1）求；

（2）求的外接圆的周长和内切圆的周长.

走进高考

13．（2020年全国卷（理科）新课标Ⅱ）

中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

14．（2018年全国理科数学新课标I卷）

在平面四边形中，，，，.

（1）求；

（2）若，求.

15．（2017年全国理科数学新课标1卷）

△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为

(1)求;

(2)若求△ABC的周长.

16．（2017年全国理科数学新课标2卷）

的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，面积为2，求．

13．（2020年全国试卷（文科）新课标Ⅰ）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.

（1）若a=c，b=2，求的面积；

（2）若sinA+sinC=，求C.

17．（2020年全国卷（文科）新课标Ⅱ）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若，证明：△ABC是直角三角形．

18．（2015年全国文科数学新课标Ⅰ）

已知分别是内角的对边， ．

（1）若，求

（2）若，且求的面积．

19．（2015年全国文科数学新课标Ⅱ）

△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．

（Ⅰ）求 ；

（Ⅱ）若,求.

20．（2014年全国文科数学全国Ⅱ卷）

四边形的内角与互补，．

（1）求和；

（2）求四边形的面积．