专题32 均值不等式常见应用（原卷版）学案

专题32  均值不等式常见应用

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高考命题中对基本不等式的考查比较灵活，可以说无处不在，重点考查应用基本不等式确定最大值和最小值问题、证明不等式成立、解答恒成立问题，命题形式以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.本专题重点说明应用基本不等式解题的常见类型.

1、基本不等式的几个变形：

（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况

（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况

（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围

2、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.

3、常见求最值的题目类型

（1）构造乘积与和为定值的情况

（2）已知（为常数），求的最值，

此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.

（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：

例如：已知，求的最小值

解：

所以

即，可解得，即

注：此类问题还可以通过消元求解：，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意的范围由承担，所以

4、高中阶段涉及的几个平均数：设

（1）调和平均数：

（2）几何平均数：

（3）代数平均数：

（4）平方平均数：

5、均值不等式：，等号成立的条件均为：

特别的，当时，即基本不等式

【经典例题】

例1．（2020·河北新华·石家庄二中高三三模）已知正数满足，则的最小值是（    ）

A．18 B．16 C．8 D．10

例2．（2020·天津经济技术开发区第一中学高三三模）已知直线过点，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．7 D．9

例3．（2020·全国高三三模）设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（   ）．

A． B．

C． D．

例4．（2020·湖北武汉·高三三模）在中，，的面积为2，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

例5．（2020·河南高三三模）已知区间是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．3

例6．（2020·枣庄市第三中学高三三模）若正数a，b满足，则的最小值为（    ）

A．16 B．25 C．36 D．49

例7．（2020·湖北西陵·葛洲坝中学高三三模）若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

例8．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【精选精练】

1．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三三模）若实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·山东高三三模）已知，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．12

3．（2020·贵州贵阳·高三三模）已知均为正数，函数的图象过点，则的最小值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

4．（2020·江苏淮安·高三三模）已知,,,则的最小值是（    ）.

A．3 B． C． D．9

5．（2020·全国高三三模）若不等式对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

6．（2020·江西南昌二中高三三模）已知，，且.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·河北枣强中学高三三模）设，为正数，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．（2020·浙江高三三模）在锐角三角形中，，则的最小值是（    ）.

A．3 B． C． D．12

9．（2020·四川高三三模）已知直线与抛物线交于A，B两点，（其中O为坐标原点）.若，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

10．（2020·山西运城·高三三模）在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）.

A．9 B． C． D．

11．（2020·山东省实验三模三模）若a，b均为正实数，则的最大值为　　

A． B． C． D．2

12．（2020·柳州高级中学高三三模）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．