专题59 二项式展开项的通项及应用（原卷版）学案

专题59  二项式展开项的通项及应用

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，本节内容考题比较灵活，热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n，求参数的值等，难度控制在中等或中等以下．

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.

1、二项式展开式，从恒等式中我们可以发现这样几个特点

（1）完全展开后的项数为

（2）展开式按照的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，的指数呈此消彼长的特点.指数和为

（3）在二项式展开式中由于按的指数进行降幂排列，所以规定“”左边的项视为，右边的项为，比如：与虽然恒等，但是展开式却不同，前者按的指数降幂排列，后者按的指数降幂排列.如果是，则视为进行展开

（4）二项展开式的通项公式 （注意是第项）

2、二项式系数：项前面的称为二项式系数，二项式系数的和为

二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项.对于可看作是个相乘，对于 意味着在这个中，有个式子出，剩下个式子出，那么这种出法一共有种.所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题.而二项式系数便是这个组合问题的结果.

3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数

注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数.二项式系数是展开式通项公式中的，对于确定的一个二项式，二项式系数只由决定.而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数.例如：展开式中第三项为，其中为该项的二项式系数，而

化简后的结果为该项的系数

（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同.例如 展开式的第三项为 ，可以计算出二项式系数与系数均为10

3、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如就是有理项，而就不是有理项.

4、与的联系：首先观察他们的通项公式：

：     ：

两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数.其绝对值相等.所以在考虑系数的绝对值问题时，可将其转化为求系数的问题

5、二项式系数的最大值：在中，数值最大的位于这列数的中间位置.若为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如时，最大项为，若为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如时，最大项为

证明：在中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为，则有

所以解得： 即

所以当为奇数时（），不等式变为，即或为中间项

当为偶数时（），不等式变为，即为中间项

6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要构建不等式组计算求解.

【经典例题】

例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】的展开式中的系数为 （   ）

A．                B．                C．                D．

例2．【2020年高考北京卷3】在的展开式中，的系数为 （   ）

A．              B．              C．             D．

例3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数14】的展开式中常数项是　  　　  　（用数字作答）．

例4．【2020年高考浙江卷12】设，则              ；              ．

例5．【2020年高考天津卷11】在的展开式中，的系数是_________．

例6．（2020·湖南高三三模）已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（    ）

A．680 B．640 C．180 D．40

例7．（2020·湖南雅礼中学高三三模）如果的展开式中存在正的常数项，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

例8．（2020·全国三模）的展开式中的系数是（    ）

A．10 B．2 C． D．34

【精选精练】

1．（2020·江西高三三模）的展开式中项的系数是（    ）

A．420 B．-420 C．1680 D．-1680

2．（2020·四川成都·高三三模）已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（    ）

A．4 B．5 C．4或5 D．6

3．（2020·广东高三三模）在的展开式中，的系数是（    ）

A．20 B． C． D．

4．（2020·六安市城南中学高三三模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（    ）

A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm＝Cnn－m

B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：

C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n

D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051

5．（2020·涡阳县育萃高级中学高三三模）的展开式中项的系数为4，则（    ）

A．0 B．2 C． D．-2

6．（2020·内蒙古高三三模）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形数阵的第行第个数，则（    ）

A．5050 B．4851 C．4950 D．5000

7．（2020·江苏徐州·高三三模）已知的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（　　）

A． B． C．10 D．9

8．（2020·湖北武汉·高三三模）的展开式中，的系数为（    ）.

A．120 B．480 C．240 D．320

9．（2020·陕西西安·高三三模）已知的展开式中第项是，则函数是（    ）．

A．定义域为的奇函数 B．在上递减的奇函数

C．定义域为的偶函数 D．在上递增的偶函数

10．（2020·安徽高三三模）若展开式中的常数项是60，则实数的值为（    ）

A．±3 B．±2

C．3 D．2

11．（2020·湖南湘潭县一中高三三模）在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项随机排成一列，则恰有两项有理项相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．（2020·浙江台州一中高三开学考试）设二项式，若则（    ）

A．8 B．7 C．5 D．4