专题36 数列求和问题（解析版）学案

专题36  数列求和问题

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数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和.考查学生的观察能力与辨析能力.本专题举例说明常见几种类型的求和方法.

1、根据通项公式的特点求和：

（1）等差数列求和公式：

（2）等比数列求和公式：

（3）错位相减法：

通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法

方法详解：以为例，设其前项和为

① 先将写成项和的形式

② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列

，发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位.

③ 然后两式相减： 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出即可

所以

对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果.而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和.体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和

（4）裂项相消：

通项公式特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消.从而结果只存在有限几项，达到求和目的.其中通项公式为分式和根式的居多.

常见的裂项技巧：①；② ；

③；④ ；

此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，

一般来说，裂开的项中有个正项，个负项，且由于消项的过程中是成对消掉.所以保留项中正负的个数应该相同.

(5）分类（组）求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加.

例：

可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加

2、根据项的特点求和：

    如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和

（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可

（2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段.若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和

（3）倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即：

  两式相加可得：

【经典例题】

例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数17】设等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）设为数列的前项和．若，求．

【答案】（1）；（2）．

【思路导引】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果．

【解析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以．

（2）令，所以，

根据，可得，

整理得，因为，所以．

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查方程思想，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记有关公式．

例2.【2020年高考浙江卷20】已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．

（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．

【答案】（I）；（II）证明见解析

【思路导引】（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式．

（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立．

【解析】（I）依题意，而，即，由于，∴解得，

∴．

∴，故，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．

∴．

∴，故（）．

∴

．

（II）依题意设，由于，

∴，

故

．

∴．

由于，∴，∴，即．

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确应用累加法、累乘法解题．

例3．【2020年高考天津卷19】已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．

【思路导引】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后结合通项公式即可求得数列的通项公式；

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得前n项和，然后利用作差法比较大小即可；

(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可．

【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q．

由，，可得d=1．

从而的通项公式为．

由，

又q≠0，可得，解得q=2，

从而的通项公式为．

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，

故，，

从而，

所以．

(Ⅲ)当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

对任意的正整数n，有，

和         ①

由①得         ②

由①②得，

由于，从而得：．

因此，，所以，数列的前2n项和为．

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了数列通项公式的求解，指数型裂项求和，错位相减求和等，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是正确应用有关公式解决问题．

例4．【2020年高考山东卷18】已知公比大于的等比数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【思路导引】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式；（2）通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和．

【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得，所以，所以数列的通项公式为．

（2）由于，所以

对应的区间为：，则；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个．

所以．

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列基本量的计算，考查分析思考与解决问的能力，考查方程思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是合理分组．

例5．（2020·北京高三三模）设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】对于任意的，即.

∴，，任意的，

∴，或.

∴“为递增数列”，反之也成立.

∴“对于任意的”是“为递增数列”的充要条件.

故选：C.

例6．（2020·全国高三三模）已知等比数列的各项都为正数，当时，，设，数列的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵数列是各项都为正数的等比数列，

∴当时，，∴，

又∵为等比数列，

∴，，∴，

∴，

∴，

故选：B.

例7．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中高三三模）已知数列的前项和，且满足，则（    ）

A．1013 B．1022 C．2036 D．2037

【答案】A

【解析】由数列的前项和，且满足，

当时，，

两式相减，可得，即，

令，可得，解得，

所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，

则 ，所以，

所以

.

故选：A.

例8．（2020·广西蒙山中学高三三模）已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，，则数列的通项公式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】f'（x）=-e-x（cosx+sinx）+e-x（-sinx+cosx）=-2e-xsinx．
由f'（x）=0，得-2e-xsinx=0．
解出x=nπ，n为整数，从而xn=nπ，n=1，2，3， ．
所以数列{f{xn}}是公比q=-e-π的等比数列，且首项f（x1）=q=-e-π．

其通项公式为．故选C.

【精选精练】

1．（2020·福建高三三模）已知为等差数列，为单调递增的等比数列，，，.

（1）求与的通项公式；

（2）求数列的前项和

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，可得，又，所以.

所以.

由，可得，又，所以，

又因为数列为单调递增的等比数列，则，故，所以；

（2）由（1）可知，

数列的前项和为，

数列的前项和为，

故.

2．已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.

【答案】；

【解析】当

当

时满足上式，故 ；

∵=1∴   

∵      ①

∴   ②

∴①②，得

3．（2020·重庆八中高三三模）设等差数列的公差为d前n项和为，，等比数列的公比为q，已知，，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）当时，记，求数列的前n项和.

【答案】（1），或，；（2）

【解析】（1）由，则或，

当时，，；

当时，，；

（2）当时，由（1）可得，，，则，

∴

∴，

∴，

∴．

4．（2020·山东济南外国语学校高三三模）已知首项为的等比数列的前项和为.

（1）求的通项公式；

（2）若，，求数列的前项和.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，整理得，

解得或，因此，或；

（2），，，

，

因此，.

5．（2020·黑龙江大庆实验中学高三三模）已知数列满足，且（，且）.

（1）为何值时，数列是等比数列；

（2）若数列是等比数列，求数列的前项和.

【答案】（1）2；（2）.

【解析】（1）若数列是等比数列，则（为非零常数），

即，对于任意恒成立，

则，解得，

故当时，数列是等比数列；

（2）因为由（1）可知，数列是公比为的等比数列，且首项为，

所以，，

故

.

6．（2020·河南大学附属中学高三三模）已知函数，设数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，所以由得，

所以，，

所以是首项为2，公差为2的等差数列，

所以，所以.

（2）由（1）知，

则，

，

，

所以，

，

，

两式相加，得：

，

所以.

7．（2020·湖南高三三模）已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，对于任意，不等式，恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）.；（2）存在，

【解析】（1）即

当时，，

当时，，，即

是等比数列，首项为，公比为，.

，.

….

….

①+②，得，

（2），

….       ①

…   ②

①－②得…

即.

要使得不等式恒成立，

恒成立

对于一切的恒成立，

即 ，令，

则

当且仅当时等号成立，故.

故的取值范围为.

8．（2020·广东三模）给出一下两个条件：①数列为等比数列，且，②数列的首项，且.从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).

（1）求数列的通项公式；.

（2）设数列满足，求数列的前n项和.

【答案】条件选择见解析，（1）；（2）.

【解析】若选条件①.

（1）由条件，得，

则公比，

令，可得，

即，所以，

从而有.

（2）由（1）得，，

则有，

则其前n项和为：

.

若选条件②.

（1）令，可得，

令，可得，

依次类推可得：，

将这一系列等式求和可得：.

其中，故可得.

（2）由（1）得，，

则有，

则其前n项和为：

9．（2020·云南文山·高三三模）已知数列成等差数列，各项均为正数的数列成等比数列，，且，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）因为是等比数列，所以，又，所以，

设等差数列的公差为，

由，两式相减得，，

所以，，

所以，

而，所以．

（2）由（1）得，

．

10．（2020·安徽高三三模）已知函数的图象过点，.

（1）求函数的解析式；

（2）记是正整数，是数列的前n项和，解关于n的不等式；

（3）对（2）中的数列，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）由题设可以得到，解得，故.

（2），故，

所以即为，解得.

（3）,

所以，

所以，

所以

，

故.

11．（2020·湖北武汉·高三三模）设数列前n项和为，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和；

（3）若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）由题意，，，

两式相减得.

所以，

又，所以，

所以是首项为2，公比是4的等比数列.

所以；

（2）由题意，，

所以，

，

两式相减得

，

故；

（3）结合（2）可知对任意的恒成立，

所以即对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立，

当时，取最大值，

∴.

12．（2020·苏州新草桥中学高三三模）已知等差数列中，公差，是和的等比中项；

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）是和的等比中项，

所以，

即，

又由，

即，

整理得，

所以数列的通项公式为.

 （2）由（1）知，，

则，

当时，，

所以，

当时，记数列的前项和为，

则，

所以，

综上得：.