专题36 数列求和问题（原卷版）学案

专题36  数列求和问题

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数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和.考查学生的观察能力与辨析能力.本专题举例说明常见几种类型的求和方法.

1、根据通项公式的特点求和：

（1）等差数列求和公式：

（2）等比数列求和公式：

（3）错位相减法：

通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法

方法详解：以为例，设其前项和为

① 先将写成项和的形式

② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列

，发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位.

③ 然后两式相减： 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出即可

所以

对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果.而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和.体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和

（4）裂项相消：

通项公式特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消.从而结果只存在有限几项，达到求和目的.其中通项公式为分式和根式的居多.

常见的裂项技巧：①；② ；

③；④ ；

此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，

一般来说，裂开的项中有个正项，个负项，且由于消项的过程中是成对消掉.所以保留项中正负的个数应该相同.

(5）分类（组）求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加.

例：

可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加

2、根据项的特点求和：

    如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和

（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可

（2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段.若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和

（3）倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即：

  两式相加可得：

【经典例题】

例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数17】设等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）设为数列的前项和．若，求．

例2.【2020年高考浙江卷20】已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．

（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．

例3．【2020年高考天津卷19】已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

例4．【2020年高考山东卷18】已知公比大于的等比数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

例5．（2020·北京高三三模）设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

例6．（2020·全国高三三模）已知等比数列的各项都为正数，当时，，设，数列的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

例7．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中高三三模）已知数列的前项和，且满足，则（    ）

A．1013 B．1022 C．2036 D．2037

例8．（2020·广西蒙山中学高三三模）已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，，则数列的通项公式是（    ）

A． B．

C． D．

【精选精练】

1．（2020·福建高三三模）已知为等差数列，为单调递增的等比数列，，，.

（1）求与的通项公式；

（2）求数列的前项和

2．已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.

3．（2020·重庆八中高三三模）设等差数列的公差为d前n项和为，，等比数列的公比为q，已知，，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）当时，记，求数列的前n项和.

4．（2020·山东济南外国语学校高三三模）已知首项为的等比数列的前项和为.

（1）求的通项公式；

（2）若，，求数列的前项和.

5．（2020·黑龙江大庆实验中学高三三模）已知数列满足，且（，且）.

（1）为何值时，数列是等比数列；

（2）若数列是等比数列，求数列的前项和.

6．（2020·河南大学附属中学高三三模）已知函数，设数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.

7．（2020·湖南高三三模）已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，对于任意，不等式，恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

8．（2020·广东三模）给出一下两个条件：①数列为等比数列，且，②数列的首项，且.从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).

（1）求数列的通项公式；.

（2）设数列满足，求数列的前n项和.

9．（2020·云南文山·高三三模）已知数列成等差数列，各项均为正数的数列成等比数列，，且，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

10．（2020·安徽高三三模）已知函数的图象过点，.

（1）求函数的解析式；

（2）记是正整数，是数列的前n项和，解关于n的不等式；

（3）对（2）中的数列，求数列的前n项和.

11．（2020·湖北武汉·高三三模）设数列前n项和为，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和；

（3）若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围.

12．（2020·苏州新草桥中学高三三模）已知等差数列中，公差，是和的等比中项；

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.