专题44 举重若轻-立体几何问题的空间向量方法（2）（原卷版）学案

这是一份专题44 举重若轻-立体几何问题的空间向量方法（2）（原卷版）学案，共11页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题44  举重若轻-立体几何问题的空间向量方法（2）【热点聚焦与扩展】利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.本专题通过例题重点说明利用空间向量求角和距离、存在性问题的方法与技巧.（一）空间向量可解决的立体几何问题（用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量）1、判定（证明）类（1）线面平行： （2）线面垂直：（3）面面平行：（4）面面垂直：2、计算类：（1）两直线所成角： （2）线面角：（3）二面角：或（视平面角与法向量夹角关系而定）（4）点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值.（二）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标2、解题关键：减少变量数量——可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度=所用变量个数3、如何减少变量：（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若使得 例：已知，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：——三点中取两点构成两个向量因为在上，所以 ——共线定理的应用（关键），即——仅用一个变量表示（2）平面上的点：平面向量基本定理——若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，使得： 例：已知，则平面上的某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，故，即（三）方法与技巧1.两条异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有.2.直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.3.求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．4.点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.【经典例题】例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数18】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．例2．【2020年高考全国Ⅲ卷理数19】如图，在长方体中，点分别在棱上，且．（1）证明：点在平面内；（2）证明：若时，求二面角的正弦值． 例3．【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．例4．【2020年高考天津卷17】如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
 （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．例5．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为．（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．例6．（2020·江西高三三模）如图，在正三棱柱中，，，点，满足，.（1）证明：面；（2）求二面角的余弦值.例7．（2020·江苏南通·高三三模）如图，在空间直角坐标系中，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为6，正方形ABCD的中心为坐标原点O，AD，BC平行于x轴，AB、CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上，点M、N分别在PA，BD上，且.（1）若，求直线MN与PC所成角的大小；（2）若二面角A-PN-D的平面角的余弦值为，求λ的值.例8．（2020·江苏南通·高三三模）如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC，，，，D，E分别为棱BC，PC的中点，点F在棱PA上，设．（1）当时，求异面直线DF与BE所成角的余弦值；（2）试确定t的值，使二面角C-EF-D的平面角的余弦值为．【精选精练】1．（2020·四川棠湖中学高三三模）已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．2．（2020·浙江高三三模）如图，已知直四棱柱的底面为边长为1的正方形，，为棱上一动点，若二面角的平面角，则线段的长度的取值范围为（    ）．A． B． C． D．3．（2020·四川泸县五中高三三模）如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．4．（2020·北京一七一中高三三模）如图所示，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为时，那么线段PM的长度是______．5．（2020·北京人大附中昌平学校三模）在四棱锥的底面中，，，平面，是的中点，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）线段上是否存在点，使得，若存在指出点的位置，若不存在请说明理由.6．（2020·陕西榆林·高三三模）在四棱锥中，底面是平行四边形，底面．（1）证明：；（2）求二面角的正弦值．7．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，且平面.（1）求证：；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.8．（2020·新疆乌鲁木齐·高三三模）如图，在四棱锥中，平面，是正方形，是中点，点在上，且. （1）证明平面；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.9．（2020·湖南明达中学高三三模）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，四边形是菱形，（1）求证：平面ABC⊥平面ACDF（2）求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值10．（2020·石嘴山市第三中学高三三模）如图所示,在四棱锥中,底面,,,点为棱的中点.用空间向量进行以下证明和计算:（1）证明:;（2）若为棱上一点,满足,求二面角的正弦值.11．（2020·天津高三三模）如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.12．（2020·苏州新草桥中学三模）如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，平面平面（I）求证：；（II）若M为中点，求证：平面；（III）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为？若存在，求得值，若不存在，说明理由.