专题20 三角恒等变换与求值（解析版）学案

这是一份专题20 三角恒等变换与求值（解析版）学案，共12页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题20  三角恒等变换与求值【热点聚焦与扩展】高考对于三角恒等变换的考查，主要以公式的基本运用、计算为主，在三角函数考题中，经常要求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查,主要是小题为主,试题难度不大．往往从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．本专题重点举例讲解求未知角的三角函数值问题的解法. 1、与三角函数计算相关的公式：（1）同角三角函数的基本关系式①平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．②商数关系：tan α＝.（2）六组诱导公式　角函数　2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α  对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”（3）两角和差的正余弦，正切公式：①    ② ③   ④ ⑤             ⑥ （4）倍半角公式：①        ② ③ （3）辅助角公式：，其中2、求未知角的三角函数值问题的解法步骤：（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开（3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值（4）将结果整体代入到运算式即可3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解.确定角的范围有以下几个层次：（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如： ，则）（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限.（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为）（4）通过题目中隐含条件判断角的范围.例如：，可判断出在第一象限.【经典例题】1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数9】已知，且，则 （   ）A．                B．                C．                D． 【答案】A【思路导引】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论．【解析】，得，即，解得或（舍去），又，故选A．【专家解读】本题考查了三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记三角函数有关公式．例2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数2】若为第四象限角，则 （   ）A．      B．        C．            D． 【答案】D【思路导引】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．【解析】当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确，故选：D．【专家解读】本题考查了三角函数的符号，考查二倍角公式、特殊角的三角函数值等知识，考查数学运算学科素养．解题关键是理解三角函数的定义，熟记三角函数有关公式．例3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数5】已知，则 （   ）A．                   B．                C．                 D．【答案】B【思路导引】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值．【解析】由题意可得：，则：，，从而有：，即．故选：B．【专家解读】本题考查了三角函数知值求值问题的解法，考查两角和与差的正余弦公式及其应用，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是灵活运用三角函数有关公式进行计算．例4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数9】已知，则 （   ）A．               B．            C．         D．【答案】D【思路导引】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．【解析】，，令，则，整理得，解得，即．故选D．【专家解读】本题考查了三角函数知值求值问题的解法，考查两角和的正切公式，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是灵活运用三角函数有关公式进行计算．例5．【2020年高考全国Ⅱ卷文数13】设，则                   ．【答案】【思路导引】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可．【解析】．故答案为：．【专家解读】本题考查了二倍角余弦公式，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记公式．例6．【2020年高考江苏卷8】已知，则的值是________．【答案】【解析】∵，由，解得．【专家解读】本题考查了二倍角公式，考查数学运算学科素养．例7．【2020年高考浙江卷13】已知，则              ；              ．【答案】；【思路导引】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得【解析】，，故答案为：； ．例8．（2020·南昌市第八中学高三三模），若，则（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】由题：.故选：B 【精选精练】1．（2020·山西迎泽·太原五中高三三模）已知，则（    ）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，故选：A.2．（2020·四川巴中·三模）已知，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以.故选：B3．（2020·通榆县第一中学校三模）若，则（    ）A． B． C．6 D．【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.4．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三三模）若，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因为，，所以，，因为，，所以，，则．故选：C5．（2020·江苏南通·三模）若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，.故选：C.6．（2020·河南三模）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A.7．（2020·江苏苏州·三模）如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值为(    ) A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得.根据题意可知)，所以，可知，.所以..故选C.8．（2020·浙江高三三模）设，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，，因此由得故选：D9．（2020·浙江高三三模）若，且，则的取值不可能是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，，则，所以，，又由得，不妨设，则，设，则有有解，则，解得或，因为，故选：C．10．（2020·陕西安康·高三三模）若，，，且，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得即，设，因为，，所以在上单调递增，由，即，，即.所以，由在上单调递增.由，，则，可得，∴，∴，∴，由，，所以∴，∴.故选：A11．（2020·沙坪坝·重庆一中三模）在非等腰中，内角满足，若关于x的不等式对任意恒成立，则角A的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】在中，由，代入可得：，所以：整理可得：，即：，因为非等腰，所以，，代入可得：，两边同除，可得：在恒成立，，即，又因为，则，所以，即，又因为非等腰，所以，所以，故选：D.12．（2020·辽宁高三三模）已知函数，则f（x）的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令为减函数，且所以当时，，从而，当时，，从而，故.故选：C.