专题47 待定系数法-求曲线的方程（解析版）学案

这是一份专题47 待定系数法-求曲线的方程（解析版）学案，共18页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题47  待定系数法-求曲线的方程【热点聚焦与扩展】待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用待定系数法确定曲线方程.待定系数法中方程的形式：① 直线：，② 圆：；.③ 椭圆：标准方程：（或，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．④ 双曲线：(1)标准方程：（或，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：(2) 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为：⑤ 抛物线：标准方程：等抛物线方程通式：，【经典例题】例1．（2020·安徽郎溪·高三三模）抛物线的焦点，准线是，点是抛物线上一点，则经过点，且与相切的圆的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．无数多个【答案】B【解析】抛物线的焦参数，，准线，即，设经过点，且与直线相切的圆的圆心为，则半径为到的距离为即，圆的方程为将､的坐标代入可得①②由①-②可得：整理可得：③将②整理可得：即：④由③④得：解得将分别代入④得：故圆的个数为2个.故选：B.例2．（2020·全国高三三模）已知圆过点，，，直线：与圆交于，两点，则（    ）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】设圆：，由圆过点，，，可得，解得，，，故圆：；则圆心到直线：的距离，故.故选：C.例3．（2020·威远中学校高三三模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，若，是线段的三等分点，的周长为，则椭圆的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由椭圆的定义，得，的周长，所以，所以椭圆.不妨令点C是的中点，点A在第一象限，因为，所以点A的横坐标为c，所以，可得，所以，由中点坐标公式可得，把点B的坐标代入椭圆E的方程，得，，化简得，又，所以，得，所以.所以，椭圆的方程为.故选：A.例4．（2020·全国高三三模）已知椭圆，其长轴长为4，且离心率为，在椭圆上任取一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由椭圆，其长轴长为4且离心率为，∴，，，解得，，∴椭圆的标准方程为．不妨设，由对称性可得，则，再设点，则，可得，点，，∵，∴当时，的最大值为16．因此的最小值为．故选：B.例5．（2020·四川省内江市第六中学高三三模）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（    ）A． B． C．10 D．【答案】C【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程是，∴，即，∵左焦点，∴∴，∴，，∴双曲线方程为，直线的方程为，设，由，消可得，∴，，∴．故选:C例6．（2020·昆明市官渡区第一中学高三三模）已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】由题意可得，即，渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，焦点为，，由双曲线的定义可得，由圆可得，半径，，连接，交双曲线于，交圆于，此时取得最小值，且为，则的最小值为.故选：B.例7．（2020·云南高三三模）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，联立抛物线与切线方程，转化得，，解得，当时，直线方程为，，解得，则，因为，所以，解得；当时，同理得，综上所述，抛物线方程为，故选：C.例8．（2020·四川省泸县第一中学高三二模）设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，设点，由得，即……①，又因为,所以,所以，所以……②，由①②可解得，在中，，，所以，所以,解得或（舍去），故选：C 【精选精练】1．（2020·海南文昌中学高三三模）抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】抛物线的图象关于对称，与坐标轴的交点为，，，令圆心坐标，可得，即，解得，，∴圆的轨迹方程为，故选D.2．（2020·全国高三三模）已知O是线段KF的中点，|KF|=4.直线l经过点K且与KF垂直，PH⊥l(垂足是H)， PO=PF=PH，则POF的外接圆半径等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为则点位于以为焦点、直线为准线的抛物线上，以的中点为原点、直线为轴建立直角坐标系（在正半轴上），因为，得抛物线方程为，焦点，作轴(是垂足)，由知平分，得，由对称性，只需取，设外接圆的方程为，将点，，的坐标代入，得：，，，所以外接圆的半径，故选：B.3．（2020·广东三模）已知椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点，若椭圆C的离心率为，且，的面积为，则椭圆C的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】椭圆的焦点为，，是椭圆上一点．若椭圆的离心率为，且，△的面积为，可得：，解得，，所以椭圆方程为：．故选：．4．（2020·安徽马鞍山·高三三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，，设，，，，四边形为平行四边形，，又，，，又，且直线的倾斜角为，．，，，，．得，将的坐标代入椭圆方程，可得，①又，②联立①②解得：，．故椭圆方程为：故选：D5．（2020·安徽高三三模）已知椭圆：的焦距为，为右焦点，直线与椭圆相交于，两点，是等腰直角三角形.点的坐标为，若记椭圆上任一点到点的距离的最大值为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，所以点的坐标为， 代入椭圆方程有，又所以,解得或 (舍去)，所以，所以椭圆方程可化为，设点Q的坐标为(x,y) ,则，所以 所以.故选：C6．（2020·天津滨海新·高三三模）已知抛物线的焦点与双曲线（，）的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，抛物线可化为，可得焦点坐标为，即双曲线的焦点坐标为，即，又由双曲线的一条渐近线的方程为，即，所以焦点到的距离为，所以，又由，所以双曲线的方程为.故选：D.7．（2020·梅河口市第五中学高三三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点，若，为其左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若点，则当|取最小值时，点P的坐标为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由条件可知，即，解得：，，，， ，当三点共线时取等号，，此时直线的斜率，直线的方程为，联立 ，解得：， ，即点的坐标为.故选：C8．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三三模）已知双曲线的离心率为，为坐标原点，过右焦点的直线与的两条渐近线的交点分别为、，且为直角三角形，若，则的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于双曲线的离心率为，，可得，，设点、分别为直线、上的点，且，则直线的方程为，联立，解得，所以点，则，易知，，所以，，解得，，因此，双曲线的方程为.故选：C.9．（2020·全国高三三模）已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为6，，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由抛物线：（）焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，∴抛物线方程为.设，圆：，圆心为，半径为1，则，当时，有最小值，故最小值为.故选：.10．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高三三模）设抛物线：的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的标准方程为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】由题意，：的焦点为，准线方程为，根据抛物线的定义，可得，设以为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为，又因为圆过点，所以，又因为点在上，所以，解得或，抛物线的标准方程为或.故选：C.11．（2020·内蒙古赤峰·高三三模）设抛物线C:()焦点为F,点M在C上,且,若以MF为直径的圆过点,则C的方程为(    )A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【解析】设以MF为直径的圆的圆心为画出几何图形: 抛物线:()其焦点坐标为:,准线为设,故点到准线的距离为:根据抛物线定义可得: 根据中点坐标公式可得:的中点为: 以MF为直径的圆过点,根据几何关系可得: 代入可得:,即: 解得:或的方程为:或故选:A.12．（2020·全国高三三模）已知椭圆的左顶点和左焦点分别为和,,直线交椭圆于两点(在第一象限),若线段的中点在直线上,则该椭圆的方程为(    )A． B．C． D．【答案】C【解析】根据画出椭圆图像,如图:设点,则,的中点为, 根据中点坐标公式可得: 有题意可知,又 三点共线,可得: 可得: 解得: ,故——① ,可得: ——②由①②可得:, 根据椭圆性质:,可得 该椭圆的方程为: .故选:C.