贵州省贵阳市第四十中学2021-2022学年九年级上学期9月月考数学【试卷+答案】

这是一份贵州省贵阳市第四十中学2021-2022学年九年级上学期9月月考数学【试卷+答案】，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（ ）
A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1
2．在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后化成（x+a）2＝b的形式为（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝7D．（x﹣2）2＝7
4．方程x2﹣16＝0的根是（ ）
A．0B．±4C．4D．﹣4
5．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角D．四条边相等
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，CD＝2，则点D到AB的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，的三个小球，这三个小球除标号外其余均相同，随机取出一个小球记下标号，放回洗匀后再取出一个小球记下标号，两次所取球的标号相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．设（x+y）（x+2+y）﹣15＝0，则x+y的值为（ ）
A．﹣5或3B．﹣3或5C．3D．5
10．矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线长是（ ）
A．B．5C．D．3
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．在一个不透明的袋子里有1个黑球2个白球，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出两个球，则摸到两个均为白球的概率是 ．
12．已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，则m＝ ，另一个根是 ．
13．已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是 cm2．
14．已知正方形ABCD，以CD为边作等边三角形CDE，则∠AED的度数是 ．
15．如图，将边长为6的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，当两个三角形重叠部分为菱形时，则A'D为 ．
三、解答题（本题满分50分）
16．解方程
（1）x2﹣5x+6＝0；
（2）（x+3）2＝2（x+3）．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形．
18．在一幅长8分米、宽6分米的矩形风景画的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．
19．贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
20．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
21．甲乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状、大小完全相同的牌，正面分别标有数字2、3、5，将三张牌背面朝上，洗匀后放桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张，请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
（3）在（2）的情况下，如果这个游戏不公平，请你在该条件下设计一个规则，让游戏公平．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是x，y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，求OC的最大值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（ ）
A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a、b、c．
解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．
故选：B．
2．在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
解：A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；
B、有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；
C、符合菱形定义；
D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
故选：C．
3．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后化成（x+a）2＝b的形式为（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝7D．（x﹣2）2＝7
【分析】先移项，再方程两边都加上1，即可得出答案．
【解答】解 原方程可化为x2﹣2x＝3，
配方得x2﹣2x+1＝3+1，
即（x﹣1）2＝4，
故选：A．
4．方程x2﹣16＝0的根是（ ）
A．0B．±4C．4D．﹣4
【分析】利用直接开平方法求解即可．
解：x2﹣16＝0，
x2＝16，
∴x＝±4．
故选：B．
5．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角D．四条边相等
【分析】根据正方形与菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解：正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角；
菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分．
∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：A．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA＝2，则AC＝2OA＝4，又BD＝AC，故可求．
解：∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故选：A．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，CD＝2，则点D到AB的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离＝CD＝2．
解：由角平分线的性质，得点D到AB的距离＝CD＝2．
故选：B．
8．一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，的三个小球，这三个小球除标号外其余均相同，随机取出一个小球记下标号，放回洗匀后再取出一个小球记下标号，两次所取球的标号相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球的标号相同的情况数，即可求出所求的概率．
解：树状图如下：
∴P（小刚两次所记的数字相同）＝＝．
故选：C．
9．设（x+y）（x+2+y）﹣15＝0，则x+y的值为（ ）
A．﹣5或3B．﹣3或5C．3D．5
【分析】利用十字相乘法分解因式进而得出方程的解．
解：（x+y）（x+2+y）﹣15＝0
（x+y）2+2（x+y）﹣15＝0
（x+y﹣3）（x+y+5）＝0，
解得：x+y＝3或﹣5．
故选：A．
10．矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线长是（ ）
A．B．5C．D．3
【分析】因为是等腰直角三角形，所以底角是45°，所以中点与矩形顶点的连线也是矩形直角的角平分线，即矩形被分成三个等腰直角三角形，因此矩形的长是宽的2倍．再根据周长即可求出长与宽，利用勾股定理就可以求出对角线的长．
解：如图，∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
又矩形ABCD，∴∠DAE＝∠90°﹣45°＝45°，
∴Rt△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE，
∵点E是中点，
∴CD＝2AD，
又∵（AD+CD）×2＝36，
∴AD＝6，CD＝12，
所以对角线的长＝＝6．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．在一个不透明的袋子里有1个黑球2个白球，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出两个球，则摸到两个均为白球的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的情况，两个球都是白球的有2种情况，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如图：
共有6种等可能的情况，两个球都是白球的有2种情况，
∴P（两个球都是白球）＝＝，
故答案为：．
12．已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，则m＝ 1 ，另一个根是 ﹣3 ．
【分析】根据一元二次方程的解定义，将x＝2代入关于x的方程x2+mx﹣6＝0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2＝﹣解出方程的另一个根．
解：根据题意，得
4+2m﹣6＝0，即2m﹣2＝0，
解得，m＝1；
由韦达定理，知
x1+x2＝﹣m；
∴2+x2＝﹣1，
解得，x2＝﹣3．
故答案是：1、﹣3．
13．已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是 8 cm2．
【分析】根据正方形性质可知：正方形的一条角平分线即为对角线，对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可知正方形的边长，进而可得这个正方形的面积．
解：设这个正方形的边长为xcm，
则根据正方形的性质可知：x2+x2＝42＝16，
解可得x＝2cm；
则它的面积是x2＝8cm2，
故答案为8cm2．
14．已知正方形ABCD，以CD为边作等边三角形CDE，则∠AED的度数是 15°或75° ．
【分析】当E在正方形ABCD内时，根据正方形ABCD，得到AD＝CD，∠ADC＝90°，根据等边△CDE，得到CD＝DE，∠CDE＝60°，推出AD＝DE，得出∠DAE＝∠AED，根据三角形的内角和定理求出即可；
当E在正方形ABCD外时，根据等边三角形CDE，推出∠ADE＝150°，求出即可．
解：有两种情况：
（1）当E在正方形ABCD内时，如图1
∵正方形ABCD，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵等边△CDE，
∴CD＝DE，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝（180°﹣∠ADE）＝75°；
（2）当E在正方形ABCD外时，如图2
∵等边三角形CDE，
∴∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，
∴∠AED＝∠DAE＝（180°﹣∠ADE）＝15°．
故答案为：15°或75°．
15．如图，将边长为6的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，当两个三角形重叠部分为菱形时，则A'D为 6﹣6 ．
【分析】由菱形的性质可得A'F＝EC，A'F∥EC，由等腰直角三角形的性质可得A'F＝A'D，即可求解．
解：如图，设A'B'与AC交于E，A'C与DC交于点F，
∵四边形A'ECF是菱形，
∴A'F＝EC，A'F∥EC，
∴∠A'FD＝∠ACD＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DA'F＝∠A'FD＝45°，
∴A'D＝DF，
∴A'F＝A'D，
∴DC＝DF+CF＝A'D+A'D＝6，
∴A'D＝6﹣6，
故答案为：6﹣6．
三、解答题（本题满分50分）
16．解方程
（1）x2﹣5x+6＝0；
（2）（x+3）2＝2（x+3）．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3；
（2）∵（x+3）2＝2（x+3），
∴（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
则（x+3）（x+1）＝0，
∴x+3＝0或x+1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣1．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形．
【分析】先证四边形ADCE是平行四边形，再由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADC＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，
∵D为BC中点，
∴CD＝BD，
∴CD∥AE，CD＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
18．在一幅长8分米、宽6分米的矩形风景画的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．
【分析】设金色纸边的宽为x分米，根据题意列出一元二次方程，解方程求出方程的解即可．
解：设金色纸边的宽为x分米，由题意得，
（8+2x）（6+2x）＝80，
∴x＝﹣8或x＝1，
经检验x＝﹣8或1都是所列方程的解，但是宽不能为负数，
即x＝1，
答：金色纸边的宽是1分米．
19．贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
【分析】（1）设求平均每次下调的百分率为x，由降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可；
（2）分别求出两种优惠方法的费用，比较大小就可以得出结论．
【解答】（1）解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1﹣x）2＝4860，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）由题意，得
方案①优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720元，
方案②优惠：80×100＝8000元．
∵9720＞8000
∴方案①更优惠．
20．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
【分析】（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明△ABE与△CBF全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD、BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE＝BF．
（2）如图，
∵对角线AC＝8，BD＝6，
∴对角线的一半分别为4、3，
∴菱形的边长为＝5，
菱形的面积＝5BE＝×8×6，
解得BE＝．
21．甲乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状、大小完全相同的牌，正面分别标有数字2、3、5，将三张牌背面朝上，洗匀后放桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张，请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
（3）在（2）的情况下，如果这个游戏不公平，请你在该条件下设计一个规则，让游戏公平．
【分析】（1）根据题意直接列表，即可得出所有可能出现的结果；
（2）根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，再进行比较，即可得出答案；
（3）改变游戏规则即可得到答案．
解：（1）所有可能出现的结果如下：
从表格可以看出，总共有9种结果，两人抽取相同数字有3种情况，
故两人抽取相同数字的概率为；
（2）不公平．
从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
∵＞，
∴甲获胜的概率大，游戏不公平；
（3）游戏规则为：若两人抽取的数字和为4的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．游戏公平．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是x，y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，求OC的最大值．
【分析】取AB的中点E，连接OE、CE，根据线段中点的定义求出BE，利用勾股定理列式求出CE，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE＝BE，根据两点之间线段最短判断出点O、E、C三点共线时OC最大，然后求解即可．
解：如图，取AB的中点E，连接OE、CE，
则BE＝×2＝1，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE＝＝，
∵∠AOB＝90°，点E是AB的中点，
∴OE＝BE＝1，
由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大，
∴OC的最大值＝+1．

2
3
5
2
（2，2）
（2，3）
（2，5）
3
（3，2）
（3，3）
（3，5）
5
（5，2）
（5，3）
（5，5）