专题67 归纳推理与类比推理（原卷版）学案

这是一份专题67 归纳推理与类比推理（原卷版）学案，共9页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题67  归纳推理与类比推理【热点聚焦与扩展】从近几年高考命题看，对归纳推理与类比推理的考查，略有淡化，有的话往往是一道选择题或填空题，属于容易题.但作为基本的、重要的推理方法，复习中依然要予以重视.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.（一）归纳推理：1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理2、处理归纳推理的常见思路：（1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律（2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律）（3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意3、常见的归纳推理类型：（1）函数的迭代：设是的函数，对任意，记，则称函数为的次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其通常具备某些特征（特征与）有关.在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到的通式（2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和.（3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式）（4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标进行表示，其中代表行，代表列.例如：表示第行第列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.（二）类比推理：1、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）2、常见的类比类型及处理方法：（1）运算的类比：通常是运算级数相对应：① 加法乘法，② 数乘（系数与项的乘法）指数幂③ 减法除法（2）运算律的类比：在数学中的其它领域，如果满足加法，乘法的交换律，以及乘法的分配律，则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中.例如①在向量数量积的运算中，满足交换律与分配律，则：代数中的平方差公式：，和差完全平方公式： 均可推广到向量数量积中：，②在复数的运算中，满足交换律与分配律，则实数中的运算公式可推广到复数中（甚至是二项式定理）（3）等差数列与等比数列的类比：等差数列的性质通常伴随着一，二级运算（加减，数乘），等比数列的性质通常伴随着二，三级运算（乘除，乘方）.所以在某些性质中体现出运算上的类比.例如：设为等差数列，公差为；为等比数列，公比为，则① 递推公式：② 通项公式： ③ 双项性质：④ 等间隔取项，在数列，中等间隔的取项：则成等差数列 成等比数列（4）维度的类比：平面几何（二维）的结论与立体几何（三维）的结论进行类比，当维度升高时，涉及的要素也将维度升高，例如：①位置关系：平面中的线的关系空间中的面的关系，线所成的角线面角或二面角，②度量：线段长度图形的面积，图形面积几何体体积，点到线的距离点到平面距离③衍生图形：内切圆内切球，外接圆外接球，面对角线体对角线（5）平面坐标与空间坐标的类比：平面直角坐标系坐标空间直角坐标系坐标，在有些坐标运算的问题中，只需加上竖坐标的运算即可完成推广，例如：① 线段中点坐标公式：平面：设，则中点 空间：设，则中点② 两点间距离公式：平面：设，则 空间：设，则3、同一个命题，不同的角度类比得到的结论可能不同，通常类比只是提供一个思路与方向，猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确.在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为类比的结论.【经典例题】例1．（2020·广东高三三模）如图，在一个凸四边形内，顺次连接四边形各边中点E，F，G，H而成的四边形是一个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形.如图，现有一个面积为12的凸四边形，设其对应的瓦里尼翁平行四边形为，记其面积为，四边形为对应的瓦里尼翁平行四边形为，记其面积为，…，依次类推，则由此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形的面积为（    ）A．1 B． C． D．不确定例2．（2020·黑龙江实验中学高三三模）华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（    ）次检测.A．3 B．4 C．6 D．7例3．（2020·山西临汾·高三三模）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列，则（    ）A． B．C． D．例4．（2020·湖南永州·高三三模）苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（    ）（可能用到数值）A． B． C． D．例5．（2020·广东高三三模）图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（    ）A． B． C． D．例6．（2020·邵东县第十中学高三三模）数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排；第三行3项……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ）A．27 B．26 C．21 D．20例7．（2020·黑龙江高三三模）公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（    ）A．153 B．190 C．231 D．276例8．（2020·河南南阳中学高三三模）对平面中的任意平行四边形，可以用向量方法证明：，若将上诉结论类比到空间的平行六面体，则得到的结论是（    ）A．B．C．D．【精选精练】1．（2020·北京人大附中高三三模）某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分． 第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题第8题得分甲××√××√×√5乙×√××√×√×5丙√×√√√×××6丁√×××√×××？丁的得分是（    ）A．4分 B．5分 C．6分 D．7分2．（2020·吉林油田第十一中学高三三模）已知不等式1+，1+，1+，……均成立，照此规律，第五个不等式应为1+<（    ）A． B． C． D．3．（2020·山东聊城·高三三模）数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（    ）A．153 B．190 C．231 D．2764．（2020·吉林高三三模）三角形的面积为，（为三角形的边长，为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为 (   )A．（为底面边长）B．（分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径）C．（为底面面积，为四面体的高）D．（为底面边长，为四面体的高）5．（2020·全国高三三模）魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可利用方程求得，类似地可得正数（    ）A．2 B． C． D．6．（2020·湖北黄冈·高三三模）明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有，，．据此，可得正项等比数列中，（    ）A． B． C． D．7．（2020·山西高三三模）已知中，，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，由，又，可得.类比上述方法可得：三楼锥中，若，平面，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则该三棱锥内切球的半径是（    ）A． B． C． D．8．（2020·全国高三三模）分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能.其计算式子为，其中，为静电常量，、分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知，，，且，则的近似值为（      ）A． B． C． D．9．（2020·宁夏大学附属中学高三三模）正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为（    ）A． B． C． D．10．（2020·湖北高三三模）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：，，，，，，，，，，，，，，……．记作数列，若数列的前项和为，则＝（    ）A． B． C． D．11．（2020·四川成都七中高三三模）已知数列满足，，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第行有个数，），从左至右第行第个数记为（、且），则（    ）A． B． C． D．12．（2020·山西长治·高三三模）设为多面体的一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面遍历多面体的所有以为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体)，若它们在各顶点处的离散曲率分别是，则的大小关系是(    )A． B．C． D．