2017年钦州市中考一模数学试卷

这是一份2017年钦州市中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. ∣−5∣ 的相反数是
A. 5B. −5C. 15D. −15

2. 如图所示，直线 a，b 被直线 c 所截，∠1 与 ∠2 是
A. 内错角B. 同位角C. 同旁内角D. 邻补角

3. 观察下列立体图形，左视图为矩形的是
A. B.
C. D.

4. 青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为 2500000 平方千米．将 2500000 用科学记数法表示应为
A. 0.25×107B. 2.5×107C. 2.5×106D. 25×105

5. 下列计算中，错误的是
A. −3a+2a=−aB. a3⋅a2=a6
C. 3a32=9a6D. 6a2b÷3b=2a2

6. 不等式 3x−2>4 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

7. 甲袋中装有形状、大小与质地都相同的红球 3 个，乙袋中装有形状、大小与质地都相同的红球 2 个，黄球 1 个，下列事件为随机事件的是
A. 从甲袋中随机摸出 1 个球，是黄球
B. 从甲袋中随机摸出 1 个球，是红球
C. 从乙袋中随机摸出 1 个球，是红球或黄球
D. 从乙袋中随机摸出 1 个球，是黄球

8. 下列实数中，介于 5 和 6 之间的是
A. 21B. 30C. 47D. 339

9. 已知反比例函数 y=k−1x 的图象位于第二、第四象限，那么关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 的根的情况是
A. 方程有两个不相等的实数根B. 方程不一定有实数根
C. 方程有两个相等的实数根D. 方程没有实数根

10. 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A−4,3，B−6,1，C−1,1，将 △ABC 绕着原点 O 顺时针旋转 180∘ 后得到 △A1B1C1，则点 B 的对应点 B1 的坐标是
A. 1,−1B. 4,−3C. −1,−1D. 6,−1

11. 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=70∘，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，垂足为 E，连接 DF，则 ∠CDF 等于
A. 55∘B. 65∘C. 75∘D. 85∘

12. 如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E 在 AB 边上，EF⊥AC 于点 F，连接 EC，AF=3，△EFC 的周长为 12，则 EC 的长为
A. 722B. 32C. 5D. 6

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 当 x = 时，分式 x−2x+2 的值为零．

14. 一组数据 2，−2，4，1，0 的中位数是 ．

15. 分解因式：a2+2ab+b2= ．

16. 如图，为测量某栋楼房 AB 的高度，在 C 点测得 A 点的仰角为 30∘，朝楼房 AB 方向前进 10 米到达点 D，再次测得 A 点的仰角为 60∘，则此楼房的高度为 米（结果保留根号）．

17. 已知 ⊙O 的直径 CD=10，AB 是 ⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，且 AB=8，则 AC 的长为

18. 如图，平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OAP1B 的顶点 A，B 分别在 x 轴、 y 轴上，点 P1 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，过 P1A 的中点 B1 作矩形 B1AA1P2，使顶点 P2 落在反比例函数的图象上，再过 P2A1 的中点 B2 作矩形 B2A1A2P3，使顶点 P3 落在反比例函数的图象上，⋯，依此规律，作出矩形 Bn−1An−2An−1Pn 时，落在反比例函数图象上的顶点 Pn 的坐标是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 计算：2−1+∣−5∣−sin30∘−38．

20. 先化简再求值：x2x−1+11−x，其中 x=5−1．

21. 如图，已知 Rt△ABC，∠C=90∘，AC≠BC．
（1）请用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作 ∠B 的角平分线，与 AC 相交于点 D；
②以点 B 为圆心，BC 为半径画弧交 AB 于点 E，连接 DE．
（2）根据（1）所作的图形，写出一对全等三角形．

22. 如图所示，△ABC 的外接圆 ⊙O 的半径为 2，过点 C 作 ∠ACD=∠ABC，交 BA 的延长线于点 D，若 ∠ABC=45∘，∠D=30∘．
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线；
（2）求 AB 的长．

23. 已知购买 1 盆甲种花卉和 3 盆乙种花卉共需 125 元，购买 3 盆甲种花卉和 2 盆乙种花卉共需 165 元．
（1）求购买 1 盆甲种花卉和购买 1 盆乙种花卉各需多少元?
（2）某校为绿化校园决定购买甲乙两种花卉共 60 盆，要求购买的甲种花卉盆数不少于乙种花卉的 14，请帮该校设计一种最省钱的购买方案，并计算此时购买这两种花卉所需的费用．

24. 为丰富学生的校园生活，某校举行“与爱同行”朗诵比赛，赛后整理参赛同学的成绩，绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题．
组别成绩x分频数人数A8.0≤x<8.5aB8.5≤x<9.08C9.0≤x<9.515D9.5≤x<103
（1）图中 a= ，这次比赛成绩的众数落在 组；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的 3 人参加全市中学生朗诵比赛，并为参赛选手准备了 2 件白色、 1 件蓝色上衣和黑色、蓝色、白色的裤子各 1 条，小军先选，他从中随机选取一件上衣和一条裤子搭配成一套衣服，请用画树状图法或列表法求出上衣和裤子搭配成不同颜色的概率．

25. 如图1，四边形 ABCD 是平行四边形，BD 是它的一条对角线，过顶点 A，C 分别作 AM⊥BD，CN⊥BD，M，N 为垂足．
（1）求证：AM=CN；
（2）如图2，在对角线 DB 的延长线及反向延长线上分别取点 E，F，使 BE=DF，连接 AE，CF，试探究：当 EF 满足什么条件时，四边形 AECF 是矩形?并加以证明．

26. 如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线 y=−12x2+bx+c 与 x 轴交于点 A−4,0，与 y 轴交于点 B0,4．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在 x 轴上有一点 P，点 P 在直线 AB 的垂线段为 PC，C 为垂足，且 PC=2，求点 P 的坐标；
（3）如图（2），将原抛物线向左平移，使平移后的抛物线过原点，与原抛物线交于点 D，在平移后的抛物线上是否存在点 E，使 S△APE=S△ACD?若存在，请求出点 E 的坐标，若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】∣−5∣=5，5 的相反数是 −5．
2. A
3. C
4. C
5. B
6. B
7. D
8. B
9. A
10. D
11. C
12. C
第二部分
13. 2
14. 1
15. a+b2
16. 53
17. 25 或 45
【解析】由题意作图如下：
由题意可知：AE=BE=AʹF=BʹF=4．
∴OE=OF=3．
∴CE=2，CF=8．
∴AC=25，AʹC=45．
18. 2n−1,12n−1
第三部分
19. 原式=12+5−12−2=3.
20. x2x−1+11−x=x2x−1−1x−1=x2−1x−1=x+1x−1x−1=x+1,
当 x=5−1 时，原式=5−1+1=5．
21. （1） ① ∠B 的角平分线 BD 如图所示．
②所作 DE 如图所示．
（2） △BDC≌△BDE，证明如下：
∵ BD 是 ∠B 的角平分线，
∴ ∠CBD=∠ABD，
在 △BDC 与 △BDE 中，
BC=BE,∠CBD=∠ABD,BD=BD,
∴ △BDC≌△BDESAS．
22. （1） 连接 OA，OC .
则 ∠AOC=2∠ABC=90∘，
∵ 在 △AOC 中，OA=OC，
∴ ∠OCA=∠OAC=45∘，
又 ∵ ∠ACD=45∘，
∴ ∠OCD=∠OCA+∠ACD=45∘+45∘=90∘，
∴ OC⊥CD．
即 CD 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 OB．
∵ ∠ABC=45∘，∠D=30∘，∠ACD=∠ABC=45∘，
∴ 在 △BCD 中，∠BCD=180∘−∠ABC−∠D=180∘−45∘−30∘=105∘，
∴ ∠ACB=∠BCD−∠ACD=105∘−45∘=60∘，
∴ ∠AOB=2∠ACB=120∘ ，
∴ AB 的长为 120⋅π⋅2180=4π3．
23. （1） 设购买 1 盆甲种花卉要 x 元，购买 1 盆乙种花卉要 y 元，
根据题意，得
x+3y=125,3x+2y=165.
解得，
x=35,y=30.
答：购买 1 盆甲种花卉要 35 元，购买 1 盆乙种花卉 30 元．
（2） 设该校购买甲种花卉 a 盆，购买乙种花卉 60−a 盆，购买花卉的费用为 w，
w=35a+3060−a=5a+1800，
因为购买的甲卉盆数不少于乙种花卉的 14，
所以 a≥1460−a，
解得，a≥12，
因为 a<60，
所以 12≤a<60．
又因为 5>0，
所以 w 随着 a 的增大而增大，
所以当 a=12 时，w 最小，此时 w=5×12+1800=1860，
所以当购买甲花卉 12 盆、乙种花卉 48 盆时所需的费用最小，此时所购买这两种花卉所需的费用为 1860 元．
24. （1） 4；C
【解析】由条形统计图可知，a=4，由频数分布直方图可知这次比赛成绩的众数落在C组．
（2） 补全频数分布直方图如下：
（3） 设两条白色上衣分别记为 白1 、 白2，画出树状图（或列表） 得：
白1白2蓝黑白1,黑白2,黑蓝,黑蓝白1,蓝白2,蓝蓝,蓝白白1,白白2,白蓝,白
由树状图（或表格）可以看出，所有可能出现的结果共有 9 种，这些结果出现的可能性相等，其中上衣和裤子搭配成不同颜色的结果有 6 种．
∴ P上衣和裤子搭配成不同颜色=69=23．
25. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC，∠ADM=∠CBN．
∵ AM⊥BD，CN⊥BD，
∴ ∠AMD=∠CNB=90∘，
在 △AMD 和 △CNB 中，
∠ADM=∠CEN,∠AMD=∠CNB,AD=BC,
∴ △AMD≌△CNBAAS，
∴ AM=CN．
（2） 如图2，连接 AC，
猜想：当 EF=AC 时，四边形 AECF 是矩形．
证明：由（1）得 △AMD≌△CNB，
∴ DM=BN．
∵ BE=DF，
∴ DM+DF=BN+BE，即 MF=NE．
在 △AMF 和 △CNE 中，
MF=NE,∠AMF=∠CNE,AM=CN,
∴ △AMF≌△CNESAS，
∴ AF=CE，∠AFE=∠CEF，
∴ AF∥CE 且 AF=CE，即四边形 AECF 是平行四边形．
又 EF=AC，
∴ 四边形 AMCN 是矩形．
26. （1） ∵ 抛物线 y=−12x2+bx+c 过点 A−4,0，B0,4，
∴−8−4b+c=0,c=4,
解得：b=−1,c=4,
∴ 所求抛物线的函数解析式是 y=−12x2−x+4．
（2） ∵A−4,0，B0,4，
∴OA=OB=4．
∵∠AOB=90∘，
∴∠OAB=∠OBA=45∘．
设 PC⊥AB，
则 ∠ACP=90∘，PC=2．
Rt△ACP 中，sin∠PAC=PCPA，
∴PA=2sin45∘=2．
∴OP=OA−PA=2 或 OP=OA+AP=6．
∴ 点 P 的坐标为：P1−2,0，P2−6,0．
（3） ∵ 抛物线 y=−12x2−x+4 向左平移后过原点，
∴ 平移后的抛物线的函数解析式为 y=−12x2−3x．
由 −12x2−x+4=−12x2−3x．
解得 x=−2．
∴y=−12×−22−3×−2=4．
∴ 点 D 的坐标为 −2,4．
如图2，① 当点 P 在 AO 上时，设 P1C1⊥AB，过 C1 作 C1N⊥x 轴，垂足为 N，
在 Rt△AC1P1 中，
∵ ∠C1AP1=45∘，AP1=2，
∴ AC1=P1C1=2．
∴AN=NC1=1．
∴ 点 C1 的坐标为 −3,1．
∴S△AC1D=S△ADP1−S△AC1P1−S△C1DP1=12×2×4−12×2×1−12×4×1=4−1−2=1.
②当点 P 在 OA 延长线上时，同理可得点 C2 的坐标为 −5,−1，S△AC2D=1，
设点 Ea,b，当 S△APE=S△ACD 时，有 12×2×∣b∣=1，即 −12a2−3a=1．
∴ −12a2−3a=1 或 −12a2−3a=−1．
∴ a1=−3+7，a2=−3−7，a3=−3+11，a4=−3−11．
∴ 存在点 E，使 S△APE=S△ACD，点 E 的坐标为：−3+7,1 或 −3−7,−1 或 −3+11,−1 或 −3−11,−1．