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    苏科版数学九年级上册月考模拟试卷三(含答案)

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    这是一份苏科版数学九年级上册月考模拟试卷三(含答案),共28页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    苏科版数学九年级上册月考模拟试卷
    一、选择题
    1.方程(x﹣1)2=4的根是(  )
    A.3,﹣3 B.3,﹣2 C.2,﹣3 D.3,﹣1
    2.函数y=﹣21(x﹣2)2+5的顶点坐标为(  )
    A.(2,5) B.(﹣2,5) C.(2,﹣5) D.(﹣2,5)
    3.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,则下列各式中,正确的是(  )
    A.sinB= B.cosB= C.tanB= D.以上都不对
    4.在平面直角坐标系中,⊙O的圆心在原点,半径为2,则下面各点在⊙O上的是(  )
    A.(1,1) B.(﹣1,) C.(﹣2,﹣1) D.(,﹣2)
    5.已知三角形的外心在三角形的外部,则这个三角形是(  )
    A.任意三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
    6.下列命题中:
    ①两个端点能够重合的弧是等弧;
    ②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分;
    ③长度相等的弧是等弧;
    ④半径相等的两个圆是等圆;
    ⑤直径是最大的弦;
    ⑥半圆所对的弦是直径.
    其中是真命题的有(  )
    A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
    7.如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是(  )

    A. B. C. D.
    8.如图,AB是⊙O的切线,B为切点,AO与⊙O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为(  )

    A.40° B.50° C.65° D.75°
    9.如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是(  )

    A.90° B.60° C.45° D.30°
    10.如图,已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是(  )

    A.8 B.12 C. D.
    二、填空题
    11.若∠A为锐角,当tanA=时,cosA=  .
    12.反比例函数y=的图象经过点(cos60°,tan45°),则k=  .
    13.二次函数y=3x2+4x与一次函数y=x+b只有唯一公共点,则b=  .
    14.形状与y=﹣x2+3的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(4,5)的抛物线的解析式  .
    15.如图所示,若⊙O 的半径为13cm,点P是弦AB上一动点,且到圆心的最短距离为5cm,则弦AB的长为  .

    16.如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为  cm.

    17.如图所示,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上,则∠AED的正切值等于  .

    18.如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,若∠P=70°,则∠C的大小为  (度).

    19.如图,AB是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点C,连接BC,∠P=40°,则∠ABC的度数为  .

    20.如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别切于L、M、N、P,且AB=10cm,CD=5cm,则四边形ABCD周长为  cm.

    21.⊙O为△ABC的外接圆,∠BOC=100°,则∠A=  .
    22.一个直角三角形的两边长分别为3,4,则此三角形的外接圆半径是  .
    三、解答题
    23.用适当的方法解方程:
    (1)(x+)(x﹣)=0; (2)(2x+1)(x﹣4)=5.



    24.已知一抛物线与x轴的交点是A(﹣2,0)、B(1,0),且经过点C(0,﹣4).
    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)求该抛物线的顶点坐标.




    25.已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0.
    (1)若﹣1是方程的一个根,求m的值和方程的另一根;
    (2)证明:对于任意实数m,函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点.





    26.如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O,交⊙O于点C.∠DAB=∠B=30°.
    (1)直线BD是否与⊙O相切?为什么?
    (2)连接CD,若CD=5,求AB的长.





    27.如图,在小山的东侧A点处有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分钟后到达C点处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,求小山东西两侧A、B两点间的距离.













    28.如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒.
    (1)填空:点A坐标为  ,抛物线的解析式为  ;
    (2)在图1中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.连接PQ,是否存在实数t,使得PQ所在的直线经过点D,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
    (3)在图2中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P作PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?

     











    参考答案
    一、选择题(每小题3分,共30分)
    1.方程(x﹣1)2=4的根是(  )
    A.3,﹣3 B.3,﹣2 C.2,﹣3 D.3,﹣1
    【考点】解一元二次方程-直接开平方法.
    【分析】利用直接开平方法解答即可.
    【解答】解:∵x﹣1=±2,∴x=1±2,
    ∴x1=3,x2=﹣1.
    故选:D.
     
    2.函数y=﹣21(x﹣2)2+5的顶点坐标为(  )
    A.(2,5) B.(﹣2,5) C.(2,﹣5) D.(﹣2,5)
    【考点】二次函数的性质.
    【分析】根据二次函数的顶点式直接求解.
    【解答】解:因为y=﹣21(x﹣2)2+5是抛物线的顶点式,
    根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,5);
    故选A.
     
    3.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,则下列各式中,正确的是(  )
    A.sinB= B.cosB= C.tanB= D.以上都不对
    【考点】锐角三角函数的定义.
    【分析】根据勾股定理求出AB,根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值,即可得出答案.
    【解答】解:如图:
    由勾股定理得:AB=,
    所以cosB=,sinB=,tanB=,所以只有选项C正确;
    故选C
     
    4.在平面直角坐标系中,⊙O的圆心在原点,半径为2,则下面各点在⊙O上的是(  )
    A.(1,1) B.(﹣1,) C.(﹣2,﹣1) D.(,﹣2)
    【考点】点与圆的位置关系;坐标与图形性质.
    【分析】根据点的坐标性质结合勾股定理得出斜边长,进而得出点与⊙O关系.
    【解答】解:如图所示:

    A、(1,1)点构成直角三角形的斜边为,小于2,故不在⊙O上,故此选项错误;
    B、(﹣1,)点构成直角三角形的斜边为2,等于2,故在⊙O上,故此选项正确;
    C、(﹣2,﹣1)点构成直角三角形的斜边为,大于2,故不在⊙O上,故此选项错误;
    D、(,﹣2)点构成直角三角形的斜边为,大于2,故不在⊙O上,故此选项错误;
    故选:B.
     
    5.已知三角形的外心在三角形的外部,则这个三角形是(  )
    A.任意三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
    【考点】三角形的外接圆与外心.
    【分析】三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点.
    【解答】解:根据三角形的外心的概念,知:
    锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心在三角形的斜边中点处,钝角三角形的外心在三角形的外部.
    故选D.
     
    6.下列命题中:
    ①两个端点能够重合的弧是等弧;
    ②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分;
    ③长度相等的弧是等弧;
    ④半径相等的两个圆是等圆;
    ⑤直径是最大的弦;
    ⑥半圆所对的弦是直径.
    其中是真命题的有(  )
    A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
    【考点】命题与定理.
    【分析】根据等弧的定义对①③进行判断;根据优弧和劣弧的定义对②进行判断;③长度相等的弧是等弧;根据等圆的定义对④进行判断;根据弦与直径的定义对⑤进行判断;根据圆周角定理的推论对⑥进行判断.
    【解答】解:能够完全重合的弧是等弧,所以①错误;
    圆的任意一条弦(非直径)把圆分成优弧和劣弧两部分,所以②错误;
    能够完全重合的弧是等弧,所以③错误;
    半径相等的两个圆是等圆,所以④正确;
    直径是最大的弦,所以⑤正确;
    半圆所对的弦是直径,所以⑥正确.
    故选A.
     
    7.如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是(  )

    A. B. C. D.
    【考点】垂径定理;勾股定理.
    【分析】根据垂径定理可得AC=BC=AB,在Rt△OBC中可求出OB.
    【解答】解:∵OC⊥弦AB于点C,
    ∴AC=BC=AB,
    在Rt△OBC中,OB==.
    故选B.
     
    8.如图,AB是⊙O的切线,B为切点,AO与⊙O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为(  )

    A.40° B.50° C.65° D.75°
    【考点】切线的性质.
    【分析】根据切线的性质可判断∠OBA=90°,再由∠BAO=40°可得出∠O=50°,在等腰△OBC中求出∠OCB即可.
    【解答】解:∵AB是⊙O的切线,B为切点,
    ∴OB⊥AB,即∠OBA=90°,
    ∵∠BAO=40°,
    ∴∠O=50°,
    ∵OB=OC(都是半径),
    ∴∠OCB==65°.
    故选C.
     
    9.如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是(  )

    A.90° B.60° C.45° D.30°
    【考点】切线的性质;含30度角的直角三角形.
    【分析】当AP与⊙O相切时,∠OAP有最大值,连结OP,根据切线的性质得OP⊥AP,由OB=AB得OA=2OP,然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到此时∠OAP的度数.
    【解答】解:当AP与⊙O相切时,∠OAP有最大值,连结OP,如图,
    则OP⊥AP,
    ∵OB=AB,
    ∴OA=2OP,
    ∴∠PAO=30°.
    故选D.

     
    10.如图,已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是(  )

    A.8 B.12 C. D.
    【考点】圆的综合题.
    【分析】求出A、B的坐标,根据勾股定理求出AB,求出点C到AB的距离,即可求出圆C上点到AB的最大距离,根据面积公式求出即可.
    【解答】解:∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点,
    ∴A点的坐标为(4,0),B点的坐标为(0,﹣3),3x﹣4y﹣12=0,
    即OA=4,OB=3,由勾股定理得:AB=5,
    过C作CM⊥AB于M,连接AC,
    则由三角形面积公式得:×AB×CM=×OA×OC+×OA×OB,
    ∴5×CM=4×1+3×4,
    ∴CM=,
    ∴圆C上点到直线y=x﹣3的最大距离是1+=,
    ∴△PAB面积的最大值是×5×=,
    故选:C.
     
    二、填空题(每小题3分,共36分)
    11.若∠A为锐角,当tanA=时,cosA=  .
    【考点】特殊角的三角函数值.
    【分析】根据特殊角的三角函数值,即可求得∠A的度数,继而可得出cosA.
    【解答】解:∵∠A为锐角,tanA=,
    ∴∠A=30°,
    则cosA=cos30°=.
    故答案为:.
     
    12.反比例函数y=的图象经过点(cos60°,tan45°),则k=  .
    【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;特殊角的三角函数值.
    【分析】先求得该点的坐标,然后代入反比例函数解析式即可求得k的值.
    【解答】解:∵tan45°=1,cos60°=,
    ∴k=tan45°×cos60°=.
    故答案为.
     
    13.二次函数y=3x2+4x与一次函数y=x+b只有唯一公共点,则b= ﹣ .
    【考点】二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征.
    【分析】根据抛物线与直线的交点问题得到△=32﹣4×3(﹣b)=0,然后解不等式即可.
    【解答】解:由题意得:,
    整理得:3x2+3x﹣b=0,
    ∵二次函数y=3x2+4x与一次函数y=x+b只有唯一公共点,
    ∴△=32﹣4×3(﹣b)=0,
    解得:b=﹣.
    故答案为﹣.
     
    14.形状与y=﹣x2+3的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(4,5)的抛物线的解析式 y=(x﹣4)2+5 .
    【考点】二次函数的性质.
    【分析】由于已知顶点坐标,则可设顶点式y=a(x﹣4)2+5,然后根据二次项系数的意义得到a=,从而确定所求抛物线的解析式.
    【解答】解:设所求的抛物线解析式为y=a(x﹣4)2+5,
    因为抛物线y=a(x﹣4)2+5与抛物线y=﹣x2+3形状相同,但开口方向不同,
    所以a=,
    所以该抛物线的解析式为y=(x﹣4)2+5.
    故答案为y=(x﹣4)2+5.
     
    15.如图所示,若⊙O 的半径为13cm,点P是弦AB上一动点,且到圆心的最短距离为5cm,则弦AB的长为 24cm .

    【考点】垂径定理;勾股定理.
    【分析】过O点作OC⊥AB于C,连OA,根据垂线段最短得到OC=5cm,根据垂径定理得到AC=BC,再利用勾股定理计算出AC,即可得到AB.
    【解答】解:过O点作OC⊥AB于C,连OA,如图,
    ∴OC=5cm,AC=BC,
    在Rt△OAC中,OA=13cm,
    ∴AC===12(cm),
    ∴AB=2AC=24cm.
    故答案为:24cm.

     
    16.如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 2 cm.

    【考点】垂径定理;勾股定理.
    【分析】通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD的长求出,通过垂径定理可求出AB的长.
    【解答】解:过点O作OD⊥AB交AB于点D,连接OA,
    ∵OA=2OD=2cm,
    ∴AD===cm,
    ∵OD⊥AB,
    ∴AB=2AD=cm.
    故答案为:2.

     
    17.如图所示,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上,则∠AED的正切值等于  .

    【考点】圆周角定理;锐角三角函数的定义.
    【分析】在Rt△ABC中,易知∠ABC的正切值为;根据圆周角定理可得,∠AED=∠ABC,由此可求出∠AED的正切值.
    【解答】解:在Rt△ABC中,AC=1,AB=2;
    ∴tan∠ABC==;
    ∵∠AED=∠ABC,
    ∴tan∠AED=tan∠ABC=.
    故答案为:.
     
    18.如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,若∠P=70°,则∠C的大小为 55 (度).

    【考点】切线的性质.
    【分析】首先连接OA,OB,由PA、PB分别切⊙O于点A、B,根据切线的性质可得:OA⊥PA,OB⊥PB,然后由四边形的内角和等于360°,求得∠AOB的度数,又由圆周角定理,即可求得答案.
    【解答】解:连接OA,OB,
    ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B,
    ∴OA⊥PA,OB⊥PB,
    即∠PAO=∠PBO=90°,
    ∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°,
    ∴∠C=∠AOB=55°.
    故答案为:55.

     
    19.如图,AB是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点C,连接BC,∠P=40°,则∠ABC的度数为 25° .

    【考点】切线的性质.
    【分析】先利用切线的性质得到∠OAP=90°,则利用互余和计算出∠AOP=50°,再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠B的度数.
    【解答】解:∵直线PA与⊙O相切于点A,
    ∴OA⊥PA,
    ∴∠OAP=90°,
    ∴∠AOPP=90°﹣∠P=50°,
    ∵∠AOP=∠B+∠OCB,
    而OB=OC,
    ∴∠B=∠AOP=25°.
    故答案为25°.
     
    20.如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别切于L、M、N、P,且AB=10cm,CD=5cm,则四边形ABCD周长为 30 cm.

    【考点】切线长定理.
    【分析】理由切线长定理,首先证明AB+CD=AD+BC,由此即可解决问题.
    【解答】解:∵四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别切于L、M、N、P,
    ∴AP=AL,BM=BL,CM=CN,DN=DP,
    ∴AL+BL+DN+CN=AP+BM+DP+CM,
    即AB+CD=AD+BC,
    ∵AB=10cm,CD=5cm,
    ∴AB+CD=AD+BC=15cm,
    ∴四边形ABCD的周长为30cm.
    故答案为30.
     
    21.⊙O为△ABC的外接圆,∠BOC=100°,则∠A= 50°或130° .
    【考点】三角形的外接圆与外心;圆周角定理;圆内接四边形的性质.
    【分析】分为两种情况:当O在△ABC内部时,根据圆周角定理求出∠A=50°;当O在△ABC外部时,根据圆内接四边形性质求出∠A′=180°﹣∠A即可.
    【解答】解:分为两种情况:当O在△ABC内部时,
    根据圆周角定理得:∠A=∠BOC=×100°=50°;
    当O在△ABC外部时,如图在A′时,
    ∵A、B、A′、C四点共圆,
    ∴∠A+∠A′=180°,
    ∴∠A′=180°﹣50°=130°,
    故答案为:50°或130°.

     
    22.一个直角三角形的两边长分别为3,4,则此三角形的外接圆半径是 2或 .
    【考点】三角形的外接圆与外心.
    【分析】直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点,那么半径为斜边的一半,分两种情况:①4为斜边长;②3和4为两条直角边长,由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长,进而可求得外接圆的半径.
    【解答】解:由勾股定理可知:
    ①当直角三角形的斜边长为4,这个三角形的外接圆半径为2;
    ②当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长==5,
    因此这个三角形的外接圆半径为.
    故答案为:2或.
     
    三、解答题(共64分)
    23.用适当的方法解方程:
    (1)(x+)(x﹣)=0;
    (2)(2x+1)(x﹣4)=5.
    【考点】解一元二次方程-因式分解法.
    【分析】(1)将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式化为积的形式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解即可得到原方程的解;
    (2)将方程移项变形后,提取公因式化为积的形式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解即可得到原方程的解.
    【解答】解:(1)(x+)(x﹣)=0,
    x+=0,x﹣=0,
    解得:x1=﹣,x2=;
    (2)(2x+1)(x﹣4)=5,
    2x2﹣7x﹣4=5,
    2x2﹣7x﹣9=0,
    (2x﹣9)(x+1)=0,
    2x﹣9=0,x+1=0,
    解得:x1=4.5,x2=﹣1.
     
    24.已知一抛物线与x轴的交点是A(﹣2,0)、B(1,0),且经过点C(0,﹣4).
    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)求该抛物线的顶点坐标.
    【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求二次函数解析式.
    【分析】(1)设交点式,利用待定系数法求二次函数的解析式;
    (2)化成一般式后,配方求顶点坐标.
    【解答】解:(1)∵A(﹣2,0)、B(1,0),
    ∴设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x﹣1),
    把C(0,﹣4)代入得:﹣4=a(0+2)(0﹣1),
    a=2,
    ∴抛物线的解析式为:y=2(x+2)(x﹣1)=2x2+2x﹣4;
    (2)y=2x2+2x﹣4=2(x2+x+﹣)﹣4=2(x+)2﹣4.5;
    ∴顶点坐标为(﹣,﹣4.5).
     
    25.已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0.
    (1)若﹣1是方程的一个根,求m的值和方程的另一根;
    (2)证明:对于任意实数m,函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点.
    【考点】抛物线与x轴的交点;根与系数的关系.
    【分析】(1)由于﹣1是方程的一个根,直接把它代入方程即可求出m的值,然后解方程可以求出方程的另一根;
    (2)证明对于任意实数m,函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点,就是证明函数的判别式是一个正数即可.
    【解答】解:(1)∵﹣1是方程的一个根,
    ∴m=1,
    将m=1代入方程得x2﹣x﹣2=0,
    解之得x1=﹣1,x2=2.
    ∴方程的另一个根是2;

    (2)∵△=m2﹣4×1×(﹣2)=m2+8,
    ∵无论m取任意实数,都有m2≥0,
    ∴m2+8>0,
    ∴函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点.
     
    26.如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O,交⊙O于点C.∠DAB=∠B=30°.
    (1)直线BD是否与⊙O相切?为什么?
    (2)连接CD,若CD=5,求AB的长.

    【考点】切线的判定;含30度角的直角三角形;圆周角定理.
    【分析】(1)连接OD,通过计算得到∠ODB=90°,证明BD与⊙O相切.
    (2)△OCD是边长为5的等边三角形,得到圆的半径的长,然后求出AB的长.
    【解答】解:(1)直线BD与⊙O相切.理由如下:
    如图,连接OD,
    ∵∠DAB=∠B=30°,∴∠ADB=120°,
    ∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=30°,
    ∴∠ODB=∠ADB﹣∠ODA=120°﹣30°=90°.
    所以直线BD与⊙O相切.

    (2)连接CD,
    ∠COD=∠OAD+∠ODA=30°+30°=60°,
    又OC=OD
    ∴△OCD是等边三角形,
    即:OC=OD=CD=5=OA,
    ∵∠ODB=90°,∠B=30°,
    ∴OB=10,
    ∴AB=AO+OB=5+10=15.

     
    27.如图,在小山的东侧A点处有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分钟后到达C点处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,求小山东西两侧A、B两点间的距离.

    【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
    【分析】过点A作AD⊥BC,垂足为D,在直角△ACD中利用三角函数求得AD的长,然后在直角△ABD中利用三角函数求得AB的长.
    【解答】解:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,
    ∵在Rt△ACD中,∠ACD=75°﹣30°=45°,
    AC=30×25=750(米),
    ∴AD=AC•sin45°=375(米).
    在Rt△ABD中,
    ∵∠B=30°,
    ∴AB=2AD=750(米).
    所以小山东西两侧A、B两点间的距离为750米.

     
    28.如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒.
    (1)填空:点A坐标为 (1,4) ,抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3 ;
    (2)在图1中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.连接PQ,是否存在实数t,使得PQ所在的直线经过点D,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;

    (3)在图2中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P作PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?

    【考点】二次函数综合题.
    【分析】(1)由矩形的性质可直接求得A点坐标,可设顶点式方程,把C点坐标代入可求得抛物线的解析式;
    (2)根据题意表示出P,Q点坐标,再利用待定系数法求出PQ所在直线解析式,进而将D点代入求出答案;
    (3)先求得直线AC的解析式,可分别用t表示出P点和Q点的坐标,从而可求得FQ的长,可用t表示出△ACQ的面积,再根据二次函数的性质可求得其最大值.
    【解答】解:(1)∵抛物线对称轴为x=1,
    ∴OB=1,
    ∵E点坐标为(0,4),
    ∴AB=OE=4,
    ∴A点坐标为(1,4),
    可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4,
    把(3,0)代入可解得a=﹣1,
    ∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3,
    故答案为:(1,4);y=﹣x2+2x+3;

    (2)如图1,过点Q作QF⊥OC于点F,
    可得:QF∥EO,
    则△QFC∽△EOC,
    故==,
    ∵CO=3,EO=4,QC=2t,
    ∴解得:QF=t,FC=t,
    则Q(3﹣t, t),
    P(t,0),设直线PQ的解析式为:y=dx+e,
    则,
    解得:,
    故直线PQ的解析式为:y=x+,
    当PQ所在的直线经过点D,
    则4=×3+,
    整理得:2t2﹣17t+15=0,
    解得:t1=7.5(不合题意舍去),t2=1,
    故PQ所在的直线经过点D,t的值为1;

    (3)设直线AC的解析式为y=kx+b,
    把A、C两点坐标代入可得,
    解得:,
    ∴直线AC的解析式为y=﹣2x+6.
    ∵P(1,4﹣t),
    ∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得x=1+,
    ∴Q点的横坐标为1+.
    将x=1+代入y=﹣(x﹣1)2+4中,得y=4﹣,
    ∴Q点的纵坐标为4﹣.
    ∴QF=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣.
    ∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ
    =FQ•AG+FQ•DG
    =FQ(AG+DG)
    =FQ•AD
    =×2(t﹣)
    =﹣(t﹣2)2+1.
    ∴当t=2时,△ACQ的面积最大,最大值是1.

     

    2017年2月27日
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