2018年广东省深圳市高考一模文科数学试卷（含答案）

2018年广东省深圳市高考一模文科数学试卷

1. 已知集合 ，，则  

 A．  B．  C．  D．

2. 已知 ， 为虚数单位，若复数 纯虚数，则  

 A．  B．  C．  D．

3. 其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）．由最小二乘法得到回归方程 ，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为

 A．  B．  C．  D．

4. 设有下面四个命题：

 ，；

 ，“”是“”的充分不必要条件；

  命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”；

  若”“是真命题，则 一定是真命题．

其中为真命题的是

 A． ，  B． ，  C． ，  D． ，

5. 已知焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为 ，且其焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的标准方程为

 A．  B．  C．  D．

6. 两名同学分 本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得 本书的概率为

 A．  B．  C．  D．

7. 中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高 尺，竹子高 尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 ，，输出的 为 则程序框图中的 中应填

 A．  B．  C．  D．

8. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为

 A．  B．  C．  D．

9. 函数 的部分图象如图所示，为得到函数 ，只需将函数 的图象

 A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位

 C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位

10. 设等差数列 满足：，，公差 ，则数列 的前 项和 的最大值为

 A．  B．  C．  D．

11. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且在区间 上有 恒成立，若 ，令 ，， 则

 A．  B．  C．  D．

12. 已知 为抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线于 ， 两点（点 在第一象限），若 ，则以 为直径的圆的标准方程为

 A．  B．

 C．  D．

13. 已知向量 ，．若向量 平行，则     ．

14. 若实数 ， 满足约束条件 则 的最小值为    ．

15. 曲线 的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为    ．

16. 如图，在 中，，， 是 内一动点，，则 的最小值为    ．

17. 设数列 的前 项和为 ，，，．

(1)  求数列 的通项公式；

(2)  设 ，求数列 的前 项和 ．

18. 如图，在三棱柱 中，底面 为等边三角形，，且 ．

(1)  证明：；

(2)  若 ，求三棱柱 的体积．

19. 某重点中学将全部高一新生分成A，B两个成绩相当（成绩的均值、方差都相同）的级部，A级部采用传统形式的教学方式，B级部采用新型的基于信息化的自主学习教学方式．期末考试后分别从两个级部中各随机抽取 名学生的数学成绩进行统计，得到如下数据：若记成绩不低于 分者为“优秀”．

(1)  根据上表数据分别估计A，B两个级部“优秀”的概率；

(2)  填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有 的把握认为“优秀“与教学方式有关？

(3)  根据上表数据完成下面的频率分布直方图，并根据频率分布直方图，分别求出A，B两个级部的中位数的估计值（精确到 ）；请根据以上计算结果初步分析A，B两个级部的数学成绩的优劣．

20. 已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆有且只有一个交点 ．

(1)  求椭圆 的方程和点 的坐标．

(2)    为坐标原点，与 平行的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，，求 的面积最大时直线 的方程．

21. 已知函数 ．

(1)  讨论函数 的单调性；

(2)  当 时，关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．

22. 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的方程为 ．

(1)  求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程．

(2)  已知点 ，设直线 与曲线 的两个交点为 ，，若 ．求 的值．

23. 已知 ， 且 ．

(1)  若是 恒成立，求 的取值范围；

(2)  证明：．

答案

1.  【答案】C

【解析】 ，；

所以 ．

【知识点】交、并、补集运算

2.  【答案】B

【解析】因为 是纯虚数，

所以

即 ．

【知识点】复数的乘除运算

3.  【答案】A

【解析】由表中数据：，

回归方程 ，

所以 ，

所以 ，

解得：．

【知识点】线性回归方程

4.  【答案】D

【解析】对于 ，；当 时成立，所以是真命题；

对于 ，“”是“”的必要不充分条件；所以命题是假命题；

对于 命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”；满足逆否命题的形式，所以是真命题；

对于 若“”是真命题，则 是真命题或 是真命题，但是 不一定是真命题．所以是假命题；

综上：真命题的是 ，．

【知识点】命题的概念与真假判断

5.  【答案】D

【解析】由题意可设此双曲线的标准方程为： ( ， )．双曲线的一条渐近线的倾斜角为 ，取焦点 ，

因为焦点到渐近线的距离为 ，

所以 解得 ，，

因此该双曲线的方程为：．

【知识点】双曲线的简单几何性质

6.  【答案】B

【知识点】古典概型

7.  【答案】C

【解析】模拟程序的运行，可得

 ，，，，，

不满足条件，执行循环体，，，，此时，，

不满足条件，执行循环体，，，，此时，，

不满足条件，执行循环体，，，，此时，，

由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出 的值为 ．

可得程序框图中的 中应填 ．

【知识点】程序框图

8.  【答案】D

【解析】如图，由三视图知该几何体是三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为 ，侧面是等腰三角形与底面的三角形的斜边垂直，底面边长为 ，高为 ，如图：所以三棱锥的外接球的圆心在侧面等腰三角形的高线上，

球心为 ，设球的半径为 ，则：，解得 ，则该几何体的外接球表面积为：．

【知识点】三视图、球的表面积与体积

9.  【答案】A

【解析】由函数 的图象可得 ，，

解得 ．

再由五点法作图可得 ，

解得 ，

故函数

故 的图象向左平移 个长度单位可得 的图象．

【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质

10.  【答案】C

【解析】因为 ，

所以 ，化为：．

因为

所以 ，

所以 ，，

因为公差 ，

所以 ，，

由 ，得 ，

所以 或 最大，最大值为 ．

故选：C．

【知识点】等差数列的前n项和、数列的有界性

11.  【答案】C

【解析】根据题意，函数 是定义在 上的奇函数，即 ，则 中，，则函数 为偶函数，

又由 ，其导数 ，

则函数 在区间 上为增函数；

 ，

 ，，

又由 ，

则有 ．

【知识点】利用导数研究函数的单调性

12.  【答案】A

【解析】做出抛物线的准线 ：，设 ， 在 上的投影分别是 ，，连接 ，，过 作 于 ．

因为 ，所以设 ，，由点 ， 分别在抛物线上，结合抛物线的定义得 ，．

因此 中，，得

所以，直线 的倾斜角 ，

得直线 的斜率 ，

所以直线 的方程：，

代入抛物线方程得 ．

所以 ，．

 ，

则以 为直径的圆的标准方程为 ．

【知识点】抛物线的简单几何性质

13.  【答案】

【解析】向量 ，．

若向量 与 平行，

可得：，

解得：．

故答案为：．

【知识点】平面向量数乘的坐标运算

14.  【答案】

【解析】由实数 ， 满足约束条件 作出可行域，

联立

解得 ，

化 为 ，

由图可知，当直线 过 时，直线在 轴上的截距最大， 有最小值为 ．

【知识点】线性规划

15.  【答案】

【解析】设切点为 ，可得 ，

  的导数为 ，

可得切线的斜率为 ，

又 ，

解得 ，，

则 ，

可得切线的方程为 ．

【知识点】利用导数求函数的切线方程

16.  【答案】

【解析】设 ，

则：，

 ，

所以：．

在 中，由正弦定理得：，

所以：．

则：在 中，，

即：

且 ，

由于：，

则：，

由 的最小值 ，

解得：．

【知识点】余弦定理、正弦定理

17.  【答案】

(1)   ，，，

当 时，，即 ，

当 时，，，

由 可得 ，

即 ，

所以 ，，

当 时，，

所以 ，．

(2)  由（Ⅰ）得 ，

所以 ，

所以 ．

【知识点】裂项相消法、根据n项和式和n项积式求通项

18.  【答案】

(1)  在平面 内过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，

由 ，得 ，

故 ，，

又 ，，

所以 ，得 ，

又 ，

所以 ，

又 ，

所以 ，则 ，

又 ，

所以 ；

(2)  由（）可知，，

所以平面 为三棱柱的直截面，

又由 ，得 ，，

又 ，

所以 ，

所以 ．

【知识点】棱柱的表面积与体积、直线与平面垂直关系的性质

19.  【答案】

(1)  A级部“优秀”的概率估计值为 ，

B级部“优秀”的概率估计值为 ．

(2)  填写 列联表如下，由列联表可知， 的观测值 ；

所以有 的把握认为“优秀”与教学方式有关．

(3)  根据上表数据完成频率分布直方图，如图所示；

设A级部的数学成绩中位数是 ，则 ，解得 分；

设B级部的数学成绩中位数是 ，则 ，解得 分；

根据以上计算结果知，

①B级部数学成绩的“优秀”率大于A级部数学成绩的“优秀”率；

②根据独立性检验的结果有 的把握认为“优秀”与教学方式有关；

③从A，B两个级部的数学成绩的中位数的估计值看，

B级部的数据大于A级部的数据，故初步分析B级部的数学成绩优于A级部的数学成绩．

【知识点】独立性检验、频率分布直方图

20.  【答案】

(1)  由椭圆的离心率 ，

则 ，

则 消去 ，整理得：

由 ，

解得：，，

所以椭圆的标准方程为：，

所以 ，

则 ．

(2)  设直线 方程为 ，

设 ，，

联立 消去 ，整理得：，

由 ，，

 ，

解得：，

 ，

设原点到直线 的距离为 ，，

所以 的面积 ，

所以当 时，即 时， 的面积最大，

所以直线 的方程为 或 ．

【知识点】椭圆中的弦长与面积

21.  【答案】

(1)    的定义域是 ，

 ，

由 ，，解得：，，

 ①当 时，，

在 时，，

在 时，，

故 在 递减， 在 递增；

 ②当 时，，

在 时，，

在 时，，

在 时，，

故 在 ， 递增，

  在 递减；

 ③当 时， 在 上恒成立，

故 在 递增；

 ④当 时，，在 时，，

在 时，，在 时，，

故 在 ， 递增，

  在 递减；

(2)  当 时，，，

即 ，

设 ，，

只需 ，在 上恒成立即可，

因为 ，，

又 ，故 ，

令 ，得 ，

当 时， 在 上 ，

故 递增，故 恒成立，

当 时，，即 ，

故 ，

故 时，，

  时，，

此时函数 在 递减，

又 ，故在 上，，与题设矛盾，

当 时，，此时函数 在 递减，

又 ，故 上，，与题设矛盾，

综上，．

【知识点】利用导数研究函数的单调性

22.  【答案】

(1)  直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．

转化为直角坐标方程为：．

曲线 的方程为 ．

转化为直角坐标方程为：．

(2)  设 ， 的两个参数为 和 ，

则： 整理得：，

所以：

由 ，

解得：．

由 ．则： 或 ，

当 时，

解得：．

当 时，

解得：．

故： 或 ．

【知识点】极坐标与极坐标方程、参数方程

23.  【答案】

(1)  因为 ，且 ，

所以

则 ，

当 时，不等式化为 ，解得 ，

当 时，不等式化为 ，解得 ，

当 时，不等式化为 ，解得 ，

综上所述 的取值范围为 ．

(2)   

当且仅当 时，取得等号．

另解：由柯西不等式可得：

当且仅当 时，取得等号．

【知识点】均值不等式的应用、绝对值不等式的求解