专题12 利用倒序相加法求数列和(原卷版)

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专题12 利用倒序相加法求数列和【知识总结】1．倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。(2)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解。例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050。【例题讲解】【例1】正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜. 【变式训练】在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．(1)求证：数列是等差数列，并求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.【例题训练】一、单选题1．已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（    ）A． B． C． D．2．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（    ）A． B． C． D．3．已知，（），则（    ）A． B． C． D．4．设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（    ）．A．11 B．10 C．9 D．85．已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（    ）A． B．33 C． D．346．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（    ）A．100 B．105 C．110 D．1157．已知函数，设（），则数列的前2019项和的值为（    ）A． B． C． D．8．已知若等比数列满足则（    ）A． B．1010 C．2019 D．20209．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（    ）A． B． C． D．10．设等差数列的前项和是，已知，则（    ）A． B． C． D．11．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为A． B． C． D．12．已知函数，则的值为（ ）A．4033 B．-4033C．8066 D．-806613．已知为R上的奇函数，，则数列的通项公式为A． B． C． D．二、填空题14．设数列的通项公式为该数列的前n项和为，则_________.15．已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．16．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则_______.17．已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________.18．设函数，数列满足，则______.19．若()，则数列的通项公式是___________.20．对任意都有.数列满足：，则__________.21．函数，数列满足，其前项和为，则_____.22．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得__________.23．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．24．已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前7项和为__________.25．给出定义 ：对于三次函数设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数.设.若则__________．三、解答题26．已知数列的前n项和为．（Ⅰ）若为等差数列，求证：；（Ⅱ）若，求证：为等差数列．27．已知函数，设数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.28．已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.（1）求证：点P的纵坐标是定值；（2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.29．已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.（1）求证：点P的纵坐标是定值； （2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.30．已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.