专题08 利用公式法求等差等比数列和(原卷版)

专题08 利用公式法求等差等比数列和

【知识总结】

1．公式法与分组求和法

(1)公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。

①等差数列的前n项和公式：

Sn＝＝na1＋d。

②等比数列的前n项和公式：

Sn＝

(2)分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。

【例题讲解】

【例1】　在公差不为零的等差数列{an}中，a2＝4，且a1，a3，a9成等比数列。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Tn。

【变式训练】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是(　　)

A．13 B．76

C．46 D．－76

(2)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)

A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1

C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2

【例题训练】

一、单选题

1．已知等差数列，其前项的和为，，则（    ）

A．24 B．36 C．48 D．64

2．已知等比数列的前项和为，若，且数列也为等比数列，则的表达式为（    ）

A． B． C． D．

3．已知数列的前n项和，则（    ）

A．350 B．351 C．674 D．675

4．等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（    ）

A． B． C． D．

5．等差数列中，，则此数列的前项和等于（    ）

A．160 B．180 C．200 D．220

6．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（    ）

A．80里 B．86里 C．90里 D．96里

8．设等差数列的前项和为，且，则（    ）

A．45 B．50 C．60 D．80

9．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

10．等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ）

A．72 B．90 C．36 D．45

11．已知数列的前项和为，且满足，，则（    ）

A．7 B．12 C．14 D．21

12．等差数列中，，公差，则=（     ）

A．200 B．100 C．90 D．80

13．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则Sn取最大值时n的值为（    ）

A．4 B．5 C．4或5 D．5或6

14．设数列是等差数列，若，（    ）

A． B． C． D．

15．记为正项等比数列的前项和，若，则（    ）.

A． B． C． D．

16．已知数列是1为首项、2为公差的等差数列，是1为首项、2为公比的等比数列.设， ，则当Tn>2013时，n的最小值是（    ）

A．7 B．9 C．10 D．11

17．某大学毕业生为自主创业于2019年8月初向银行贷款240000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2019年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于2024年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（    ）

(注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；1年按12个月计算)

A．18000元 B．18300元

C．28300元 D．36300元

18．已知数列的前项和为，，，，则（    ）

A．62 B．63 C．64 D．65

19．等比数列中，，.则的前9项之和为（    ）

A．18 B．42 C．45 D．18或42

20．已知函数各项均不相等的数列满足.令.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列使得；（2）若数列的通项公式为，则对恒成立；（3）若数列是等差数列，则对恒成立，其中真命题的序号是（    ）

A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）

二、多选题

21．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A．必是递减数列 B． C．公比或 D．或

22．记为等差数列的前n项和.已知，则（    ）

A． B． C． D．

23．已知数列均为递增数列，的前n项和为的前n项和为且满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

24．等差数列中，为的前项和，若，则_________.

25．二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它是现代信息技术中广泛应用的一种数制，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，它与十进制数可以互相转化，如二进制数1011（记为）表示的十进制数为，即，设各项均为十进制数的数列的通项公式为，则______.

26．设数列的前项和为，且，则数列的前20项和为_________.

27．在数列中，若，记是数列的前项和，则__________.

28．位于宁夏青铜峡市的108塔建于西夏时期，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，则该塔共有__________层.

29．已知数列是等差数列，是其前n项和．若，，则的最小值是_______．

30．已知数列满足，定义使为整数的叫做“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为_____

四、解答题

31．数列中，，，数列是公比为的等比数列.

（1）求使成立的的取值范围；

（2）若，求的表达式；

（3）若，求.

32．设数列的前项和为，且.

（1）证明：是等比数列；

（2）令，证明：.

33．已知数列的前n项和为且满足．

（1）求的通项公式；

（2）记，求证：．

34．设数列的前项和为，对任意的满足且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

35．已知正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.