第五章 第四节 平面向量的综合问题原卷版-备战2022年新高考数学一轮复习考点讲解+习题练习

这是一份第五章 第四节 平面向量的综合问题原卷版-备战2022年新高考数学一轮复习考点讲解+习题练习，共7页。试卷主要包含了 极化恒等式等内容，欢迎下载使用。
考点一.与三角函数的综合问题
例1.已知向量a＝(cs x，sin x)，b＝(3，－eq \r(3))，x∈[0，π]．
(1)若a∥ b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
变式1. 已知的面积为，且.
（1）求；
（2）若，，求.（2015届镇江期末15）
．
例2. 已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是_________.
变式2. 在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足，则的最大值是__________.
考点二.与圆的综合问题
例1．(2018天津)如图，在平面四边形中，，，，
． 若点为边上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
变式1．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
例2.如图1，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))的最大值为________．
考点三.与多边形的综合问题
1. 向量表示三角形“四心”的相关结论：
在中，是所在平面任一点。
（1）若，则是的外心；
（2）若，则是的重心；
（3）若,则是的垂心；
（4）若，则是的内心.
2. 面积比模型
在所在平面，存在一点，满足，
，若同号，则在内部；若异号，则在外部；
3. 极化恒等式
设，，则，
（1），
（2）
得：
得极化恒等式：
极化恒等式的两种表示模式：
平行四边形模式：
三角形模式：
例1. 已知是内一点，满足，则 .
变式1. 在中，设是的内心，若 则的值为 .
例2. 已知是所在平面内的任意一点，满足，则的面积与的面积的比为 .
变式2.已知 O，N，P 在 △ABC 所在平面内，且 |OA→|=|OB→|=|OC→|，NA→+NB→+NC→=0，PA→⋅PB→=PB→⋅PC→=PC→⋅PA→，则点 O，N，P 依次是 △ABC 的( )（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心，外心，垂心B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心D．外心，重心，内心
例3.在四边形 ABCD 中，若 AC→+CB→+CD→=0→，且 |AB→|=|AC→|=|AD→|=4，则 △BCD 的面积为________．
变式3.已知平面内一点 P 及 △ABC，若 PA→+PB→+PC→=AB→，则点 P 与 △ABC 的位置关系是( )
A．点 P 在线段 AB 上
B．点 P 在线段 BC 上
C．点 P 在线段 AC 上
D．点 P 在 △ABC 外部
例4.若点 O 是 △ABC 所在平面内一点，且 OA→+OB→+OC→=0→，则点 O 是 △ABC 的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
变式4.已知 A，B，C 是平面上不共线上三点，动点 P 满足 OP→=13[(1−λ)OA→+(1−λ)OB→+(1+2λ)OC→](λ∈R) ，则 P 的轨迹一定通过 △ABC 的( )
A．内心B．重心C．垂心D．BC 边的中点
例5.已知点P为△ABC所在平面内一点，且满足AP→=λ(AB→|AB→|cs⁡B+AC→|AC→|cs⁡C)(λ∈R)，则直线AP必经过△ABC的( )
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
变式5.已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为△ABC外心，动点P满足：OP→=13[(1−λ)OA→+(1−λ)OB→+(1+2λ)OC→](λ∈R且λ≠0)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点
例6.△ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，OH→=m(OA→+OB→+OC→)，则 m 的取值是( )
A．−1B．1C．−2D．2
变式6.已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是 △ABC 的重心，动点 P 满足 OP→=13(12OA→+12OB→+2OC→)，则点 P 一定为( )
A．AB 边中线的中点B．AB 边中线的三等分点（非重心）
C．△ABC 的重心D．AB 边的中点
课后习题
单选题
1．如图，在梯形中，，，，，，分别是，的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是内一点，且满足,记,的面积依次为，则等于（ ）
A. 1:2:3 B. 1:4:9 C. 6:1:2 D. 3:1:2
3．已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆O是△ABC的外接圆，其半径为1，且eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→))，AB＝1，则eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(3,2)B．3
C．eq \r(3)D．2eq \r(3)
5．(解法创新)记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝c·(a＋2b－2c)＝2，则( )
A．|a－c|max＝eq \f(\r(3)＋\r(7),2)B．|a＋c|max＝eq \f(\r(3)－\r(7),2)
C．|a－c|min＝eq \f(\r(3)＋\r(7),2)D．|a＋c|min＝eq \f(\r(3)－\r(7),2)
6. (解法创新)设a，b为单位向量，且a⊥b，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是( )
A．2eq \r(2)B．2
C．eq \r(2)D．1
7.设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))，则(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))·(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))的最大值是( )
A．1＋eq \r(2) B.1－eq \r(2)
C.eq \r(2)－1 D．1
8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则eq \(AE,\s\up7(―→))·eq \(BE,\s\up7(―→))的最小值为( )
A.eq \f(21,16) B.eq \f(3,2)
C.eq \f(25,16) D．3
9.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为eq \f(π,3)，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \r(3)＋1
C．2 D．2－eq \r(3)
填空
10．(交汇创新) (2020·山东济钢中学月考)如果直角三角形ABC的边CB，CA的长都为4，D是CA的中点，P是以CB为直径的圆上的动点，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值是__________.
11．(多空题)如图，扇形AOB中，半径为1， eq \\ac(AB,\s\up10(︵)) 的长为2，则 eq \\ac(AB,\s\up10(︵)) 所对的圆心角的大小为________ 弧度；若点P是 eq \\ac(AB,\s\up10(︵)) 上的一个动点，则当eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))取得最大值时，〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OP,\s\up6(→))〉＝________.
12．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝eq \f(1,t)，AC＝t，P是△ABC所在平面内一点，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(4eq \(AB,\s\up7(―→)),|eq \(AB,\s\up7(―→))|)＋eq \f(eq \(AC,\s\up7(―→)),|eq \(AC,\s\up7(―→))|)，则△PBC面积的最小值为________．
解答题
13.在中，，记的夹角为.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求函数的最大值和最小值.
14.如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。
求关于θ的表达式;
求的值域。