考点55 正态分布-备战2022年高考数学（理）考点一遍过

这是一份考点55 正态分布-备战2022年高考数学（理）考点一遍过，共31页。主要包含了正态曲线，正态分布等内容，欢迎下载使用。

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
一、正态曲线
1．正态曲线的定义
函数，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．
2．正态曲线的特点
①曲线位于轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，关于直线对称；
③曲线在处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
二、正态分布
1．正态分布的定义及表示
如果对于任何实数，随机变量X满足(即x=a，x=b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作．
2．正态分布的三个常用数据
①；
②；
③.
【注】若，则.
考向一 正态分布
关于正态分布在某个区间内取值的概率的求法：
(1)熟记，，的值．
(2)正态曲线关于直线对称，从而在关于对称的区间上的概率相同．
(3).
(4)若X服从正态分布，即，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
典例1 已知随机变量服从正态分布，若，则
A．0.6827 B．0.8522
C．0.9544 D．0.9772
【答案】C
【解析】因为随机变量服从正态分布，所以其图象关于直线对称，
因为，所以，
所以，所以.
故选C.
【名师点睛】本题考查正态分布，关键是对正态分布曲线的理解与掌握，是基础题.利用正态分布的对称性结合已知求得，然后求解即可.
1．设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则
A． B．
C． D．
2．设随机变量服从正态分布，若，则的值为
A．0.2B．0.3
C．0.4D．0.6
考向二 正态分布的应用
正态分布及其应用在近几年新课标高考中时常出现，主要考查正态曲线的性质(特别是对称性)，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小；有时也会与概率统计结合，在解答题中考查．
典例2 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为
(参考数据：若，则； ；.)
A．0.9544 B．0.6826
C．0.9974 D．0.9772
【答案】D
【解析】由于随机变量X服从正态分布，故有μ=800，σ=50，则.由正态分布的对称性，可得
.
典例3 2019超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，得到其100家加盟超市3天内进货总价的统计结果如下表所示：
（1）由频数分布表大致可以认为，被抽查超市3天内进货总价，μ近似为这100家超市3天内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，该公司为增加销售额，特别为这100家超市制定如下抽奖方案：
①令m表示“超市3天内进货总价超过μ的百分点”，其中.若，则该超市获得1次抽奖机会；，则该超市获得2次抽奖机会；，则该超市获得3次抽奖机会；，则该超市获得4次抽奖机会；，则该超市获得5次抽奖机会；，则该超市获得6次抽奖机会.另外，规定3天内进货总价低于μ的超市没有抽奖机会；
②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元，每次抽奖中奖的概率为.
设超市A参加了抽查，且超市A在3天内进货总价百元.记X（单位：元)表示超市A获得的奖金总额，求X的分布列与数学期望.
附参考数据与公式：，若，则，，.
【解析】（1）由题意得，
因为，
所以，
，
所以，
，
所以.
（2）因为，所以，
所以超市A获得4次抽奖机会，
从而X的可能取值为0，1000，2000，3000，4000，
又因为每次抽奖不中的概率为，所以
，
，
，
，
.
所以X的分布列为
所以，X的数学期望为元.
3．一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，若，则该班数学成绩的及格（成绩达到分为及格）率可估计为
A．B．
C．D．
4．在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀.
经计算样本的平均值，标准差.为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为，并根据以下不等式进行评判：
①；
②；
③.
评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷.
（1）试判断该份试卷被评为哪种等级；
（2）按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
1．随机变量服从正态分布，若，，则
A．3 B．4
C．5 D．6
2．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则
A．B．
C．D．
3．已知随机变量，且，则
A． B．
C． D．
4．某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为
A．6B．4
C．94D．96
5．已知三个正态分布密度函数（，）的图象如图所示，则
A．B．
C．D．
6．某工厂生产的零件外直径（单位：cm）服从正态分布N10， 0.12，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.82cm和10.31cm，则可认为
A．上午生产情况异常，下午生产情况正常B．上午生产情况正常，下午生产情况异常
C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均异常
7．某商场经营的某种包装的大米质量ξ（单位：kg）服从正态分布N（10，σ2），根据检测结果可知P（9.9≤ξ≤10.1）＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为
A．10 B．20
C．30 D．40
8．设随机变量X~N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是
（注：若X~N(μ,σ2)，则Pμ-σA．7539B．7028
C．6587D．6038
9．我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度服从正态分布，若在内的概率为，则他速度不低于的概率为
A．0.05 B．0.1
C．0.15 D．0.2
10．一试验田某种作物一株生长果的个数服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量，且服从二项分布，则的方差为
A．3B．2.1
C．0.3D．0.21
11．设随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是
A． B．
C． D．
12．已知随机变量服从正态分布，即，且，若随机变量，则
A．0.3413 B．0.3174
C．0.1587 D．0.1586
13．若随机变量服从正态分布，则，
.设，且，则__________.
14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为__________.
（附：若随机变量服从正态分布，则，.）
15．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率__________．（结果用分数表示）
附参考数据：；；．
16．随机变量服从正态分布，，，则的最小值为__________．
17．在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．
（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人?
（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人?
附：.
18．某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体（这1万名小学生普通话测试成绩）服从正态分布.
（1）从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在内的概率；
（2）现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90.从这12个数据中随机选取4个，记表示大于总体平均分的个数，求的方差.
参考数据：若，则，，.
19．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（i）的结果，求E（X）．
附：．
若，则，．
20．某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70. 经计算得，，生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%.
（1）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；
（2）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？
附：若，则，.
21．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店11月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：
（1）求出与的回归方程；
（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地11月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
（3）设该地11月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.
附：①回归方程中，，.
②，，若～，则，
.
22．2019年4月，甲、乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩服从正态分布，从甲、乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：
（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；
（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？
（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为，求的数学期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
参考公式与临界值表：，其中．
23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；
①；②；
③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；
（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.
1．(2015年高考湖北卷)设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A．B．
C．对任意正数，D．对任意正数，
2．（2015年高考山东卷）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，
.）
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
3．(2015年高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为
A．2 386 B．2 718
C．3 413 D．4 772
附：若X~N(μ，σ2)，则.
4．(2017年高考新课标Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
变式拓展
1．【答案】A
【解析】由正态分布N(μ，σ2)的性质知，x=μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.故选A.
【名师点评】熟练掌握正态密度曲线的性质是解决正态分布问题的关键．
2．【答案】B
【解析】随机变量服从正态分布，所以，
，
则.
故选B.
3．【答案】B
【解析】由题意，得，又，
所以，
故选B．
4．【解析】（1），
，
，
因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷.
（2）50人中成绩一般、良好及优秀的比例为，所以所抽出的10人中，成绩优秀的有3人，所以的取值可能为0，1，2，3，
；；
；.
所以随机变量的分布列为：
故.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】，，，
即，.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，直接根据正态曲线的对称性求解即可，属于中档题.正态曲线的常见性质有：
（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；
（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;
（3）正态分布区间上的概率，关于对称，.
2．【答案】B
【解析】由正态分布的图象和性质得．故选B．
【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
3．【答案】B
【解析】由正态分布的对称性知，，故本题选B.
4．【答案】B
【解析】由题意，知，可得，
又由对称轴为，可得，
所以成绩低于分的样本个数大约为个．
故选B．
5．【答案】D
【解析】正态分布密度曲线关于直线对称，且在处取得峰值，由图得， ，故.
故选D.
6．【答案】B
【解析】因为零件外直径X∼N(10,0.12)，
所以根据3σ原则，在10-3×0.1=9.7(cm)与10+3×0.1=10.3(cm)之外时为异常，
因为上、下午生产的零件中随机取出一个，9.7<9.82<10.3，10.31>10.3，
所以下午生产的产品异常，上午的正常，
故选B．
7．【答案】B
【解析】∵大米质量ξ服从正态分布N（10，σ2），∴大米质量ξ关于直线x=10对称，
∵P（9.9≤ξ≤10.1）=0.96，∴P（ξ＜9.9）==0.02，
∴公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为0.02×1000=20．
故答案为B．
【名师点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于直线x=10对称，利用对称写出要用的频数，题目得解．根据大米质量ξ服从正态分布N（10，σ2），得到大米质量ξ关于直线x=10对称，根据P（9.9≤ξ≤10.1）=0.96，得到P（ξ＜9.9）==0.02，根据频率乘以样本容量得到分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数．
8．【答案】C
【解析】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为S=1，
又由随机变量服从正态分布X~N1,1，
所以正态分布密度曲线关于x=1对称，且σ=1，
又由Pμ-σ所以阴影部分的面积为S1=1-0.68262=0.6587，
由面积比的几何概型可得概率为P=S1S=0.6587，
所以落入阴影部分的点的个数的估计值是10000×0.6587=6587，故选C.
9．【答案】C
【解析】由题意可得，μ=100，且P（80＜ξ＜120）=0.7，
则P（ξ≤80或ξ≥120）=1﹣P（80＜ξ＜120）=1﹣0.7=0.3．
∴P（ξ≥120）=P（ξ≤80或ξ≥120）=0.15，则他速度不低于120的概率为0.15．
故选C．
【名师点睛】根据正态分布的定义，可以求出P（ξ≤80或ξ≥120）的概率，除以2得答案．关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：
①熟记P(μ－σ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
10．【答案】B
【解析】∵，且，
∴，
∴，
∴，
则的方差为．
故选B．
11．【答案】C
【解析】由无相异实根得，因此函数没有极值点的概率是.
故选C.
12．【答案】C
【解析】由题设知，由正态分布曲线的对称性可得.
故选C.
【名师点睛】本题主要考查了正态分布的性质，解题的关键是掌握正态分布的对称性，属于基础题.利用正态分布的对称性，结合题意即可求得结果.
13．【答案】
【解析】，
，即，故答案为.
14．【答案】683
【解析】由题意，P（58.5＜X＜62.5）=0.683，
∴在这1000名男生中不属于正常情况的人数约是1000×0.683≈683，
故答案为683．
【名师点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．由题意，P（58.5＜X＜62.5）=0.683，即可得出在这1000名男生中属于正常情况的人数．
15．【答案】
【解析】由题意可知，，事件为，
，，
∴，
，
由条件概率的公式得，故答案为.
16．【答案】
【解析】随机变量服从正态分布，∴，
由，得，
又，
∴，且，，
则．
当且仅当，即，时等号成立．
∴的最小值为．
故答案为．
17．【解析】由题知参赛学生的成绩为X，
因为，
所以，
则
，
（人）．
因此，此次参赛学生的总数约为696人．
（2）由
，
（人）．
因此，此次竞赛获奖励的学生约为110人．
【思路分析】（1）由题意首先确定正态分布中的值，然后结合正态分布的性质求解参赛人数即可；
（2）利用（1）的结论结合正态分布图象的对称性即可确定需要奖励的学生人数．
18．【解析】（1）因为学生的普通话测试成绩服从正态分布，
所以，，
所以.
（2）因为总体平均分为，所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，
所以的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以，
则.
19．【解析】（1）抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
，
.
（2）（i）由（1）知，
从而.
(ii)由（i）知，一件产品中质量指标值位于区间的概率为，
依题意知，
所以.
【方法点晴】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差、正态分布的应用，其中解答涉及离散型随机变量的期望与方差的公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，解答中正确、准确的计算是解得问题的关键.
（1）利用离散型随机变量的期望和方差的公式，即可求解样本平均数和样本方差；
（2）（i）由（1）知，从而求出，注意运用所给数据；
（ii）由（i）知，运用即可求得.
20．【解析】（1）10件样品中优质品的频率为，记任取3件，优质品数为，
则，.
（2）记这种产品的质量指标为，
由题意知，
则，
∵，
∴有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求.
21．【解析】（1）∵，，，
∴，，
∴，
∴（或者：），
∴所求的回归方程是.
（2）由知与之间是负相关，
将代入回归方程可预测该店当日的销售量(千克).
（或者：千克）
（3）由（1）知，
又由，得，
从而
．
【名师点睛】（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
（2）关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：
①熟记的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
22．【解析】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为，
乙校学生数学成绩的中位数为，
所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高．
（2）由题意，列联表如下：
计算得的观测值，
所以没有90的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．
（3）因为，所以，，
所以，所以，
由题意可知，
所以．
23．【解析】（1）由题意知：，，，，，，
所以由图表知道：，
，
，
所以该设备的性能为丙级别.
（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件.
（i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，
依题意，
故.
（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数的可能取值为0，1，2，
，
，组别(单位：百元）
频数
3
11
20
27
26
13
X
0
1000
2000
3000
4000
P
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
直径mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
0
1
2
3
甲校
乙校
合计
数学成绩优秀
10
7
17
数学成绩不优秀
10
13
23
合计
20
20
40