2020-2021学年山西省临汾市高二（下）6月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山西省临汾市高二（下）6月月考数学（理）试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合A=x|x2−2x−3≤0，B=x|x−1<2,x∈Z，则A∩B=( )
A.1,2,3B.x|1≤x≤3
C.1,2,3,4D.x|−1≤x<5

2. 若复数z=2−ii（i为虚数单位），则在复平面内，z所对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 三大产业或三次产业，其划分世界各国不完全一致，但基本均划分为三大类：第一产业、第二产业和第三产业．第一产业主要指生产食材以及其他一些生物材料的产业，包括种植业、林业、畜牧业、水产养殖业等直接
以自然物为生产对象的产业（泛指农业）；第二产业主要指加工制造产业（或指手工制作业）利用自然界和第一产业提供的基本材料进行加工处理；第三产业是指第一、第二产业以外的其他行业（现代服务业或商业），范围比较广泛，主要包括交通运输业、通讯产业、商业、餐饮业、金融业、教育、公共服务等非物质生产行业．如图是我国2015年∼2019年三次产业增加值占国内生产总值比重的柱状图. 根据柱状图，下列说法正确的是( )

A.2015∼2019年，第三产业增加值占国内生产总值比构成递增的等差数列
B.2015∼2019年，第一产业增加值占国内生产总值比重逐年降低
C.2015∼2019年，第三产业增加值占国内生产总值比重最大
D.2015∼2019年，第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为39.9

4. 若等比数列an满足a1+a2=1，a4+a5=8，则a7=( )
A.643B.−643C.323D.−323

5. 若csα−π5=513，则sin7π10−α=( )
A.−513B.−1213C.1213D.513

6. 若单位向量a→，b→满足a→−2b→⋅a→+b→=−12，则|a→−b→|等于( )
A.1B.2C.3D.233

7. 已知lg23=a，3b=7，则lg2156=( )
A.ab+3a+abB.3a+ba+abC.ab+3a+bD.b+3a+ab

8. 某方舱医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现根据工作需要，医院准备将其中3位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，其余的3位主治医师仍在原来的医疗小组（不做调整），如果调整后每个医疗小组仍都配备1位主治医师，则调整的不同方案数为( )
A.36B.40C.48D.56

9. 若α,β是空间两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
①若m⊥α,n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；
②若m//α,n//β，且m//n，则α//β；
③若α∩β=n,m⊂β，且m⊥n，则m⊥α；
④若m//n,n⊂α,α//β,m⊄β，则m//β.
A.①③B.①④C.②③D.③④

10. 已知点F是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点，过点F且斜率为1的直线与双曲线的右支交于点M，与y轴交于点N，若点N为MF的中点，则该双曲线的离心率为( )
A.5+12B.5C.6D.1+2

11. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点Pπ4,2，其对应的方程为|y|=2−122xπ|sinωx|（x≥0，其中记[x]为不超过x的最大整数，0<ω<5），若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为5π3，则点M到x轴的距离为（ ）

A.14B.34C.12D.32

12. 已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，过F且倾斜角为π4的直线l与抛物线相交于A，B两点，|AB|=8，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法不正确的是( )
A.QA⊥QB
B.△AOB（O为坐标原点）的面积为22
C.1|AF|+1|BF|=2
D.若M1,1，P是抛物线上一动点，则|PM|+|PF|的最小值为2
二、填空题

若x，y满足约束条件x+y−4≥0,x−y+1≤0,y≤3,则z=3x−2y的最小值为________.

已知fx为奇函数，当x<0时，fx=e−x+1，则曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线方程是________.

在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为________，前9圈的石板总数为________．


如图，在平面四边形ABCD中，DA=DC=4，BA=BC=42，∠ADC=120∘，E为AC的中点，将△ABC沿AC折起，使得BD=4．以D为球心，DE为半径的球与三棱锥B−ADC各面交线的长度和为________.

三、解答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3b2c−3a=csBcsA.
(1)求角B的大小；

(2)若b=2，求△ABC的面积的最大值．

如图，在四棱锥A−BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．

(1)证明：GF//平面ABC；

(2)若平面ABC⊥底面BCDE，平面ACD⊥底面BCDE，BC=3，CD=6，AC=63．求平面GCE与平面ADE所成锐二面角的大小．

树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高．某块山地上种植了A树木，某农科所为了研究A树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵A树木，调查得到A树木根部半径x（单位：米）与A树木高度y（单位：米）的相关数据如下表所示：

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)对(1)中得到的回归方程进行残差分析，若某A树木的残差为零，则认为该树木“长势标准”，以此频率来估计概率，则在此片树木中随机抽取80棵，记这80棵树木中“长势标准”的树木数量为X，求随机变量X的数学期望与方差．
参考公式：回归直线方程为y=bx+a，其中b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2，a=y−bx.

已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B．右焦点为F，过F的直线l与C交于P，Q两点．
(1)设△APF和△BQF的面积分别为S1，S2，若S1=3S2，求直线l的方程；

(2)当直线l绕F点旋转时，求证：四边形APBQ的对边AP与BQ所在直线的斜率的比值恒为常数．

已知函数fx=ex−1−ax.
(1)当a=1时，求证：fx≥0；

(2)当x≥0时，fx≥x2，求实数a的取值范围．

已知函数fx=|x−2|+|x+1|.
(1)求不等式fx>3的解集；

(2)若fx的最小值为m，且对任意正数a，b满足a+b=m，求m+1a+1+1b的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山西省临汾市高二（下）6月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为A=x|−1≤x≤3，B=x|1≤x<5,x∈Z=1,2,3,4，
所以A∩B=1,2,3．
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
共轭复数
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：复数z=2−ii=−i2−i−i⋅i=−1−2i，
故z=−1+2i，对应点的坐标为−1,2，位于第二象限．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为52.4−50.8=1.6，52.7−52.4=0.3，
所以第三产业增加值占国内生产总值比重不能组成递增的等差数列，故A错误；
因为7.0<7.1，所以第一产业增加值占国内生产总值比重逐年降低不正确，故B错误；
因为第三产业增加值占国内生产总值比重均超过50%，所以第三产业增加值占国内生产总值比重最大，故C正确；
第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为39.7，故D错误．
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设等比数列an的公比为q，
则a4+a5a1+a2=q3=8，解得q=2，
则a1+a2=a11+q=3a1=1，解得a1=13，
所以a7=a1q6=13×26=643．
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为7π10−α+α−π5=π2，
所以7π10−α=π2−α−π5，
所以sin7π10−α=csα−π5=513.
故选D．
6.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为|a→|=|b→|=1，
a→−2b→⋅a→+b→=a→2−a→⋅b→−2b→2=−1−a→⋅b→=−12，
所以a→⋅b→=−12，
所以|a→−b→|=a→−b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2
=1−2×−12+1=3．
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
指数式与对数式的互化
换底公式的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由3b=7，得lg37=b，
所以lg2156=lg3(7×23)lg3(3×7)=lg37+lg323lg33+lg37
=b+3×1a1+b=ab+3a+ab.
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：从6个医疗小组选出3位主治医师，有C63种不同的方法.
不妨设这3位主治医师分别为甲、乙、丙，调整为均不在原来的医疗小组且每组均有1位主治医师，有2种不同的方法，
所以调整的不同方案数为C63×2=40.
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若n⊥β,α⊥β，则n//α或n⊂α，又m⊥α，所以m⊥n，故①正确；
若m//α，n//β，且m//n，则α//β或α与β相交，故②错误；
若α∩β=n,m⊂β，且m⊥n，则m与α不一定垂直，故③错误；
若m//n,n⊂α,α//β,m⊄β，由线面平行判定可知m//β，故④正确．
故选B．
10.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设双曲线的右焦点F′，半焦距为c，连接MF′，
由点N为MF的中点，点O为FF′的中点，知ON为△FMF′的中位线，
所以MF′⊥x轴，得Mc,b2a.
又由三角形中位线定理可知|ON|=12|MF′|，直线MF的方程：y=x+c，故N0,c，
得b2a=2c，b2=2ac，c2−a2=2ac，即e2−1=2e，
又e>1，
所以e=1+2．
故选D．
11.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的图象
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当0≤x<π2时，0≤2xπ<1，
则2xπ=0，此时对应的方程为|y|=2|sinωx|，
又过点Pπ4,2，所以ω=2；
当3π2≤x<2π时，3≤2xπ<4，则2xπ=3，
此时对应的方程为|y|=12|sin2x|，
而5π3∈3π2,2π，
所以|y|=12|sin2×5π3|=34．
故选B．
12.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
圆锥曲线的综合问题
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为l过点F且倾斜角为π4，
所以直线l的方程为x=y+p2，
与抛物线方程联立，得y2−2py−p2=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则y1+y2=2p，y1y2=−p2，
所以x1+x2=3p，x1x2=y1y224p2=p24，
又|AB|=p+x1+x2=4p=8，所以p=2，所以y2=4x.
不妨设y1>0，当y>0时，y′=1x，所以过A的切线斜率为kA=y′|x=x1=1x1，
同理可得过B的切线斜率为kB=y′|x=x2=−1x2，
所以kAkB=−1x1x2=−2p=−1，所以QA⊥QB，故A正确；
S△AOB=12|OF|⋅|y1−y2|=12y1+y22−4y1y2=128p2=22，故B正确；
1|AF|+1|BF|=2p=1，故C错误；
设点M到准线的距离为d，若M1,1，则|PM|+|PF|≥d=1+p2=2，则D正确．
故选C．
二、填空题
【答案】
−3
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：作出可行域（如图阴影部分），
z=3x−2y得y=32x−12z，平移直线y=32x−12z，
由图可知当直线y=32x−12z经过点A1,3时，直线y=32x−12z在y轴上的截距最大，此时z最小，且zmin=−3.
故答案为：−3.
【答案】
ex+y+1=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当x>0时，−x<0，则f−x=ex+1，
又fx为奇函数，
则fx=−ex−1，f′x=−ex，f1=−e−1，
所以k=f′1=−e，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为ex+y+1=0.
故答案为：ex+y+1=0.
【答案】
63,405
【考点】
数列的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：从第1圈到第9圈石板数依次组成等差数列an，且a1=9，d=9，
所以a7=9+6×9=63，
所以S9=9×9+9×82×9=405.
故答案为：63；405.
【答案】
(103+455)π
【考点】
截面及其作法
多面体的内切球问题
棱锥的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：翻折后形成的几何体如图所示，
由题意知DA=DC=DB=4，BA=BC=42，
所以DB⊥DA，DB⊥DC，
从而可以证得DB⊥平面ACD.
由E为AC的中点可得DE⊥AC，
易证AC⊥平面BDE，
从而平面BDE⊥平面ABC，
所以球D与侧面BDC，侧面BDA，侧面ADC的交线分别为14圆弧，14圆弧，13圆弧.
过D作DF⊥BE，垂足为F，
易求得DF=45<2，
故以D为球心，2为半径的球与平面ABC也相交，
易知该交线是以F为圆心，4−452=25为半径的圆，
所以球与三棱锥B−ADC各面交线的长度和为
2π3+π2+π2×2+2π×25=(103+455)π.
故答案为：(103+455)π.
三、解答题
【答案】
解：(1)因为3b2c−3a=csBcsA，由正弦定理得3sinB2sinC−3sinA=csBcsA，
即3sinBcsA=2sinC−3sinAcsB，
即3sinA+B=2sinCcsB，3sinC=2sinCcsB.
因为C为△ABC的内角，
所以sinC≠0，
所以csB=32.
又0所以B=π6．
(2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
即22=a2+c2−2accsπ6，
所以4=a2+c2−3ac≥2ac−3ac，当且仅当a=c时等号成立，
所以ac≤42−3=42+3，当且仅当a=c时等号成立，
所以△ABC的面积S=12acsinB≤12×42+3×12=2+3，
所以△ABC的面积的最大值为2+3．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为3b2c−3a=csBcsA，由正弦定理得3sinB2sinC−3sinA=csBcsA，
即3sinBcsA=2sinC−3sinAcsB，
即3sinA+B=2sinCcsB，3sinC=2sinCcsB.
因为C为△ABC的内角，
所以sinC≠0，
所以csB=32.
又0所以B=π6．
(2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
即22=a2+c2−2accsπ6，
所以4=a2+c2−3ac≥2ac−3ac，当且仅当a=c时等号成立，
所以ac≤42−3=42+3，当且仅当a=c时等号成立，
所以△ABC的面积S=12acsinB≤12×42+3×12=2+3，
所以△ABC的面积的最大值为2+3．
【答案】
(1)证明：延长EG交AB于点N，连接CN，如图.
因为G为△ABE的重心，
所以N为AB的中点，且EGGN=2.
因为CM//BE，M为CD的中点，
所以EFFC=BECM=2，
所以EFFC=EGGN，
所以GF//NC.
又GF⊄平面ABC，NC⊂平面ABC，
所以GF//平面ABC.
(2)解：因为平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，DC⊥BC，DC⊂平面BCDE，
所以DC⊥平面ABC．
因为AC⊂平面ABC，所以DC⊥AC，同理BC⊥AC .
又BC⊥CD，所以CA，CB，CD两两垂直.
以C为原点，直线CB，CD，CA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则A0,0,63，B3,0,0，E3,6,0，D0,6,0，所以N32,0,33.
因为EGGN=2，所以G2,2,23，
所以CG→=2,2,23，CE→=3,6,0，AD→=0,6,−63，DE→=3,0,0.
设平面GCE的一个法向量m→=x1,y1,z1,
则m→⋅CG→=0，m→⋅CE→=0，即2x1+2y1+23z1=0,3x1+6y1=0,
取y1=1，则z1=33，x1=−2，即m→=−2,1,33；
设平面ADE的一个法向量n→=x2,y2,z2，
则n→⋅AD→=0,n→⋅DE→=0, 即6y2−63z2=0,3x2=0,
取z2=2，则y2=23，x2=0，即n→=0,23,2.
设平面GCE与平面ADE所成锐二面角为θ，
则csθ=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=23+2335+13⋅12+4=12.
又θ∈(0,π2)，所以θ=π3.
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：延长EG交AB于点N，连接CN，如图.
因为G为△ABE的重心，
所以N为AB的中点，且EGGN=2.
因为CM//BE，M为CD的中点，
所以EFFC=BECM=2，
所以EFFC=EGGN，
所以GF//NC.
又GF⊄平面ABC，NC⊂平面ABC，
所以GF//平面ABC.
(2)解：因为平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，DC⊥BC，DC⊂平面BCDE，
所以DC⊥平面ABC．
因为AC⊂平面ABC，所以DC⊥AC，同理BC⊥AC .
又BC⊥CD，所以CA，CB，CD两两垂直.
以C为原点，直线CB，CD，CA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则A0,0,63，B3,0,0，E3,6,0，D0,6,0，所以N32,0,33.
因为EGGN=2，所以G2,2,23，
所以CG→=2,2,23，CE→=3,6,0，AD→=0,6,−63，DE→=3,0,0.
设平面GCE的一个法向量m→=x1,y1,z1,
则m→⋅CG→=0，m→⋅CE→=0，即2x1+2y1+23z1=0,3x1+6y1=0,
取y1=1，则z1=33，x1=−2，即m→=−2,1,33；
设平面ADE的一个法向量n→=x2,y2,z2，
则n→⋅AD→=0,n→⋅DE→=0, 即6y2−63z2=0,3x2=0,
取z2=2，则y2=23，x2=0，即n→=0,23,2.
设平面GCE与平面ADE所成锐二面角为θ，
则csθ=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=23+2335+13⋅12+4=12.
又θ∈(0,π2)，所以θ=π3.
【答案】
解：(1)由x=16×0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6=0.35，
y=16×1.1+1.3+1.6+1.5+2.0+2.1=1.6，
i=16xiyi=0.1×1.1+0.2×1.3+0.3×1.6+0.4×1.5+0.5×2.0+0.6×2.1=3.71，
i=16xi2=0.12+0.22+0.32+0.42+0.52+0.62=0.91，
所以b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2=3.71−6×0.35×−6×0.352=2，
a=y−bx=1.6−2×0.35=0.9，
故y关于x的线性回归方程为y=2x+0.9.
(2)当x=0.1，y=2×0.1+0.9=1.1，残差为1.1−1.1=0，
当x=0.2，y=2×0.2+0.9=1.3，残差为1.3−1.3=0，
当x=0.3，y=2×0.3+0.9=1.5，残差为1.6−1.5=0.1，
当x=0.4，y=2×0.4+0.9=1.7，残差为1.5−1.7=−0.2，
当x=0.5，y=2×0.5+0.9=1.9，残差为2.0−1.9=0.1，
当x=0.6，y=2×0.6+0.9=2.1，残差为2.1−2.1=0.
这6棵A树木中残差为零的有3棵，占比为36=12，
故“长势标准”的概率为12.
由题意得随机变量X∼B80,12，
故随机变量X的数学期望为EX=80×12=40，
随机变量X的方差为DX=80×12×12=20．
【考点】
求解线性回归方程
两点分布二项分布超几何分布的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由x=16×0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6=0.35，
y=16×1.1+1.3+1.6+1.5+2.0+2.1=1.6，
i=16xiyi=0.1×1.1+0.2×1.3+0.3×1.6+0.4×1.5+0.5×2.0+0.6×2.1=3.71，
i=16xi2=0.12+0.22+0.32+0.42+0.52+0.62=0.91，
所以b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2=3.71−6×0.35×−6×0.352=2，
a=y−bx=1.6−2×0.35=0.9，
故y关于x的线性回归方程为y=2x+0.9.
(2)当x=0.1，y=2×0.1+0.9=1.1，残差为1.1−1.1=0，
当x=0.2，y=2×0.2+0.9=1.3，残差为1.3−1.3=0，
当x=0.3，y=2×0.3+0.9=1.5，残差为1.6−1.5=0.1，
当x=0.4，y=2×0.4+0.9=1.7，残差为1.5−1.7=−0.2，
当x=0.5，y=2×0.5+0.9=1.9，残差为2.0−1.9=0.1，
当x=0.6，y=2×0.6+0.9=2.1，残差为2.1−2.1=0.
这6棵A树木中残差为零的有3棵，占比为36=12，
故“长势标准”的概率为12.
由题意得随机变量X∼B80,12，
故随机变量X的数学期望为EX=80×12=40，
随机变量X的方差为DX=80×12×12=20．
【答案】
(1)解：由S1=3S2，得12×|AF|×|PF|×sin∠AFP
=3×12×|BF|×|QF|×sin∠BFQ.
因为∠AFP=∠BFQ，|AF|=3，|BF|=1，
所以|PF|=|QF|，
根据对称性，得PQ⊥x轴，
故直线l的方程为x=1．
(2)证明：设Px1,y1，Qx2,y2，
由题意，得y1y2≠0.
设直线l的方程为x=my+1，
代入3x2+4y2=12，并消去x得3m2+4y2+6my−9=0，
则y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4．①
因为kAP=y1x1+2，kBQ=y2x2−2，
所以kAPkBQ=y1(x2−2)y2(x1+2)=y1(my2+1−2)y2(my1+1+2)
=my1y2−y1my1y2+3y2=my1y2−(y1+y2)+y2my1y2+3y2，
将①代入，得kAPkBQ=m⋅−93m2+4−−6m3m2+4+y2m⋅−93m2+4+3y2
=−3m3m2+4+y2−9m3m2+4+3y2=13，
故四边形APBQ的对边AP与BQ所在直线的斜率的比值恒为常数．
【考点】
三角形的面积公式
椭圆的应用
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：由S1=3S2，得12×|AF|×|PF|×sin∠AFP
=3×12×|BF|×|QF|×sin∠BFQ.
因为∠AFP=∠BFQ，|AF|=3，|BF|=1，
所以|PF|=|QF|，
根据对称性，得PQ⊥x轴，
故直线l的方程为x=1．
(2)证明：设Px1,y1，Qx2,y2，
由题意，得y1y2≠0.
设直线l的方程为x=my+1，
代入3x2+4y2=12，并消去x得3m2+4y2+6my−9=0，
则y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4．①
因为kAP=y1x1+2，kBQ=y2x2−2，
所以kAPkBQ=y1(x2−2)y2(x1+2)=y1(my2+1−2)y2(my1+1+2)
=my1y2−y1my1y2+3y2=my1y2−(y1+y2)+y2my1y2+3y2，
将①代入，得kAPkBQ=m⋅−93m2+4−−6m3m2+4+y2m⋅−93m2+4+3y2
=−3m3m2+4+y2−9m3m2+4+3y2=13，
故四边形APBQ的对边AP与BQ所在直线的斜率的比值恒为常数．
【答案】
(1)证明：当a=1时，fx=ex−1−x，其定义域为R，f′x=ex−1，
由f′x>0，得x>0；f′x<0，得x<0，
所以fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
所以x=0是fx的极小值点，也是fx的最小值点，且fxmin=f0=0，
故当a=1时，fx≥0 .
(2)解：由fx≥x2x≥0，得ax≤ex−1−x2x≥0，
当x=0时，上述不等式恒成立．
当x>0时，a≤ex−1−x2x．
令gx=ex−1−x2xx>0，
则g′x=ex−2xx−ex−1−x2x2=x−1ex−x−1x2.
考虑到(1)，当x>0时，ex−x−1>0，
所以由g′x<0，得00，得x>1，
所以gx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以x=1是gx的极小值点，也是gx的最小值点，且gxmin=g1=e−2，
所以a≤e−2，
故实数a的取值范围为(−∞,e−2]．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：当a=1时，fx=ex−1−x，其定义域为R，f′x=ex−1，
由f′x>0，得x>0；f′x<0，得x<0，
所以fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
所以x=0是fx的极小值点，也是fx的最小值点，且fxmin=f0=0，
故当a=1时，fx≥0 .
(2)解：由fx≥x2x≥0，得ax≤ex−1−x2x≥0，
当x=0时，上述不等式恒成立．
当x>0时，a≤ex−1−x2x．
令gx=ex−1−x2xx>0，
则g′x=ex−2xx−ex−1−x2x2=x−1ex−x−1x2.
考虑到(1)，当x>0时，ex−x−1>0，
所以由g′x<0，得00，得x>1，
所以gx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以x=1是gx的极小值点，也是gx的最小值点，且gxmin=g1=e−2，
所以a≤e−2，
故实数a的取值范围为(−∞,e−2]．
【答案】
解：(1)fx=1−2x,x≤−1,3,−12,
当x≤−1时，不等式变为1−2x>3，解得x<−1；
当−13，无解；
当x>2时，不等式变为2x−1>3，解得x>2．
故不等式fx>3的解集为{x|x>2或x<−1}．
(2)由(1)知fx的最小值为3，
所以a+b=3，则a+1+b=4，
m+1a+1+1b=4a+1+1b
=14(a+1)+b(4a+1+1b)
=14(5+4ba+1+a+1b)≥145+24ba+1⋅a+1b=94，
当且仅当4ba+1=a+1b,a+b=3,
即a=53，b=43时，等号成立，
所以m+1a+1+1b的最小值为94．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fx=1−2x,x≤−1,3,−12,
当x≤−1时，不等式变为1−2x>3，解得x<−1；
当−13，无解；
当x>2时，不等式变为2x−1>3，解得x>2．
故不等式fx>3的解集为{x|x>2或x<−1}．
(2)由(1)知fx的最小值为3，
所以a+b=3，则a+1+b=4，
m+1a+1+1b=4a+1+1b
=14(a+1)+b(4a+1+1b)
=14(5+4ba+1+a+1b)≥145+24ba+1⋅a+1b=94，
当且仅当4ba+1=a+1b,a+b=3,
即a=53，b=43时，等号成立，
所以m+1a+1+1b的最小值为94．x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
y
1.1
1.3
1.6
1.5
2.0
2.1