河南省信阳市罗山县2022届高三上学期高中毕业班第一次调研考试数学（理）【试卷+答案】

2021-2022学年度高中毕业班第一次调研考试

理 科 数 学 试 题

考试时间：120分钟

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合，，若，则实数a的值是（    ）

A．1 B． C．1或 D．以上答案都不对

2．设，则（    ）

A． B． C． D．

3．使得成立的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

4．任意向区间上投掷一个点，用表示该点的坐标，设事件，事件，则（    ）

A．0.25 B．0.125 C．0.5 D．0.625

5．指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为(     )

A．单调递增 B．单调递减

C．在上递增，在上递减 D．在上递减，在上递增

6．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

7．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．函数f(x)=(的图象可能是（    ）

9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，则函数的值域为（     ）

A． B． C． D．

10．已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（    ）

A． B．是的一个周期

C．当时， D．的解集为

11．已知函数在定义域上单调递增，且关于x的方程恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．(0，1)

12．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13．已知函数若，则___________.

14．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________；

15．定义在上的函数满足：，函数，若，则______．

16．已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________.

三、解答题

17．(10分）（1）设集合，.，求实数的取值集合；

（2）设，，若，求实数的取值范围.

18．(12分）设，命题p：，满足，命题q：x，.

（1）若命题是真命题，求a的范围；

（2）为假，为真，求a的取值范围.

19．(12分）已知函数().

（1）若函数是定义在上的奇函数，求的值；

（2）当时，，求实数的取值范围.

20．(12分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．

21．(12分）2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关。

（1）求一个接种周期内出现抗体次数的分布列；

（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：

①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元；

②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元.

比较随机变量和的数学期望的大小.

22．(12分）已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若对于任意的都成立，求的最大值.

2021-2022学年度高中毕业班第一次调研考试

理科数学试题 参考答案

1．D  2．B  3．D  4．C  5．C

6．D  7．A  8．B  9．C  10. D

11．C  12．D

13．   14．    15．    16．

17.【详解】（1），，又A中方程有两个不等实根，且B中方程最多有两个实根，

所以，则且，所以，所以实数的取值集合为.

（2）由，解得，∴，

由题意得：.

当时，.∵，.

当时，满足条件.

当时，.，.

综上，实数a的取值范围是.

18.【详解】（1）命题p真时，则或， 得；

q真，则，得，所以真，；

（2）由为假，为真、q同时为假或同时为真，

若p假q假，则，得，

若p真q真，则，所以，，

综上或.

故a的取值范围是.

19.【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，

整理得对任意恒成立，所以.

（2）根据题意，不等式对于任意的恒成立，

即不等式对于任意的恒成立.

令，则，

令，所以.

而在上单调递增，

所以，所以，解得.

故的取值范围是.

20.【详解】（1）由题意知，，

将代入化简得：（）；

（2），

（ⅰ）当时，

①当时，，所以函数在上单调递增，

②当时，，所以函数在上单调递减，

从而促销费用投入万元时，厂家的利润最大；

（ⅱ）当时，因为函数在上单调递增，

所以在上单调递增，故当时，函数有最大值，

即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.

综上:当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；

当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大，为万元.

21. 【详解】:

（1）由题意可知，随机变量服从二项分布，

故.

则的分布列为

（2）①设一个接种周期的接种费用为元，则可能的取值为200，300，

因为，，

所以.

所以三个接种周期的平均花费为.

②随机变量可能的取值为300，600，900，

设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，.

所以，

，

，

所以.

所以.

22. 【详解】:（1）当时，，得，

则，，

所以在处的切线方程为：.

（2）当且时，

由于，

构造函数，

得在上恒成立，所以在上单调递增，

，

由于对任意的都成立，

又，，再结合的单调性知道：

对于任意的都成立，即对于任意的都成立.

令，得，

由，由，

则在上单调递减，在上单调递增，

故，故，

所以的最大值为.