人教版数学九年级上册期末模拟试卷09（含答案）

人教版数学九年级上册期末模拟试卷

一、选择题

1．下列函数中，是二次函数的有（　　）

①y=1﹣x2②y=③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．已知x=2是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2=0的一个根，则m的值为（　　）

A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4

3．从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　）

A． B． C． D．

4．下列事件中，是必然事件的是（　　）

A．打开电视，它正在播广告

B．抛掷一枚硬币，正面朝上

C．打雷后会下雨

D．367人中有至少两人的生日相同

5．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　　）

A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD

6．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（　　）

A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80 C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．x（25﹣2x）=80

7．如图，水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA=6cm，且OA垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是（　　）

A．10πcm B．20πcm C．24πcm D．30πcm

8．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（　　）

A． B． C． D．

9．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

10．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

二、填空题

11．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为　   ．

12．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为　   　．

13．在平面直角坐标系内，以点P（﹣1，0）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是　   　．

14．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点， =．若∠CAB=40°，则∠CAD=　   　．

15．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；

③3a+c=0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的是　   　（只需填序号）

三、解答题

16．解方程：

（1）x2﹣2x﹣4=0              （2）用配方法解方程：2x2+1=3x

17．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．[来源:Z*xx*k.Com]

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，平移ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；

（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

18．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有实数根．

（1）求m的取值范围

（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22=11，求m的值．

19．如图，△ABC中，=90°，⊙I为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8．

（1）求⊙I的半径；

（2）求线段OI的长．

20．已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．

（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．

①求该抛物线的函数解析式；

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

21．如图，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一点O，使OB=OC，以O为圆心，OB为半径作圆，过C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD．

（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；

（2）已知AC=6，求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径．

22．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去，否则小亮去．

（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；

（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．

23．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？

（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

参考答案与试题解析

1．下列函数中，是二次函数的有（　　）

①y=1﹣x2②y=③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：①y=1﹣x2=﹣x2+1，是二次函数；

②y=，分母中含有自变量，不是二次函数；

③y=x（1﹣x）=﹣x2+x，是二次函数；

④y=（1﹣2x）（1+2x）=﹣4x2+1，是二次函数．

二次函数共三个，故选C．

2．已知x=2是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2=0的一个根，则m的值为（　　）

A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4

【解答】解：把x=2代入（m﹣2）x2+4x﹣m2=0得4（m﹣2）+8﹣m2=0，

整理得m2﹣4m=0，

解得m1=0，m2=4．

此时m﹣2≠0，

所以m的值为0或4．

故选：C．

3．从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，

∴从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．

故选：C．

4．下列事件中，是必然事件的是（　　）

A．打开电视，它正在播广告

B．抛掷一枚硬币，正面朝上

C．打雷后会下雨

D．367人中有至少两人的生日相同

【解答】解：A、打开电视，它正在播广告是随机事件，故A不符合题意；

B、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故B不符合题意；

C、打雷后会下雨是随机事件，故C不符合题意；

D、367人中有至少两人的生日相同是必然事件，故D符合题意．

故选：D．

5．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　　）

A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD

【解答】解：∵AB⊥CD，

∴=，CE=DE，

∴∠BOC=2∠BAD=40°，

∴∠OCE=90°﹣40°=50°．

故选：D．

6．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（　　）[来源:Z_xx_k.Com]

A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80 C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．x（25﹣2x）=80

【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m，

根据题意得：x（26﹣2x）=80．

故选：A．

7．如图，水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA=6cm，且OA垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是（　　）

A．10πcm B．20πcm C．24πcm D．30πcm

【解答】解：设扇形的圆心角为n度，则

=30π

∴n=300．

∵扇形的弧长为=10π（cm），

∴点O移动的距离10πcm．

故选：A．

8．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵a＜0，

∴抛物线的开口方向向下，

故第三个选项错误；

∵c＜0，

∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，

故第一个选项错误；

∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，

∴对称轴在y轴右侧，

故第四个选项错误．

故选：B．

9．（3分）二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x=4，

而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，

∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，

∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，

∴抛物线过点（2，0），

把（2，0）代入y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得4a﹣4=0，解得a=1．

故选：A．

10．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

【解答】解：∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，

∴B（0，4），

∴OB=4，

在RT△AOB中，∠OAB=30°，

∴OA=OB=×=12，

∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，

∴PM=PA，

设P（x，0），

∴PA=12﹣x，

∴⊙P的半径PM=PA=6﹣x，

∵x为整数，PM为整数，

∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，

∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．

故选：A．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为　±6　．

【解答】解：∵抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，

∴顶点的纵坐标为零，即y===0，

解得b=±6．

12．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为　　．

【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，

随机摸出一个蓝球的概率是，

设红球有x个，

∴=，

解得：x=3

∴随机摸出一个红球的概率是： =．

故答案为：．

13．在平面直角坐标系内，以点P（﹣1，0）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是　（0，2），（0，﹣2）　．

【解答】解：如图，∵由题意得，OM=1，MP=，

∴OP==2，

∴P（0，2）．

同理可得，N（0，﹣2）．

故答案为：（0，2），（0，﹣2）．

14．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点， =．若∠CAB=40°，则∠CAD=　25°　．

【解答】解：如图，连接BC，BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=40°，

∴∠ABC=50°，

∵=，

∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25°，

∴∠CAD=∠CBD=25°．

故答案为：25°．

15．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；

③3a+c=0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的是　①②③⑤　（只需填序号）

【解答】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，[来源:Z,xx,k.Com]

∴△=b2﹣4ac＞0，

∴4ac＜b2，结论①正确；

②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），

∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），

∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，结论②正确；

③∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，

∴﹣=1，

∴b=﹣2a．

∵当x=﹣1时，y=0，

∴a﹣b+c=0，即3a+c=0，结论③正确；

④∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），

∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，结论④错误；

⑤∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，

∴当x＜0时，y随x增大而增大，结论⑤正确．

综上所述：正确的结论有①②③⑤．

故答案为：①②③⑤．

三、简答题（本大题共9小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（6分）解方程：

（1）x2﹣2x﹣4=0

（2）用配方法解方程：2x2+1=3x

【解答】解：（1）∵x2﹣2x=4，

∴x2﹣2x+1=4+1，即（x﹣1）2=5，

则x﹣1=±，

∴x=1±；

（2）∵2x2﹣3x=﹣1，

∴x2﹣x=﹣，

∴x2﹣x+=﹣+，即（x﹣）2=，

则x﹣=±，

解得：x1=1、x2=．

17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，平移ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；

（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，△A2B2C2如图所示；

（2）如图，旋转中心为（，﹣1）；

18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有实数根．

（1）求m的取值范围

（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22=11，求m的值．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程 x2+3x﹣m=0有实数根，

∴△=b2﹣4ac=32+4m≥0，

解得：m≥﹣；

（2）∵x1+x2=﹣3、x1x2=﹣m，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=11，

∴（﹣3）2+2m=11，

解得：m=1．

19．（8分）如图，△ABC中， =90°，⊙I为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8．

（1）求⊙I的半径；

（2）求线段OI的长．

【解答】解：（1）设⊙I的半径为r，

∵△ABC中，∠C=90゜，BC=6，AC=8，

∴AB==10，

∴S△ABC=AC•BC=（AB+AC+BC）•r，

∴r==2；

（2）设⊙I与△ABC的三边分别切于点D，E，F，连接ID，IE，IF，

∴∠IEC=∠IFC=90°，

∵∠C=90°，

∴四边形IECF是矩形，

∵IE=IF，

∴四边形IECF是正方形，

∴CE=IE=2，

∴BD=BE=BC﹣CE=6﹣2=4，

∵点O为△ABC的外心，

∴AB是直径，

∴OB=AB=5，

∴OD=OB﹣BD=5﹣4=1，

∴OI=．

20．（8分）已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．

（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．

①求该抛物线的函数解析式；

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

【解答】（1）证明：y=（x﹣m）2﹣（x﹣m）=x2﹣（2m+1）x+m2+m，

∵△=（2m+1）2﹣4（m2+m）=1＞0，

∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

（2）解：①∵x=﹣=，

∴m=2，

∴抛物线解析式为y=x2﹣5x+6；

②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2﹣5x+6+k，

∵抛物线y=x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，

∴△=52﹣4（6+k）=0，

∴k=，

即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

21．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一点O，使OB=OC，以O为圆心，OB为半径作圆，过C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD．

（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；

（2）已知AC=6，求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径．

【解答】解：（1）AC与⊙O相切，

理由：

∵AC=BC，∠ACB=120°，

∴∠ABC=∠A=30°．

∵OB=OC，∠CBO=∠BCO=30°，

∴∠OCA=120°﹣30°=90°，

∴AC⊥OC，

又∵OC是⊙O的半径，

∴AC与⊙O相切；

（2）在Rt△AOC中，∠A=30°，AC=6，

则tan30°===，∠COA=60°，

解得：CO=2，

∴弧BC的弧长为： =，

设底面圆半径为：r，

则2πr=，

解得：r=．

22．（10分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去，否则小亮去．

（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；

（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．[来源:Z|xx|k.Com]

【解答】解：（1）画树状图：

共有12种等可能性结果，其中数字之和小于4的有3种情况，

所以P（和小于4）==，

即小颖参加比赛的概率为；

（2）该游戏不公平．理由如下：

因为P（和不小于4）=，

所以P（和小于4）≠P（和不小于4），

所以游戏不公平，可改为：若数字之和为偶数，则小颖去；若数字之和为奇数，则小亮去．

23．（10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？

（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

【解答】解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．

（2）设每星期利润为W元，

W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．

∴x=55时，W最大值=6750．

∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．

（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，

当x=52时，销售300+30×8=540，

当x=58时，销售300+30×2=360，

∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．

24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）将A，B，C点的坐标代入解析式，得

，

解得，

抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3

（2）配方，得y=﹣（x+1）2+4，顶点D的坐标为（﹣1，4）

作B点关于直线x=1的对称点B′，如图1，

则B′（4，3），由（1）得D（﹣1，4），

可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣x+，

当M（1，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

则m=﹣×1+=．

（3）作PE⊥x轴交AC于E点，如图2，

AC的解析式为y=x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，m+3），

PE=﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）=﹣m2﹣3m

S△APC=PE•|xA|=（﹣m2﹣3m）×3=﹣（m+）2+，

当m=﹣时，△APC的面积的最大值是；

（4）由（1）、（2）得D（﹣1，4），N（﹣1，2）

点E在直线AC上，设E（x，x+3），

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），

∵EF=DN

∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=4﹣2=2，

解得，x=﹣2或x=﹣1（舍去），

则点E的坐标为：（﹣2，1）．

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），

∵EF=DN，

∴（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，

解得x=或x=，

即点E的坐标为：（，）或（，）

综上可得满足条件的点E为E（﹣2，1）或：（，）或（，）．[来源:学科网ZXXK]