还剩28页未读，
继续阅读
2021年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学三模试卷 解析版
展开
这是一份2021年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学三模试卷 解析版，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学三模试卷
一、选择题
1．下列实数是无理数的是（ ）
A． B．1 C．0 D．﹣5
2．如图所示的工件的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．（2a）3＝6a3
C．（cos60°﹣）0＝1 D．a12÷a2＝a10
4．2020年，鄂尔多斯市规模以上煤炭工业企业生产原煤为64016.6万吨，将64016.6万用科学记数法表示为（ ）
A．6.40166×105 B．6.40166×106
C．6.40166×107 D．6.40166×108
5．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
6．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
7．下列说法中正确的是（ ）
①的算术平方根是3；②估计的值应该在6和7之间；③正五边形的内角和是540°；④函数中自变量x的取值范围是x≥﹣1．
A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④
8．如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，3），连接AC．若AC＝1，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
10．已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映S与t之间关系的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，数轴上所表示的x的取值范围为 ．
12．方程＝的解是 ．
13．不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
14．如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
15．在边长为5的正方形ABCD中，点E为CD上一点，连接BE，将△BCE沿着BE折叠得到△BC'E，连接AC'、DC'，若∠CDC'＝∠DAC'，且，则CE＝ ．
16．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，则B2021的坐标是 ．
三、解答题
17．（1）解不等式组，并写出它的所有的整数解的和．
（2）先化简，再求值：（a﹣1+）÷，其中a＝（﹣1）2021+（π﹣3）0+（）﹣1．
18．为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为多少度？并请补全条形统计图；
（3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
19．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．
（1）求学校到红色文化基地A的距离？
（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣8）、B（4，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（6，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜6），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，CF＝4，求tan∠CBF．
22．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
售价x（元/件）
55
60
65
销售量y（件）
700
600
500
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
23．（1）【问题背景】如图①，已知△ABC∽△ADE，请直接写出图中的另外一对相似三角形： ；
（2）【尝试应用】如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，求的值和∠DCE的度数；
（3）【拓展创新】如图③，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝3，请直接写出AD的长．
24．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列实数是无理数的是（ ）
A． B．1 C．0 D．﹣5
【分析】无限不循环小数是无理数，而1，0，﹣5是整数，也是有理数，因此是无理数．
【解答】解：无理数是无限不循环小数，而1，0，﹣5是有理数，
因此是无理数，
故选：A．
2．如图所示的工件的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且左上角一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．（2a）3＝6a3
C．（cos60°﹣）0＝1 D．a12÷a2＝a10
【分析】根据零指数幂、合并同类项、积的乘方与同底数幂的除法法则进行计算．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，故本选项错误；
B、（2a）3＝8a3，故本选项错误；
C、因为cos60°﹣＝0，且0的0零次幂没有意义，故本选项错误；
D、a12÷a2＝a10，故本选项正确；
故选：D．
4．2020年，鄂尔多斯市规模以上煤炭工业企业生产原煤为64016.6万吨，将64016.6万用科学记数法表示为（ ）
A．6.40166×105 B．6.40166×106
C．6.40166×107 D．6.40166×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：64016.6万＝640166000＝6.40166×108，
故选：D．
5．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝45°，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
6．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
【分析】找到出现次数最多的数据，即为众数；求出第10、11个数据的平均数即可得这组数据的中位数，从而得出答案．
【解答】解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为＝3（册），
故选：A．
7．下列说法中正确的是（ ）
①的算术平方根是3；②估计的值应该在6和7之间；③正五边形的内角和是540°；④函数中自变量x的取值范围是x≥﹣1．
A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④
【分析】①根据算术平方根的定义求解即可判断．
②求出整数部分，可得结论．
③利用多边形内角和公式求解可得结论．
④根据二次根式的被开方数是非负数，分母不能为0，判断即可．
【解答】解：①的算术平方根是3．正确；
②估计的值应该在6和7之间，原式＝4+整数部分是6，故正确；
③正五边形的内角和是540°，正确；
④函数中自变量x的取值范围是x≥﹣1．错误，且x≠2，
故选：B．
8．如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，3），连接AC．若AC＝1，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由作图可知DE是OA的垂直平分线，得AC＝OC＝1，在Rt△OCF中，由勾股定理得CF＝，再由△FOC∽△OBA，得＝，从而得出OB＝，AB＝，即可解决问题．
【解答】解：∵点F（0，3），
∴OF＝3，
由作图可知DE是OA的垂直平分线，
∴AC＝OC＝1，
在Rt△OCF中，由勾股定理得CF＝，
∴OH＝＝，
∴OA＝2OH＝，
∵∠AOC+∠FOH＝90°，
∠FOH+∠OFC＝90°，
∴∠AOC＝∠OFC，
又∠ABO＝∠FOC，
∴△FOC∽△OBA，
∴＝，
∴OB＝，AB＝，
∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，
∴k＝，
故选：C．
9．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案．
【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC于H，
由三角形面积公式得：y＝＝30，
解得EH＝AB＝6，
∴AE＝＝＝8（cm），
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴AD＝AE+DE＝8+4＝12（cm），
∴矩形的面积为12×6＝72（cm2）．
故选：C．
10．已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映S与t之间关系的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分点A在D点的左侧、点A在正方形内、点A在G点的右侧三种情况，分别求出函数的表达式即可求解．
【解答】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，
当点A在D点的左侧时，
设AC交DE于点H，
则CE＝t，HE＝CEtan∠ACB＝t×＝t，
则S＝S△CEH＝×CE×HE＝×t×t＝t2，图象为开口向上的二次函数；
当点A正方形DEFG内部时，
同理可得：S＝a2﹣（a﹣t）2＝﹣t2+at﹣a2，图象为开口向下的二次函数；
点B在EF中点的右侧，
同理可得：S＝S△BFH＝×BF×HF＝×（2a﹣t）×（2a﹣t）＝（2a﹣t）2，图象为开口向上的二次函数．
故选：A．
二、填空题
11．如图，数轴上所表示的x的取值范围为 ﹣1＜x≤3 ．
【分析】根据数轴上表示的不等式的解集即可得结论．
【解答】解：观察数轴可知：
x＞﹣1，且x≤3，
所以x的取值范围为﹣1＜x≤3．
故答案为﹣1＜x≤3．
12．方程＝的解是 x＝ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程＝，
去分母得：x2+2x＝x2﹣2x+1，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故答案为：x＝．
13．不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵袋子中装有8个小球，其中红球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．
故答案为：．
14．如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD进行计算．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵扇形AOB中，OA＝OB＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴△BOC是等边三角形，
∵过C作OA的垂线交AO于点D，
∴∠ODC＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴OD＝OC＝，CD＝OC＝1，
∴图中阴影部分的面积═S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD
＝﹣+
＝π﹣．
故答案为π﹣．
15．在边长为5的正方形ABCD中，点E为CD上一点，连接BE，将△BCE沿着BE折叠得到△BC'E，连接AC'、DC'，若∠CDC'＝∠DAC'，且，则CE＝ ．
【分析】过C'作C'F⊥CD于F，依据∠AC'D＝90°，，AD＝5，即可得到DC'＝，进而得到C'F＝1，DF＝2，设CE＝C'E＝x，则EF＝3﹣x，在Rt△C'EF中，依据EF2+C'F2＝C'E2，即可得到x的值．
【解答】解：如图所示，过C'作C'F⊥CD于F，
∵∠CDC'＝∠DAC'，
∴∠CDC'+∠ADC'＝∠DAC'+∠ADC'＝90°，
∴∠AC'D＝90°，
∵，AD＝5，
∴DC'＝，
∵tan∠DC'F＝，
∴C'F＝1，DF＝2，
设CE＝C'E＝x，则EF＝3﹣x，
∵Rt△C'EF中，EF2+C'F2＝C'E2，
∴（3﹣x）2+12＝x2，
解得x＝，
∴CE＝，
故答案为：．
16．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，则B2021的坐标是 （0，2） ．
【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1＝2，设A2（m，2+m），
则有m（2+m）＝1，
解得m＝﹣1，
∴OB2＝2，
设A3（a，2+a），则有a（2+a）＝1，
解得a＝﹣，
∴OB3＝2，
同法可得，OB4＝2，
∴OBn＝2，
∴Bn（0，2），
∴B2021（0，2），
故答案为：（0，2）．
三、解答题
17．（1）解不等式组，并写出它的所有的整数解的和．
（2）先化简，再求值：（a﹣1+）÷，其中a＝（﹣1）2021+（π﹣3）0+（）﹣1．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）先计算括号内分式的加法、将除法转化为乘法，再约分即可化简原式，继而将化简后的a的值代入计算即可．
【解答】解：（1）解不等式4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，
解不等式x﹣4＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，
∴不等式组整数解的和为﹣3﹣2﹣1+0+1＝﹣5；
（2）原式＝（+）•
＝•
＝，
当a＝（﹣1）2021+（π﹣3）0+（）﹣1＝﹣1+1+4＝4时，
原式＝＝．
18．为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为多少度？并请补全条形统计图；
（3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）用360°乘以D等级人数所占的百分比得出等级D所对应的扇形的圆心角度数；用总人数减去其他等级的人数，求出C等级的人数，从而补全统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次共调查学生13÷26%＝50（名）；
（2）扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为360°×＝108°，
C等级人数为50﹣（4+13+15）＝18（名），
补全图形如下：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙的结果数为2，
所以恰好同时选中甲、乙的概率＝．
19．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．
（1）求学校到红色文化基地A的距离？
（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
【分析】（1）过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD＝CD，设BD＝xkm，则CD＝xkm，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD＝AC列出方程问题得解；
（2）根据速度＝求得第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷35＝（h），于是得到结论．
【解答】解：（1）作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝xkm，则CD＝xkm，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2xkm，tan30°＝，
∴＝，
∴AD＝x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB＝＝，
∴BC＝x，
∵CD+AD＝30+30，
∴x+＝30+30，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60（km）；
（2）第二组先到达目的地，
理由：∵BD＝30km，
∴BC＝x＝30km，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷35＝（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第二组先到达目的地．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣8）、B（4，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（6，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜6），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【分析】（1）由A（0，﹣8），B（4，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；
（2）根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．
【解答】解：（1）把A（0，﹣8），B（4，0）代入一次函数y＝kx+b得，，
解得，，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣8，
当x＝6时，y＝2×6﹣8＝4，
∴点C（6，4），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝6×4＝24，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，），点Q（n，2n﹣8），
∴PQ＝﹣（2n﹣8），
∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣8）]＝﹣n2+4n+12＝﹣（n﹣2）2+16，
∵﹣1＜0，
∴当n＝2时，S最大＝16，
∴△DPQ面积的最大值是4．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，CF＝4，求tan∠CBF．
【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到直角，从而证明∠ABF＝90°，于是得到结论；
（2）过C作CH⊥BF于H，根据勾股定理可求解BF得长，根据相似三角形的性质求得CH的长，进而可求解BH的长，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过C作CH⊥BF于H，
∵AB＝AC，⊙O的直径为3，
∴AC＝3，
∵CF＝4，∠ABF＝90°，
∴BF＝，
∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，
∴△CHF∽△ABF，
∴，
∴，
∴CH＝，
∴HF＝，
∴BH＝BF−HF＝，
∴tan∠CBF＝．
22．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
售价x（元/件）
55
60
65
销售量y（件）
700
600
500
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
（3）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
则，
解得：，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+1800；
（2）（x﹣50）（﹣20x+1800）＝6000，
解得，x1＝60，x2＝80，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为60元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+1800）
＝﹣20x2+2800x﹣90000
＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，
∴，
解得：50≤x≤75，
∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
∴售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．
23．（1）【问题背景】如图①，已知△ABC∽△ADE，请直接写出图中的另外一对相似三角形： △ABD∽△ACE ；
（2）【尝试应用】如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，求的值和∠DCE的度数；
（3）【拓展创新】如图③，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝3，请直接写出AD的长．
【分析】（1）【问题背景】由题意得出，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论；
（2）【尝试应用】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）【拓展创新】过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质和直角三角形的性质可求出AD的长．
【解答】（1）【问题背景】
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE，
故答案为：△ABD∽△ACE；
（2）【尝试应用】
解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠B＝30°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴＝tan30°＝，
∴，
∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°；
（3）【拓展创新】
解：如图③，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠ADM，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴＝，
∵AC＝3，
∴BM＝3，
∴AM＝＝＝，
∴AD＝AM＝．
24．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）•（x﹣3），代入点C即可；
（2）表示出PQ＝﹣，而∠PQN＝45°，故PN＝（﹣），进而可求得；
（3）分为AQ＝AC，AQ＝CQ和AC＝CQ，列方程求得．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）•（x﹣3），
∴a•2×（﹣3）＝3，
∴a＝﹣，
∴抛物线的关系式是y＝﹣（x+2）•（x﹣3）＝﹣x2++3；
（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的表达式是y＝﹣x+3，
∴Q（m，﹣m+3），
∴QM＝﹣m+3，
∵P（m，﹣），
∴PM＝﹣，
∴PQ＝PM﹣QM＝﹣，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵QM∥OC，
∴∠PQN＝∠OCB＝45°，
∴PN＝PQ•sin∠PQN＝（﹣）
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，PN最大＝；
（3）设Q（m，﹣m+3），
AC2＝22+32＝13，
AQ2＝（m+2）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣2m+13，
CQ2＝m2+m2＝2m2，
当AQ＝AC时，
2m2﹣2m+13＝13，
∴m1＝0（舍去），m2＝1，
∴Q1（1，2），
当AC＝CQ时，
2m2＝13，
∴m3＝，m4＝﹣（舍去），
∴Q2（，3﹣），
当AQ＝CQ时，
2m2﹣2m+13＝2m2，
∴m＝＞3，故舍去，
综上所述，Q（1，2）或（，3﹣）．
2021年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学三模试卷
一、选择题
1．下列实数是无理数的是（ ）
A． B．1 C．0 D．﹣5
2．如图所示的工件的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．（2a）3＝6a3
C．（cos60°﹣）0＝1 D．a12÷a2＝a10
4．2020年，鄂尔多斯市规模以上煤炭工业企业生产原煤为64016.6万吨，将64016.6万用科学记数法表示为（ ）
A．6.40166×105 B．6.40166×106
C．6.40166×107 D．6.40166×108
5．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
6．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
7．下列说法中正确的是（ ）
①的算术平方根是3；②估计的值应该在6和7之间；③正五边形的内角和是540°；④函数中自变量x的取值范围是x≥﹣1．
A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④
8．如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，3），连接AC．若AC＝1，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
10．已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映S与t之间关系的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，数轴上所表示的x的取值范围为 ．
12．方程＝的解是 ．
13．不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
14．如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
15．在边长为5的正方形ABCD中，点E为CD上一点，连接BE，将△BCE沿着BE折叠得到△BC'E，连接AC'、DC'，若∠CDC'＝∠DAC'，且，则CE＝ ．
16．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，则B2021的坐标是 ．
三、解答题
17．（1）解不等式组，并写出它的所有的整数解的和．
（2）先化简，再求值：（a﹣1+）÷，其中a＝（﹣1）2021+（π﹣3）0+（）﹣1．
18．为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为多少度？并请补全条形统计图；
（3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
19．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．
（1）求学校到红色文化基地A的距离？
（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣8）、B（4，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（6，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜6），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，CF＝4，求tan∠CBF．
22．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
售价x（元/件）
55
60
65
销售量y（件）
700
600
500
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
23．（1）【问题背景】如图①，已知△ABC∽△ADE，请直接写出图中的另外一对相似三角形： ；
（2）【尝试应用】如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，求的值和∠DCE的度数；
（3）【拓展创新】如图③，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝3，请直接写出AD的长．
24．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列实数是无理数的是（ ）
A． B．1 C．0 D．﹣5
【分析】无限不循环小数是无理数，而1，0，﹣5是整数，也是有理数，因此是无理数．
【解答】解：无理数是无限不循环小数，而1，0，﹣5是有理数，
因此是无理数，
故选：A．
2．如图所示的工件的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且左上角一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．（2a）3＝6a3
C．（cos60°﹣）0＝1 D．a12÷a2＝a10
【分析】根据零指数幂、合并同类项、积的乘方与同底数幂的除法法则进行计算．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，故本选项错误；
B、（2a）3＝8a3，故本选项错误；
C、因为cos60°﹣＝0，且0的0零次幂没有意义，故本选项错误；
D、a12÷a2＝a10，故本选项正确；
故选：D．
4．2020年，鄂尔多斯市规模以上煤炭工业企业生产原煤为64016.6万吨，将64016.6万用科学记数法表示为（ ）
A．6.40166×105 B．6.40166×106
C．6.40166×107 D．6.40166×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：64016.6万＝640166000＝6.40166×108，
故选：D．
5．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝45°，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
6．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
【分析】找到出现次数最多的数据，即为众数；求出第10、11个数据的平均数即可得这组数据的中位数，从而得出答案．
【解答】解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为＝3（册），
故选：A．
7．下列说法中正确的是（ ）
①的算术平方根是3；②估计的值应该在6和7之间；③正五边形的内角和是540°；④函数中自变量x的取值范围是x≥﹣1．
A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④
【分析】①根据算术平方根的定义求解即可判断．
②求出整数部分，可得结论．
③利用多边形内角和公式求解可得结论．
④根据二次根式的被开方数是非负数，分母不能为0，判断即可．
【解答】解：①的算术平方根是3．正确；
②估计的值应该在6和7之间，原式＝4+整数部分是6，故正确；
③正五边形的内角和是540°，正确；
④函数中自变量x的取值范围是x≥﹣1．错误，且x≠2，
故选：B．
8．如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，3），连接AC．若AC＝1，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由作图可知DE是OA的垂直平分线，得AC＝OC＝1，在Rt△OCF中，由勾股定理得CF＝，再由△FOC∽△OBA，得＝，从而得出OB＝，AB＝，即可解决问题．
【解答】解：∵点F（0，3），
∴OF＝3，
由作图可知DE是OA的垂直平分线，
∴AC＝OC＝1，
在Rt△OCF中，由勾股定理得CF＝，
∴OH＝＝，
∴OA＝2OH＝，
∵∠AOC+∠FOH＝90°，
∠FOH+∠OFC＝90°，
∴∠AOC＝∠OFC，
又∠ABO＝∠FOC，
∴△FOC∽△OBA，
∴＝，
∴OB＝，AB＝，
∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，
∴k＝，
故选：C．
9．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案．
【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC于H，
由三角形面积公式得：y＝＝30，
解得EH＝AB＝6，
∴AE＝＝＝8（cm），
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴AD＝AE+DE＝8+4＝12（cm），
∴矩形的面积为12×6＝72（cm2）．
故选：C．
10．已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映S与t之间关系的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分点A在D点的左侧、点A在正方形内、点A在G点的右侧三种情况，分别求出函数的表达式即可求解．
【解答】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，
当点A在D点的左侧时，
设AC交DE于点H，
则CE＝t，HE＝CEtan∠ACB＝t×＝t，
则S＝S△CEH＝×CE×HE＝×t×t＝t2，图象为开口向上的二次函数；
当点A正方形DEFG内部时，
同理可得：S＝a2﹣（a﹣t）2＝﹣t2+at﹣a2，图象为开口向下的二次函数；
点B在EF中点的右侧，
同理可得：S＝S△BFH＝×BF×HF＝×（2a﹣t）×（2a﹣t）＝（2a﹣t）2，图象为开口向上的二次函数．
故选：A．
二、填空题
11．如图，数轴上所表示的x的取值范围为 ﹣1＜x≤3 ．
【分析】根据数轴上表示的不等式的解集即可得结论．
【解答】解：观察数轴可知：
x＞﹣1，且x≤3，
所以x的取值范围为﹣1＜x≤3．
故答案为﹣1＜x≤3．
12．方程＝的解是 x＝ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程＝，
去分母得：x2+2x＝x2﹣2x+1，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故答案为：x＝．
13．不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵袋子中装有8个小球，其中红球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．
故答案为：．
14．如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD进行计算．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵扇形AOB中，OA＝OB＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴△BOC是等边三角形，
∵过C作OA的垂线交AO于点D，
∴∠ODC＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴OD＝OC＝，CD＝OC＝1，
∴图中阴影部分的面积═S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD
＝﹣+
＝π﹣．
故答案为π﹣．
15．在边长为5的正方形ABCD中，点E为CD上一点，连接BE，将△BCE沿着BE折叠得到△BC'E，连接AC'、DC'，若∠CDC'＝∠DAC'，且，则CE＝ ．
【分析】过C'作C'F⊥CD于F，依据∠AC'D＝90°，，AD＝5，即可得到DC'＝，进而得到C'F＝1，DF＝2，设CE＝C'E＝x，则EF＝3﹣x，在Rt△C'EF中，依据EF2+C'F2＝C'E2，即可得到x的值．
【解答】解：如图所示，过C'作C'F⊥CD于F，
∵∠CDC'＝∠DAC'，
∴∠CDC'+∠ADC'＝∠DAC'+∠ADC'＝90°，
∴∠AC'D＝90°，
∵，AD＝5，
∴DC'＝，
∵tan∠DC'F＝，
∴C'F＝1，DF＝2，
设CE＝C'E＝x，则EF＝3﹣x，
∵Rt△C'EF中，EF2+C'F2＝C'E2，
∴（3﹣x）2+12＝x2，
解得x＝，
∴CE＝，
故答案为：．
16．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，则B2021的坐标是 （0，2） ．
【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1＝2，设A2（m，2+m），
则有m（2+m）＝1，
解得m＝﹣1，
∴OB2＝2，
设A3（a，2+a），则有a（2+a）＝1，
解得a＝﹣，
∴OB3＝2，
同法可得，OB4＝2，
∴OBn＝2，
∴Bn（0，2），
∴B2021（0，2），
故答案为：（0，2）．
三、解答题
17．（1）解不等式组，并写出它的所有的整数解的和．
（2）先化简，再求值：（a﹣1+）÷，其中a＝（﹣1）2021+（π﹣3）0+（）﹣1．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）先计算括号内分式的加法、将除法转化为乘法，再约分即可化简原式，继而将化简后的a的值代入计算即可．
【解答】解：（1）解不等式4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，
解不等式x﹣4＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，
∴不等式组整数解的和为﹣3﹣2﹣1+0+1＝﹣5；
（2）原式＝（+）•
＝•
＝，
当a＝（﹣1）2021+（π﹣3）0+（）﹣1＝﹣1+1+4＝4时，
原式＝＝．
18．为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为多少度？并请补全条形统计图；
（3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）用360°乘以D等级人数所占的百分比得出等级D所对应的扇形的圆心角度数；用总人数减去其他等级的人数，求出C等级的人数，从而补全统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次共调查学生13÷26%＝50（名）；
（2）扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为360°×＝108°，
C等级人数为50﹣（4+13+15）＝18（名），
补全图形如下：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙的结果数为2，
所以恰好同时选中甲、乙的概率＝．
19．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．
（1）求学校到红色文化基地A的距离？
（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
【分析】（1）过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD＝CD，设BD＝xkm，则CD＝xkm，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD＝AC列出方程问题得解；
（2）根据速度＝求得第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷35＝（h），于是得到结论．
【解答】解：（1）作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝xkm，则CD＝xkm，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2xkm，tan30°＝，
∴＝，
∴AD＝x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB＝＝，
∴BC＝x，
∵CD+AD＝30+30，
∴x+＝30+30，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60（km）；
（2）第二组先到达目的地，
理由：∵BD＝30km，
∴BC＝x＝30km，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷35＝（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第二组先到达目的地．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣8）、B（4，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（6，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜6），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【分析】（1）由A（0，﹣8），B（4，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；
（2）根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．
【解答】解：（1）把A（0，﹣8），B（4，0）代入一次函数y＝kx+b得，，
解得，，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣8，
当x＝6时，y＝2×6﹣8＝4，
∴点C（6，4），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝6×4＝24，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，），点Q（n，2n﹣8），
∴PQ＝﹣（2n﹣8），
∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣8）]＝﹣n2+4n+12＝﹣（n﹣2）2+16，
∵﹣1＜0，
∴当n＝2时，S最大＝16，
∴△DPQ面积的最大值是4．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，CF＝4，求tan∠CBF．
【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到直角，从而证明∠ABF＝90°，于是得到结论；
（2）过C作CH⊥BF于H，根据勾股定理可求解BF得长，根据相似三角形的性质求得CH的长，进而可求解BH的长，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过C作CH⊥BF于H，
∵AB＝AC，⊙O的直径为3，
∴AC＝3，
∵CF＝4，∠ABF＝90°，
∴BF＝，
∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，
∴△CHF∽△ABF，
∴，
∴，
∴CH＝，
∴HF＝，
∴BH＝BF−HF＝，
∴tan∠CBF＝．
22．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
售价x（元/件）
55
60
65
销售量y（件）
700
600
500
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
（3）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
则，
解得：，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+1800；
（2）（x﹣50）（﹣20x+1800）＝6000，
解得，x1＝60，x2＝80，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为60元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+1800）
＝﹣20x2+2800x﹣90000
＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，
∴，
解得：50≤x≤75，
∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
∴售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．
23．（1）【问题背景】如图①，已知△ABC∽△ADE，请直接写出图中的另外一对相似三角形： △ABD∽△ACE ；
（2）【尝试应用】如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，求的值和∠DCE的度数；
（3）【拓展创新】如图③，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝3，请直接写出AD的长．
【分析】（1）【问题背景】由题意得出，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论；
（2）【尝试应用】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）【拓展创新】过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质和直角三角形的性质可求出AD的长．
【解答】（1）【问题背景】
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE，
故答案为：△ABD∽△ACE；
（2）【尝试应用】
解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠B＝30°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴＝tan30°＝，
∴，
∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°；
（3）【拓展创新】
解：如图③，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠ADM，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴＝，
∵AC＝3，
∴BM＝3，
∴AM＝＝＝，
∴AD＝AM＝．
24．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）•（x﹣3），代入点C即可；
（2）表示出PQ＝﹣，而∠PQN＝45°，故PN＝（﹣），进而可求得；
（3）分为AQ＝AC，AQ＝CQ和AC＝CQ，列方程求得．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）•（x﹣3），
∴a•2×（﹣3）＝3，
∴a＝﹣，
∴抛物线的关系式是y＝﹣（x+2）•（x﹣3）＝﹣x2++3；
（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的表达式是y＝﹣x+3，
∴Q（m，﹣m+3），
∴QM＝﹣m+3，
∵P（m，﹣），
∴PM＝﹣，
∴PQ＝PM﹣QM＝﹣，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵QM∥OC，
∴∠PQN＝∠OCB＝45°，
∴PN＝PQ•sin∠PQN＝（﹣）
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，PN最大＝；
（3）设Q（m，﹣m+3），
AC2＝22+32＝13，
AQ2＝（m+2）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣2m+13，
CQ2＝m2+m2＝2m2，
当AQ＝AC时，
2m2﹣2m+13＝13，
∴m1＝0（舍去），m2＝1，
∴Q1（1，2），
当AC＝CQ时，
2m2＝13，
∴m3＝，m4＝﹣（舍去），
∴Q2（，3﹣），
当AQ＝CQ时，
2m2﹣2m+13＝2m2，
∴m＝＞3，故舍去，
综上所述，Q（1，2）或（，3﹣）．
相关试卷
2022年内蒙古鄂尔多斯市中考数学四模试卷含解析： 这是一份2022年内蒙古鄂尔多斯市中考数学四模试卷含解析，共18页。试卷主要包含了二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
2022年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学一模试卷： 这是一份2022年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学一模试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年内蒙古鄂尔多斯市杭锦旗中考数学二模试卷 解析版： 这是一份2021年内蒙古鄂尔多斯市杭锦旗中考数学二模试卷 解析版，共36页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
