2020-2021学年第七章 万有引力与宇宙航行3 万有引力理论的成就学案及答案

这是一份2020-2021学年第七章 万有引力与宇宙航行3 万有引力理论的成就学案及答案，共8页。学案主要包含了学习目标，思维脉络等内容，欢迎下载使用。

目标体系构建
明确目标·梳理脉络
【学习目标】
1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2．会用万有引力定律计算天体的质量。
3．掌握运用万有引力定律研究天体问题的思路、方法。
【思维脉络】
课前预习反馈
教材梳理·落实新知
知识点 1 计算地球的质量
1．原理
若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力近似等于地球对物体的__引力__。
2．关系式
mg＝__Geq \f(mM,R2)__
3．结果
地球的质量为：M＝__eq \f(gR2,G)__＝5.96×1024 kg
知识点 2 计算天体的质量
1．计算太阳的质量
(1)原理：将行星的运动近似看作匀速圆周运动，行星做圆周运动的向心力由__万有引力__来提供。
(2)关系式：Geq \f(Mm,r2)＝__m(eq \f(2π,T))2r__
(3)结果：M＝__eq \f(4π2r3,GT2)__。
2．其他行星的质量计算
利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星与行星间的__距离__和转动__周期__，同样可得出行星的质量。
知识点 3 发现未知天体
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生__亚当斯__和法国年轻的天文学家
__勒维耶__根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的__伽勒__在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了__冥王星__、阋神星等几个较大的天体。
预习自测
『判一判』
(1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。(×)
(2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。(√)
(3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。(×)
(4)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。(×)
(5)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量。(×)
(6)若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度，则可以求出太阳的质量。(√)
『选一选』
土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( B )
A．5×1017kg B．5×1026kg
C．7×1033kgD．4×1036kg
解析：由万有引力定律得
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
代入数据得M＝5×1026kg，
故选项B正确。
『想一想』
月球是地球的唯一一颗天然卫星，月球已经伴随地球超过46亿年，根据月球的公转周期和轨道半径，我们能否推导出月球的质量，能否推导出地球的质量？
解析：能求出地球的质量。利用Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r求出的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。
课内互动探究
细研深究·破疑解难
探究
天体质量和密度的计算
┃┃情境导入■
观察下面两幅图片，请思考：
(1)如果知道自己的重力，你能否求出地球的质量；
(2)如何能测得太阳的质量呢？
提示：(1)人的重力近似认为等于受到的万有引力，根据mg＝Geq \f(Mm,R2)可求地球质量；(2)地球绕太阳转动时的向心力由万有引力提供，根据eq \f(GMm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r可求太阳质量。
┃┃要点提炼■
求天体质量和密度的几种方法
特别提醒
(1)利用万有引力提供向心力的方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量。
(2)要注意R、r的区分。R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径。
┃┃典例剖析■
典题1 为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M。已知地球半径R＝6.4×106 m，地球质量m＝6×1024 kg，日地中心的距离r＝1.5×1011 m，地球表面处的重力加速度g＝10 m/s2,1年约为3.2×107 s，试估算目前太阳的质量M(保留两位有效数字，引力常量未知)
思路引导：求天体质量的方法主要有两大类，一类是利用此天体的一个卫星(或行星)绕它做匀速圆周运动的有关规律来求，另一类是利用天体表面处的重力加速度来求，这两类方法本质上都是对万有引力定律的应用。
解析：设T为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得，
Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r①
对地球表面物体m′，有m′g＝Geq \f(mm′,R2)②
①②两式联立，得M＝eq \f(4π2mr3,gR2T2)代入已知数据得
M＝2.0×1030 kg。
答案：2.0×1030 kg
┃┃对点训练■
1．(多选)(2020·山东烟台市三校高一下学期联考)2013年6月11日17时38分，我国利用“神舟十号”飞船将聂海胜、张晓光、王亚平三名宇航员送入太空。设宇航员测出自己绕地球做匀速圆周运动的周期为T，离地高度为H，地球半径为R，则根据T、H、R和引力常量G，能计算出的物理量是( ABD )
A．地球的质量 B．地球的平均密度
C．飞船所需的向心力D．飞船线速度的大小
解析：由Geq \f(Mm,R＋H2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋H)，可得：M＝eq \f(4π2R＋H3,GT2)，选项A可求出；又根据ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，选项B可求出；根据v＝eq \f(2πR＋H,T)，选项D可求出；由于飞船的质量未知，所以无法确定飞船的向心力。
探究
应用万有引力定律分析计算天体运动的问题
┃┃情境导入■
已知地球、火星都绕太阳转动，火星的公转半径是地球的1.5倍。根据以上材料：
(1)地球和火星，谁绕太阳转一圈时间长？公转周期之比是多少？
(2)地球和火星，谁绕太阳运动的速度大？运动速度之比是多少？
提示：(1)火星；eq \f(2\r(6),9) (2)地球；eq \f(\r(6),2)
┃┃要点提炼■
1．两条思路
(1)万有引力提供天体运动的向心力
质量为m的行星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律及圆周运动知识得Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝m(eq \f(2π,T))2r。
(2)黄金替换
质量为m的物体在地球(星体)表面受到的万有引力等于其重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg。可以得到：GM＝gR2
由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住。所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了万有引力常量G值和地球的质量M值，非常方便。
2．行星运动的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
(1)线速度v：
由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，
可见，r越大，v越小；r越小，v越大。
(2)角速度ω：
由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，
可见，r越大，ω越小；r越小，ω越大。
(3)周期T：
由Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，
可见，r越大，T越大；r越小，T越小。
(4)向心加速度an：
由Geq \f(Mm,r2)＝man得an＝eq \f(GM,r2)，
可见，r越大，an越小；r越小，an越大。
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。
特别提醒
应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球公转一周时间是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s2等。
┃┃典例剖析■
典题2 如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( C )
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
思路引导：根据太阳对行星的万有引力提供行星运动的向心力求解。
解析：由F＝eq \f(GMm,r2)可知，若m和r不相同，则F不一定相同，A错；据eq \f(GMm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，因此行星的周期均大于地球的公转周期，B错；由a＝eq \f(GM,r2)可知r越小，a越大，C正确；由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，r越小，v越大，D错。
┃┃对点训练■
2．(多选)2003年8月29日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观。这是6万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有5 576万公里，为人类研究火星提供了最佳时机。如图所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，则有( BD )
A．2003年8月29日，火星的线速度大于地球的线速度
B．2003年8月29日，火星的线速度小于地球的线速度
C．2004年8月29日，火星又回到了该位置
D．2004年8月29日，火星还没有回到该位置
解析：火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可得：v＝eq \r(\f(GM,r))，所以轨道半径较大的火星线速度小，B正确；火星轨道半径大，线速度小，火星运动的周期较大，所以一年后地球回到该位置，而火星则还没有回到，D正确。
核心素养提升
以题说法·启智培优
易错点：对物理概念理解不透彻，盲目套用公式导致错误
案例 月球绕地球做匀速圆周运动，已知地球表面的重力加速度为g0，地球质量M与月球质量m之比eq \f(M,m)＝81，地球半径R0与月球半径R之比eq \f(R0,R)＝3.6，地球与月球之间的距离r与地球的半径R0之比eq \f(r,R0)＝60。求月球表面的重力加速度g与地球表面的重力加速度g0的比值。
易错分析：对于本题，部分同学由Geq \f(mM,R2)＝mg得eq \f(g,g0)＝eq \f(R\\al(2,0),r2)＝eq \f(1,3 600)，这是错误的，错误的原因是对公式Geq \f(Mm,R2)＝mg中各物理量的含义认识不清。
正确解答：由Geq \f(Mm,R2)＝mg得地球及月球表面的重力加速度分别为g0＝eq \f(GM,R\\al(2,0))、g＝eq \f(Gm,R2)，所以eq \f(g,g0)＝eq \f(mR\\al(2,0),MR2)＝eq \f(3.62,81)＝0.16。
素养警示
根据万有引力定律求解天体运动问题时，要明确公式中各物理量的含义，不可盲目套用公式。另外，要注意天体表面重力加速度g与天体在圆周轨道上的向心加速度a的区别，如月球表面重力加速度g＝eq \f(Gm,R2)，而在环绕轨道上的向心加速度a＝eq \f(Gm,r2)。另外，距离月球r处的重力加速度g′与a在数值上是相等的。
情景及求解思路
结果
天体
质量
的计
算
①已知所求星体的半径R及其表面的重力加速度g，则Geq \f(Mm,R2)＝mg
M＝eq \f(gR2,G)
②质量为m的行星绕所求星体做匀速圆周运动，万有引力提供行星所需的向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝m(eq \f(2π,T))2r
①M＝eq \f(rv2,G)
②M＝eq \f(r3ω2,G)
③M＝eq \f(4π2r3,GT2)
天体
密度
的计算
ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当星球绕中心天体表面运行时，r＝R：ρ＝eq \f(3π,GT2)