备战2022 中考数学 人教版 第七讲 一元二次方程练习题

这是一份备战2022 中考数学 人教版 第七讲 一元二次方程练习题，文件包含备战2022中考数学人教版第七讲一元二次方程学生版doc、备战2022中考数学人教版第七讲一元二次方程教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
  第七讲　一元二次方程一元二次方程的有关概念1．定义的三要素：(1)只含有__一__个未知数．(2)所含未知数的最高次数是__2__．(3)必须是__整式__方程．2．一般形式：y＝__ax2＋bx＋c__(a，b，c是常数，a≠0)，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边__相等__的未知数的值．1．一元二次方程二次项系数不为0.2．找各项系数时，要将方程化为一般形式，并注意每项的符号．解一元二次方程解法形式方程的根直接开平方法x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0)x＝或x＝配方法(x－m)2＝n(n≥0)x＝__m±__公式法ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)x＝因式分解法(x－x1)(x－x2)＝0x＝__x1或x2__1．x(x－7)＝0的解为x＝7.(×)2．x2－6x＝3配方得(x－3)2＝6.(×)3．x(x－1)＝7(x－1)，约分得x＝7.(×)一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1．一元二次方程根的判别式定义b2－4ac叫做一元二次方程y＝ax2＋bx＋c根的判别式，通常用“Δ”表示．与根的关系Δ＞0⇔方程有两个__不相等__的实数根．Δ＝0⇔方程有两个__相等__的实数根．Δ＜0⇔方程__没有__实数根．2.一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实数根分别为x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．　对于二次项系数含有字母的方程，根据根的情况求字母的取值范围时1．若指明是一元二次方程，则隐含二次项系数不为0这一条件；2．若未明确方程类型，则需分二次项系数为0和不为0两种情况进行讨论．一元二次方程的实际应用1．平均增长率(下降率)问题：设a为原来量，当m为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量时，则__a(1＋m)2__＝b；当m为平均下降率，2为下降次数，b为下降后的量时，则__a(1－m)2__＝b.2．赛制问题：(1)单循环赛：n支球队，总比赛次数为．(2)双循环赛：n支球队，总比赛次数为__n(n－1)__．3．面积问题：(1)规则图形：套用面积公式列方程．(2)不规则图形：通过割补变为规则图形后，利用面积间的和差关系列方程．1．当一元二次方程不是一般形式时，要先把方程化为一般形式．2．使用x1＋x2＝－时，切记不要漏掉“－”号．3．应用根与系数关系解题的前提是：①二次项系数a≠0.②判别式Δ≥0.考点一　一元二次方程根的应用【典例1】(2021·聊城中考)关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是－2，则k值为(B)A．2或4      B．0或4　C．－2或0      D．－2或2【思路点拨】直接把x＝－2代入方程x2＋4kx＋2k2＝4得4－8k＋2k2＝4，然后解关于k的一元二次方程即可．【例题变式】(变换问法)(2021·青海中考)已知m是一元二次方程x2＋x－6＝0的一个根，则代数式m2＋m的值等于__6__．1．(2021·长沙中考)若关于x的方程x2－kx－12＝0的一个根为3，则k的值为__－1__．2．(2021·宿迁中考)若关于x的一元二次方程x2＋ax－6＝0的一个根是3，则a＝__－1__．3．若(a－2)xa2－2＝3是关于x的一元二次方程，则a的值是(C)A．0    B．2    C．－2    D．±24．(2020·成都模拟)已知m是方程x2－3x＋1＝0的一个根，则代数式(m－3)2＋(m＋2)(m－2)的值是__3__．考点二　一元二次方程的解法【典例2】(2021·常德中考)解方程：x2－x－2＝0.【自主解答】分解因式得：(x－2)(x＋1)＝0，可得x－2＝0或x＋1＝0，解得：x1＝2，x2＝－1.一元二次方程的解法选择方程没有一次项，直接开方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商量；b、c相等都为零，等根是零不要忘；b、c同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方．1．(2021·丽水中考)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是(D)A．(x－2)2＝5      B．(x－2)2＝3　C．(x＋2)2＝5      D．(x＋2)2＝32．(2021·临沂中考)方程x2－x＝56的根是(C)A．x1＝7，x2＝8　    B．x1＝7，x2＝－8　C．x1＝－7，x2＝8    D．x1＝－7，x2＝－83．(2021·齐齐哈尔中考)解方程：x(x－7)＝8(7－x).【解析】∵x(x－7)＝8(7－x)，∴x(x－7)＋8(x－7)＝0，∴(x－7)(x＋8)＝0，∴x1＝7，x2＝－8.4．(2021·荆州中考)已知：a是不等式5(a－2)＋8＜6(a－1)＋7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2＋2ax＋a＋1＝0.【解析】解不等式5(a－2)＋8＜6(a－1)＋7，得a＞－3，∴最小整数解为－2，将a＝－2代入方程x2＋2ax＋a＋1＝0，得x2－4x－1＝0，配方，得(x－2)2＝5.直接开平方，得x－2＝±.解得x1＝2＋，x2＝2－.考点三　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【典例3】(2021·黄石中考)已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根．(1)求m的取值范围．(2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x＋x＝12，求m的值．【思路点拨】(1)→(2)→→ 【自主解答】(1)根据题意得Δ＝(2m)2－4(m2＋m)≥0，解得m≤0.故m的取值范围是m≤0.(2)根据题意得x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋m，∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝12，∴(－2m)2－2(m2＋m)＝12，即m2－m－6＝0，解得m1＝－2，m2＝3(舍去).故m的值为－2.1．利用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系解题时，都要注意二次项系数不能为0这一隐含条件．2．应用根与系数的关系解题时要注意判别式Δ≥0这一前提条件．1．(2021·怀化中考)对于一元二次方程2x2－3x＋4＝0，则它根的情况为(A)A．没有实数根       B．两根之和是3C．两根之积是－2      D．有两个不相等的实数根2．(2021·广安中考)关于x的一元二次方程(a＋2)x2－3x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是(A)A．a≤且a≠－2      B．a≤C．a＜且a≠－2      D．a＜3．(2021·济宁中考)已知m，n是一元二次方程x2＋x－2 021＝0的两个实数根，则代数式m2＋2m＋n的值等于(B)A．2 019　　　B．2 020　　　C．2 021　　　D．2 0224．(2021·南京中考)设x1，x2是关于x的方程x2－3x＋k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝__2__．5．(2021·北京中考)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0.(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．【解析】(1)∵a＝1，b＝－4m，c＝3m2，∴Δ＝b2－4ac＝(－4m)2－4×1×3m2＝4m2.∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，∴原方程总有两个实数根．(2)∵x2－4mx＋3m2＝0，即(x－m)(x－3m)＝0，∴x1＝m，x2＝3m.∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，∴3m－m＝2，∴m＝1.考点四　一元二次方程的实际应用【典例4】(2021·菏泽中考)列方程(组)解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3 640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？【思路点拨】设降低x元，超市每天可获得销售利润3 640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．【自主解答】设降低x元，超市每天可获得销售利润3 640元，由题意得，(38－x－22)＝3 640，整理得x2－12x＋27＝0，∴x＝3或x＝9.∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x＝9，∴售价为38－9＝29元．答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3 640元．【例题变式】某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x(元/千克)55606570销售量y(千克)70605040(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式．(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？【思路点拨】(1)利用待定系数法求出函数的表达式．(2)列出关于销售单价x的方程，然后解方程即可．【自主解答】(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将表中数据(55，70)、(60，60)代入得：，解得.∴y与x之间的函数表达式为y＝－2x＋180.(2)由题意得：(x－50)(－2x＋180)＝600，整理得：x2－140x＋4 800＝0，解得x1＝60，x2＝80.经检验，x1＝60，x2＝80是方程的解且符合题意．答：为保证获得600元的销售利润，该天的销售单价应定为60元或80元．1．列一元二次方程解应用题的一般步骤可分为“审、设、列、解、答”五步，要注意检验解的合理性．2．方程的解不仅要满足方程，同时要符合实际问题．特别提醒：增长率和下降率都不能是负数，且下降率不能大于1.1．(2021·通辽中考)随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为(C)A．507(1＋2x)＝833.6　B．507×2(1＋x)＝833.6　C．507(1＋x)2＝833.6　D．507＋507(1＋x)＋507(1＋x)2＝833.62．(2021·黑龙江农垦、森工中考)有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是(B)A．14    B．11　    C．10    D．93．(2021·重庆中考A卷)某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．(1)A，B两种产品的销售单价分别是多少元？(2)随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%.则今年A，B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%.求a的值．【解析】(1)设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为(x＋100)元，依题意得：x＋100＋x＝500，解得：x＝200，∴x＋100＝300.答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．(2)设去年每个车间生产产品的数量为t件，依题意得：300(1＋a%)t＋200(1＋3a%)(1－a%)t＝500t，设a%＝m，则原方程可化简为5m2－m＝0，解得：m1＝，m2＝0(不合题意，舍去)，∴a＝20.答：a的值为20.人教版九年级上册　P22　T9如图，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)?【思路点拨】设竖条的宽度是2x，横条的宽度是3x，根据要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，可列方程求解．【自主解答】设竖条的宽度是2x cm，横条的宽度是3x cm，则(20－6x)(30－4x)＝×20×30解得x1≈0.61或x2≈10.2(舍去).3×0.61≈1.8 cm，2×0.61≈1.2 cm.横条宽1.8 cm，竖条宽1.2 cm.(变换条件与问法)(2020·衡阳中考)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为(C)A．35×20－35x－20x＋2x2＝600B．35×20－35x－2×20x＝600C．(35－2x)(20－x)＝600D．(35－x)(20－2x)＝600　(变换条件)(2020·西藏中考)列方程(组)解应用题．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽．【解析】设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为(69＋1－2x) m，根据题意，得x(69＋1－2x)＝600，整理，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70－2x＝40＞35，不符合题意，舍去；当x＝20时，70－2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m、20 m．