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2021-2022学年上学期上海市初中数学七年级期中典型试卷3
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这是一份2021-2022学年上学期上海市初中数学七年级期中典型试卷3，共28页。
A．2a与2bB．a2与b2C．3.14与0D．ab2与ba2
2．（2021秋•普陀区期中）在下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．（a3）2＝a5
C．a9﹣a3＝a6D．（﹣ab2）2＝a2b4
3．（2021秋•雨花区期末）下列各式中，去括号或添括号正确的是（ ）
A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c
B．a﹣3x+2y﹣1＝a+（﹣3x+2y﹣1）
C．3x﹣[5x﹣（2x﹣1）]＝3x﹣5x﹣2x+1
D．﹣2x﹣y﹣a+1＝﹣（2x﹣y）+（a﹣1）
4．（2021秋•长宁区校级期中）下列多项式乘法运算正确的是（ ）
A．（3x﹣2）（2y﹣3x）＝9x2﹣4y2
B．（3x﹣2y）（3y+2x）＝9x2﹣4y2
C．（﹣3x﹣2y）（3x+2y）＝9x2﹣4y2
D．（2y﹣3x）（﹣2y﹣3x）＝9x2﹣4y2
5．（2021秋•普陀区期中）代数式中，单项式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2021秋•普陀区期中）如果，那么x2m的值是（ ）
A．4B．8C．64D．16
7．（2021秋•静安区校级期中）一件商品按成本提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元．设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A．x•40%•80%＝240B．40%•x＝240×80%
C．240×40%×80%＝xD．（1+40%）•x•80%＝240
8．（2021秋•静安区校级期中）下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021秋•静安区校级期中）老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（ ）
A．x2﹣2x+1B．x2+2x+1C．x2﹣6x+1D．x2+6x+1
10．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式从左往右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．x2﹣2+
C．6a﹣10b＝2（3a﹣5b）D．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•静安区校级期中）已知4x2+12xy+m2y2是一个完全平方式，则m的值为 ．
12．（2021秋•普陀区期中）已知单项式与单项式3a2bm﹣2是同类项，那么nm的值为 ．
13．（2021秋•静安区校级期中）如果（x﹣m）（x﹣3）的结果中不含有x的一次项，那么常数m的值为 ．
14．（2021秋•静安区校级期中）如果a、b两数互素，它们的最小公倍数是30，其中a＝5，那么b的值为 ．
15．（2021秋•静安区校级期中）方程+2＝的解是 ．
16．（2021秋•静安区校级期中）已知m、n是整数，xm＝4，xn＝，那么xm﹣n＝ ．
17．（2021秋•静安区校级期中）一件衣服打六折后是90元，那么它的原价是 元．
18．（2021秋•静安区校级期中）如果单项式3xn+1y4与x3ym是同类项，那么n﹣m的值是 ．
19．（2021秋•长宁区校级期中）用代数式表示：“x的1倍减去y的平方的差”是 ．
20．（2021秋•宝塔区校级期中）若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•杨浦区期中）因式分解：（2x﹣3y）2﹣2（2x﹣3y）（4x+y）+（4x+y）2
22．（2021秋•静安区校级期中）（x﹣2y）（x+3y）﹣（x﹣2y）2
23．（2021秋•静安区校级期中）（5a6）2﹣（a6+1）（1﹣a6）．
24．（2021秋•长宁区校级期中）（﹣y）3•（4x2﹣xy+2y）．
25．（2021秋•长宁区校级期中）已知：x﹣2y＝8，xy＝5，求代数式x3y+4xy3的值．
26．（2021秋•普陀区期中）先化简再求值[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]，其中，y＝1
27．（2021秋•宝塔区校级期中）（1）2（2a2﹣9b）﹣3（3a2+4b）
（2）
（3）
（4）用简便方法计算：9982+9980+16
28．（2021秋•普陀区期中）观察相应的等式，探究其中的规律：
（1）由下列等式1×2×3×4+1＝25＝52；2×3×4×5+1＝121＝112；3×4×5×6+1＝361＝192；…计算：5×6×7×8+1＝（ ）2
（2）根据上面等式的规律，写出一个具有普遍性的结论： ，说明理由．
29．（2021秋•静安区校级期中）观察图，解答问题：
（1）按表已填写的形式填写表中的空格；
（2）请用你发现的规律求出图4中的数x．
30．（2021秋•静安区校级期中）先阅读材料：
已知不论x取什么值，代数式a（x﹣2）﹣2x+5的值都相同，求a的值．
解：因为不论x取什么值，代数式a（x﹣2）﹣2x+5的值都相同．
所以不妨分别取x＝0和x＝1，
当x＝0时，a（x﹣2）﹣2x+5＝﹣2a+5．当x＝1时，a（x﹣2）﹣2x+5＝﹣a+3．
因为﹣a+3＝﹣2a+5，所以a＝2．
根据上述材料提供的方法，解决下列问题：
（1）已知不论x取什么值，代数式的值都相同，那么a与b应满足怎样的等量关系？
（2）已知不论x取什么值，等式x3+kx+2＝（x+2）（x2+ax+b）永远成立，求k的值．
2021-2022学年上学期上海市初中数学七年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•普陀区期中）下列各对单项式中，同类项的是（ ）
A．2a与2bB．a2与b2C．3.14与0D．ab2与ba2
【考点】同类项；单项式．
【专题】整式；应用意识．
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，继而判断各选项即可．
【解答】解：A、字母不同，故不是同类项；
B、字母不同，故不是同类项；
C、符合同类项的定义；
D、相同字母的指数不同，故不是同类项．
故选：C．
【点评】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关．
2．（2021秋•普陀区期中）在下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．（a3）2＝a5
C．a9﹣a3＝a6D．（﹣ab2）2＝a2b4
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，合并同类项法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可得出正确选项．
【解答】解：A．a3•a3＝a6，故本选项不合题意；
B．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
C．a9与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D．（﹣ab2）2＝a2b4，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn；积的乘方，等于每个因式乘方的积，即（ab）n＝anbn．
3．（2021秋•雨花区期末）下列各式中，去括号或添括号正确的是（ ）
A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c
B．a﹣3x+2y﹣1＝a+（﹣3x+2y﹣1）
C．3x﹣[5x﹣（2x﹣1）]＝3x﹣5x﹣2x+1
D．﹣2x﹣y﹣a+1＝﹣（2x﹣y）+（a﹣1）
【考点】去括号与添括号．
【分析】根据去括号和添括号法则对四个选项逐一进行分析，要注意括号前面的符号，以选用合适的法则．
【解答】解：A、a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a+b﹣c，故错误；
B、a﹣3x+2y﹣1＝a+（﹣3x+2y﹣1），故正确；
C、3x﹣[5x﹣（2x﹣1）]＝3x﹣5x+2x﹣1，故错误；
D、﹣2x﹣y﹣a+1＝﹣（2x+y）+（﹣a+1），故错误；
只有B符合运算方法，正确．
故选：B．
【点评】本题考查去括号和添括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
4．（2021秋•长宁区校级期中）下列多项式乘法运算正确的是（ ）
A．（3x﹣2）（2y﹣3x）＝9x2﹣4y2
B．（3x﹣2y）（3y+2x）＝9x2﹣4y2
C．（﹣3x﹣2y）（3x+2y）＝9x2﹣4y2
D．（2y﹣3x）（﹣2y﹣3x）＝9x2﹣4y2
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝6y2﹣9xy﹣4y+6x，故A错误．
（B）原式＝6x2﹣5xy﹣6y2，故B错误．
（C）原式＝﹣（3x+2y）2＝﹣9x2﹣12xy+4y2，故C错误．
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
5．（2021秋•普陀区期中）代数式中，单项式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】单项式；多项式．
【专题】整式；数感．
【分析】直接利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，得出答案．
【解答】解：根据单项式定义可得：π+1是单项式，共有1个单项式．
故选：A．
【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题关键．
6．（2021秋•普陀区期中）如果，那么x2m的值是（ ）
A．4B．8C．64D．16
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的除法以及幂的乘方运算法则求解即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【解答】解：∵xm+n＝4，，
∴xm＝xm+n÷xn＝，
∴x2m＝（xm）2＝82＝64．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
7．（2021秋•静安区校级期中）一件商品按成本提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元．设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A．x•40%•80%＝240B．40%•x＝240×80%
C．240×40%×80%＝xD．（1+40%）•x•80%＝240
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：成本价×（1+40%）×80%＝售价240元，根据此列方程即可．
【解答】解：设这件商品的成本价为x元，成本价提高40%后的标价为x（1+40%），再打8折的售价表示为x（1+40%）×80%，又因售价为240元，
列方程为：x（1+40%）×80%＝240．
故选：D．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，此题的关键是理解成本价、标价、售价之间的关系及打8折的含义．
8．（2021秋•静安区校级期中）下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】最简分式．
【专题】分式；运算能力．
【分析】直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义：分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式，进而判断即可．
【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；
B、＝，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、＝，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义（分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式）是解题关键．
9．（2021秋•静安区校级期中）老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（ ）
A．x2﹣2x+1B．x2+2x+1C．x2﹣6x+1D．x2+6x+1
【考点】多项式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据题意，这个式子是：
（x﹣1）2+4x＝x2﹣2x+1+4x＝x2+2x+1．
故选：B．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握整式的运算法则是解本题的关键．
10．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式从左往右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．x2﹣2+
C．6a﹣10b＝2（3a﹣5b）D．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据因式分解的意义解答即可．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义．利用把一个多项式转化成几个整式积的形式判断是解题关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•静安区校级期中）已知4x2+12xy+m2y2是一个完全平方式，则m的值为 3 ．
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据完全平方式的求法：一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”计算即可．
【解答】解：∵4x2+12xy+m2y2是一个完全平方式，
∴4x2+12xy+m2y2＝（2x+3y）2，所以m＝3．
故答案为：3
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，确定出这两个数是求解的关键．
12．（2021秋•普陀区期中）已知单项式与单项式3a2bm﹣2是同类项，那么nm的值为 1 ．
【考点】同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，分别求出m、n的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：由题意可知：n+1＝2，3＝m﹣2，
∴n＝1，m＝5，
∴nm＝15＝1．
故答案为：1
【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是熟练运用同类项的定义，本题属于基础题型．
13．（2021秋•静安区校级期中）如果（x﹣m）（x﹣3）的结果中不含有x的一次项，那么常数m的值为 ﹣3 ．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】先把（x﹣m）（x﹣3）化为x2﹣（m+3）+3m，结果中不含有x的一次项，所以m+3＝0，解得即可．
【解答】解：（x﹣m）（x﹣3）
＝x2﹣（m+3）+3m，
∵结果中不含有x的一次项，
∴m+3＝0，
∴m＝﹣3．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
14．（2021秋•静安区校级期中）如果a、b两数互素，它们的最小公倍数是30，其中a＝5，那么b的值为 6 ．
【考点】有理数的除法．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数的除法计算即可．
【解答】解：30÷5＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了有理数的除法，掌握乘法和除法互为逆运算是解题的关键．
15．（2021秋•静安区校级期中）方程+2＝的解是 x＝4 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+2（x﹣3）＝6，
去括号得：x+2x﹣6＝6，
移项得：x+2x＝6+6，
合并得：3x＝12，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入得：x﹣3＝4﹣3＝1≠0，
∴分式方程的解为x＝4．
故答案为：x＝4．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16．（2021秋•静安区校级期中）已知m、n是整数，xm＝4，xn＝，那么xm﹣n＝ 8 ．
【考点】同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知指数相减可以化成同底数幂的除法，直接代入进行计算．
【解答】解：∵xm＝4，xn＝，
∴xm﹣n＝xm÷xn＝4÷＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则，并能灵活运用是解决问题的关键．
17．（2021秋•静安区校级期中）一件衣服打六折后是90元，那么它的原价是 150 元．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设这件衣服的原价为x元，根据原价×折扣率＝售价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这件衣服的原价为x元，
根据题意得：0.6x＝90，
解得：x＝150．
答：这件衣服的原价为150元．
故答案为：150．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
18．（2021秋•静安区校级期中）如果单项式3xn+1y4与x3ym是同类项，那么n﹣m的值是 ﹣2 ．
【考点】同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同类项的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：m＝4，n+1＝3，
∴m＝4，n＝2，
∴n﹣m＝2﹣4＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查同类项，解题的关键是熟练运用同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
19．（2021秋•长宁区校级期中）用代数式表示：“x的1倍减去y的平方的差”是 x﹣y2 ．
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先求x的倍数，y的平方，再求它们的差．
【解答】解：根据题意，得1x﹣y2＝x﹣y2．
故答案是：x﹣y2．
【点评】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”“一半”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
20．（2021秋•宝塔区校级期中）若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 19 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整体思想；整式；应用意识．
【分析】根据已知条件求出a﹣c的值，再构造完全平方公式，整体代入即可求解．
【解答】解：若a﹣b＝3，b﹣c＝2，
则a﹣c＝5．
a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝（9+25+4）
＝×38
＝19．
故答案为19．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是构造完全平方公式，善于利用整体思想．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•杨浦区期中）因式分解：（2x﹣3y）2﹣2（2x﹣3y）（4x+y）+（4x+y）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝[（2x﹣3y）﹣（4x+y）]2
＝（2x﹣3y﹣4x﹣y）2
＝（﹣2x﹣4y）2
＝4（x+2y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．（2021秋•静安区校级期中）（x﹣2y）（x+3y）﹣（x﹣2y）2
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据因式分解﹣提公因式法分解即可．
【解答】解：（x﹣2y）（x+3y）﹣（x﹣2y）2＝（x﹣2y）（x+3y﹣x+2y）＝5y（x﹣2y）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
23．（2021秋•静安区校级期中）（5a6）2﹣（a6+1）（1﹣a6）．
【考点】幂的乘方与积的乘方；平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先利用积的乘方和平方差公式计算，再去括号合并同类项即可求解．
【解答】解：（5a6）2﹣（a6+1）（1﹣a6）
＝25a12﹣（1+a6）（1﹣a6）
＝25a12﹣（1﹣a12）
＝25a12﹣1+a12
＝26a12﹣1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则和运算顺序及乘法公式是关键．
24．（2021秋•长宁区校级期中）（﹣y）3•（4x2﹣xy+2y）．
【考点】幂的乘方与积的乘方；单项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】用单项式的每一项与多项式相乘，然后把所得的结果相加即可得出答案．
【解答】解：（﹣y）3•（4x2﹣xy+2y）＝﹣x8y3+x7y4﹣x6y4．
【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
25．（2021秋•长宁区校级期中）已知：x﹣2y＝8，xy＝5，求代数式x3y+4xy3的值．
【考点】因式分解的应用．
【专题】配方法；因式分解；推理能力．
【分析】首先运用提取公因式法分解因式，再配方，然后代入已知条件计算即可．
【解答】解：∵x﹣2y＝8，xy＝5，
∴x3y+4xy3＝xy（x2+4y2）＝xy[（x﹣2y）2+4xy]＝5（82+4×5）＝5×84＝420．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及配方法；熟练掌握因式分解和配方法是解题的关键．
26．（2021秋•普陀区期中）先化简再求值[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]，其中，y＝1
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则计算进而得出答案．
【解答】解：[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]
＝[2x2﹣（x2﹣y2）][（x2﹣y2）+2y2]
＝（x2+y2）（x2+y2）
＝（x2+y2）2
将代入，
原式＝[（）2+12]2＝．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
27．（2021秋•宝塔区校级期中）（1）2（2a2﹣9b）﹣3（3a2+4b）
（2）
（3）
（4）用简便方法计算：9982+9980+16
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）直接去括号进而合并同类项得出答案；
（2）直接利用平方差公式计算得出答案；
（3）直接利用积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可得出答案；
（4）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）2（2a2﹣9b）﹣3（3a2+4b）
＝4a2﹣18b﹣9a2﹣12b
＝﹣5a2﹣30b；
（2）
＝（a2+b2）（a2﹣b2）
＝a4﹣b4；
（3）
＝﹣x4y6•27x3y3﹣x4y6•（﹣2x3y3）
＝﹣3x7y9+x7y9
＝﹣x7y9；
（4）9982+9980+16
＝998×（998+10）+16
＝（1000﹣2）（1000+8）+16
＝1006000．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算以及有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
28．（2021秋•普陀区期中）观察相应的等式，探究其中的规律：
（1）由下列等式1×2×3×4+1＝25＝52；2×3×4×5+1＝121＝112；3×4×5×6+1＝361＝192；…计算：5×6×7×8+1＝（ 41 ）2
（2）根据上面等式的规律，写出一个具有普遍性的结论： n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2 ，说明理由．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出5×6×7×8+1的结果，本题得以解决；
（2）根据（1）中的发现，可以写出一个具有普遍性的结论，并加以证明．
【解答】解：（1）∵1×2×3×4+1＝25＝52＝（1×4+1）2，
2×3×4×5+1＝121＝112＝（2×5+1）2，
3×4×5×6+1＝361＝192＝（3×6+1）2，
…
则5×6×7×8+1＝（5×8+1）2＝412，
故答案为：41；
（2）具有普遍性的结论：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2，
理由：∵n（n+1）（n+2）（n+3）+1
＝n（n+3）（n+1）（n+2）+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2，
∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2．
故答案为：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
29．（2021秋•静安区校级期中）观察图，解答问题：
（1）按表已填写的形式填写表中的空格；
（2）请用你发现的规律求出图4中的数x．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】规律型；运算能力．
【分析】（1）根据表格中的数据可以得到相应的数据，从而可以解答本题；
（2）根据表格中的数据可以得到x的值．
【解答】解：（1）图③三角上三个数的积是：（﹣1）×2×5＝﹣10，
三个角上三个数的和是：（﹣1）+2+5＝6，
积与和的平方的差：﹣10﹣62＝﹣46；
故答案为：﹣10，﹣46；
（2）由题意可得，
三角上三个数的积是：（﹣3）×1×x＝﹣3x，
三个角上三个数的和是：（﹣3）+1+x＝x﹣2，
积与和的平方的差：﹣3x﹣（x﹣2）2；
∴﹣3x﹣（x﹣2）2＝﹣3x，解得x＝2．
即x的值是2．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字变化规律．
30．（2021秋•静安区校级期中）先阅读材料：
已知不论x取什么值，代数式a（x﹣2）﹣2x+5的值都相同，求a的值．
解：因为不论x取什么值，代数式a（x﹣2）﹣2x+5的值都相同．
所以不妨分别取x＝0和x＝1，
当x＝0时，a（x﹣2）﹣2x+5＝﹣2a+5．当x＝1时，a（x﹣2）﹣2x+5＝﹣a+3．
因为﹣a+3＝﹣2a+5，所以a＝2．
根据上述材料提供的方法，解决下列问题：
（1）已知不论x取什么值，代数式的值都相同，那么a与b应满足怎样的等量关系？
（2）已知不论x取什么值，等式x3+kx+2＝（x+2）（x2+ax+b）永远成立，求k的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；分式的值．
【专题】计算题；阅读型；整式；运算能力．
【分析】（1）根据材料，取x＝0和1代入可解答；
（2）根据材料，分别取x＝﹣2，代入可解答．
【解答】解：（1）因为不论x取什么值，代数式的值都相同，
所以不妨取x＝0和1，代入原式得：＝，
解得3a＝2b．
故a与b应满足的等量关系是3a＝2b；
（2）不妨取x＝﹣2，代入原式得：﹣8﹣2k+2＝0，
解得：k＝﹣3．
故k的值是﹣3．
【点评】考查了整式的混合运算—化简求值，此题是材料问题，认真阅读，理解并运用，运用类比的方法解答恒等式问题，根据系数的特点，适当运用x的特殊值可以解决系数前的符号问题．
考点卡片
1．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
2．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
5．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
6．去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
7．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
8．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
9．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
10．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
11．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
12．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
13．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
14．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
15．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
16．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
17．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
18．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
19．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
20．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
21．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
22．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
23．最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
24．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
25．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
26．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．图1
图2
图3
三个角上三个数的和
1+2+（﹣1）＝2
﹣1+（﹣2）+（﹣3）＝﹣6
2+（﹣1）+5＝6
三个角上三个数的积
1×2×（﹣1）＝﹣2
﹣1×（﹣2）×（﹣3）＝﹣6
积与和的平方的差
﹣2﹣22＝﹣6
﹣6﹣（﹣6）2＝﹣42
图1
图2
图3
三个角上三个数的和
1+2+（﹣1）＝2
﹣1+（﹣2）+（﹣3）＝﹣6
2+（﹣1）+5＝6
三个角上三个数的积
1×2×（﹣1）＝﹣2
﹣1×（﹣2）×（﹣3）＝﹣6
﹣10
积与和的平方的差
﹣2﹣22＝﹣6
﹣6﹣（﹣6）2＝﹣42
﹣46
A．2a与2bB．a2与b2C．3.14与0D．ab2与ba2
2．（2021秋•普陀区期中）在下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．（a3）2＝a5
C．a9﹣a3＝a6D．（﹣ab2）2＝a2b4
3．（2021秋•雨花区期末）下列各式中，去括号或添括号正确的是（ ）
A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c
B．a﹣3x+2y﹣1＝a+（﹣3x+2y﹣1）
C．3x﹣[5x﹣（2x﹣1）]＝3x﹣5x﹣2x+1
D．﹣2x﹣y﹣a+1＝﹣（2x﹣y）+（a﹣1）
4．（2021秋•长宁区校级期中）下列多项式乘法运算正确的是（ ）
A．（3x﹣2）（2y﹣3x）＝9x2﹣4y2
B．（3x﹣2y）（3y+2x）＝9x2﹣4y2
C．（﹣3x﹣2y）（3x+2y）＝9x2﹣4y2
D．（2y﹣3x）（﹣2y﹣3x）＝9x2﹣4y2
5．（2021秋•普陀区期中）代数式中，单项式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2021秋•普陀区期中）如果，那么x2m的值是（ ）
A．4B．8C．64D．16
7．（2021秋•静安区校级期中）一件商品按成本提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元．设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A．x•40%•80%＝240B．40%•x＝240×80%
C．240×40%×80%＝xD．（1+40%）•x•80%＝240
8．（2021秋•静安区校级期中）下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021秋•静安区校级期中）老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（ ）
A．x2﹣2x+1B．x2+2x+1C．x2﹣6x+1D．x2+6x+1
10．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式从左往右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．x2﹣2+
C．6a﹣10b＝2（3a﹣5b）D．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•静安区校级期中）已知4x2+12xy+m2y2是一个完全平方式，则m的值为 ．
12．（2021秋•普陀区期中）已知单项式与单项式3a2bm﹣2是同类项，那么nm的值为 ．
13．（2021秋•静安区校级期中）如果（x﹣m）（x﹣3）的结果中不含有x的一次项，那么常数m的值为 ．
14．（2021秋•静安区校级期中）如果a、b两数互素，它们的最小公倍数是30，其中a＝5，那么b的值为 ．
15．（2021秋•静安区校级期中）方程+2＝的解是 ．
16．（2021秋•静安区校级期中）已知m、n是整数，xm＝4，xn＝，那么xm﹣n＝ ．
17．（2021秋•静安区校级期中）一件衣服打六折后是90元，那么它的原价是 元．
18．（2021秋•静安区校级期中）如果单项式3xn+1y4与x3ym是同类项，那么n﹣m的值是 ．
19．（2021秋•长宁区校级期中）用代数式表示：“x的1倍减去y的平方的差”是 ．
20．（2021秋•宝塔区校级期中）若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•杨浦区期中）因式分解：（2x﹣3y）2﹣2（2x﹣3y）（4x+y）+（4x+y）2
22．（2021秋•静安区校级期中）（x﹣2y）（x+3y）﹣（x﹣2y）2
23．（2021秋•静安区校级期中）（5a6）2﹣（a6+1）（1﹣a6）．
24．（2021秋•长宁区校级期中）（﹣y）3•（4x2﹣xy+2y）．
25．（2021秋•长宁区校级期中）已知：x﹣2y＝8，xy＝5，求代数式x3y+4xy3的值．
26．（2021秋•普陀区期中）先化简再求值[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]，其中，y＝1
27．（2021秋•宝塔区校级期中）（1）2（2a2﹣9b）﹣3（3a2+4b）
（2）
（3）
（4）用简便方法计算：9982+9980+16
28．（2021秋•普陀区期中）观察相应的等式，探究其中的规律：
（1）由下列等式1×2×3×4+1＝25＝52；2×3×4×5+1＝121＝112；3×4×5×6+1＝361＝192；…计算：5×6×7×8+1＝（ ）2
（2）根据上面等式的规律，写出一个具有普遍性的结论： ，说明理由．
29．（2021秋•静安区校级期中）观察图，解答问题：
（1）按表已填写的形式填写表中的空格；
（2）请用你发现的规律求出图4中的数x．
30．（2021秋•静安区校级期中）先阅读材料：
已知不论x取什么值，代数式a（x﹣2）﹣2x+5的值都相同，求a的值．
解：因为不论x取什么值，代数式a（x﹣2）﹣2x+5的值都相同．
所以不妨分别取x＝0和x＝1，
当x＝0时，a（x﹣2）﹣2x+5＝﹣2a+5．当x＝1时，a（x﹣2）﹣2x+5＝﹣a+3．
因为﹣a+3＝﹣2a+5，所以a＝2．
根据上述材料提供的方法，解决下列问题：
（1）已知不论x取什么值，代数式的值都相同，那么a与b应满足怎样的等量关系？
（2）已知不论x取什么值，等式x3+kx+2＝（x+2）（x2+ax+b）永远成立，求k的值．
2021-2022学年上学期上海市初中数学七年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•普陀区期中）下列各对单项式中，同类项的是（ ）
A．2a与2bB．a2与b2C．3.14与0D．ab2与ba2
【考点】同类项；单项式．
【专题】整式；应用意识．
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，继而判断各选项即可．
【解答】解：A、字母不同，故不是同类项；
B、字母不同，故不是同类项；
C、符合同类项的定义；
D、相同字母的指数不同，故不是同类项．
故选：C．
【点评】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关．
2．（2021秋•普陀区期中）在下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．（a3）2＝a5
C．a9﹣a3＝a6D．（﹣ab2）2＝a2b4
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，合并同类项法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可得出正确选项．
【解答】解：A．a3•a3＝a6，故本选项不合题意；
B．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
C．a9与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D．（﹣ab2）2＝a2b4，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn；积的乘方，等于每个因式乘方的积，即（ab）n＝anbn．
3．（2021秋•雨花区期末）下列各式中，去括号或添括号正确的是（ ）
A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c
B．a﹣3x+2y﹣1＝a+（﹣3x+2y﹣1）
C．3x﹣[5x﹣（2x﹣1）]＝3x﹣5x﹣2x+1
D．﹣2x﹣y﹣a+1＝﹣（2x﹣y）+（a﹣1）
【考点】去括号与添括号．
【分析】根据去括号和添括号法则对四个选项逐一进行分析，要注意括号前面的符号，以选用合适的法则．
【解答】解：A、a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a+b﹣c，故错误；
B、a﹣3x+2y﹣1＝a+（﹣3x+2y﹣1），故正确；
C、3x﹣[5x﹣（2x﹣1）]＝3x﹣5x+2x﹣1，故错误；
D、﹣2x﹣y﹣a+1＝﹣（2x+y）+（﹣a+1），故错误；
只有B符合运算方法，正确．
故选：B．
【点评】本题考查去括号和添括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
4．（2021秋•长宁区校级期中）下列多项式乘法运算正确的是（ ）
A．（3x﹣2）（2y﹣3x）＝9x2﹣4y2
B．（3x﹣2y）（3y+2x）＝9x2﹣4y2
C．（﹣3x﹣2y）（3x+2y）＝9x2﹣4y2
D．（2y﹣3x）（﹣2y﹣3x）＝9x2﹣4y2
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝6y2﹣9xy﹣4y+6x，故A错误．
（B）原式＝6x2﹣5xy﹣6y2，故B错误．
（C）原式＝﹣（3x+2y）2＝﹣9x2﹣12xy+4y2，故C错误．
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
5．（2021秋•普陀区期中）代数式中，单项式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】单项式；多项式．
【专题】整式；数感．
【分析】直接利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，得出答案．
【解答】解：根据单项式定义可得：π+1是单项式，共有1个单项式．
故选：A．
【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题关键．
6．（2021秋•普陀区期中）如果，那么x2m的值是（ ）
A．4B．8C．64D．16
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的除法以及幂的乘方运算法则求解即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【解答】解：∵xm+n＝4，，
∴xm＝xm+n÷xn＝，
∴x2m＝（xm）2＝82＝64．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
7．（2021秋•静安区校级期中）一件商品按成本提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元．设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A．x•40%•80%＝240B．40%•x＝240×80%
C．240×40%×80%＝xD．（1+40%）•x•80%＝240
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：成本价×（1+40%）×80%＝售价240元，根据此列方程即可．
【解答】解：设这件商品的成本价为x元，成本价提高40%后的标价为x（1+40%），再打8折的售价表示为x（1+40%）×80%，又因售价为240元，
列方程为：x（1+40%）×80%＝240．
故选：D．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，此题的关键是理解成本价、标价、售价之间的关系及打8折的含义．
8．（2021秋•静安区校级期中）下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】最简分式．
【专题】分式；运算能力．
【分析】直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义：分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式，进而判断即可．
【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；
B、＝，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、＝，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义（分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式）是解题关键．
9．（2021秋•静安区校级期中）老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（ ）
A．x2﹣2x+1B．x2+2x+1C．x2﹣6x+1D．x2+6x+1
【考点】多项式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据题意，这个式子是：
（x﹣1）2+4x＝x2﹣2x+1+4x＝x2+2x+1．
故选：B．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握整式的运算法则是解本题的关键．
10．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式从左往右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．x2﹣2+
C．6a﹣10b＝2（3a﹣5b）D．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据因式分解的意义解答即可．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义．利用把一个多项式转化成几个整式积的形式判断是解题关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•静安区校级期中）已知4x2+12xy+m2y2是一个完全平方式，则m的值为 3 ．
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据完全平方式的求法：一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”计算即可．
【解答】解：∵4x2+12xy+m2y2是一个完全平方式，
∴4x2+12xy+m2y2＝（2x+3y）2，所以m＝3．
故答案为：3
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，确定出这两个数是求解的关键．
12．（2021秋•普陀区期中）已知单项式与单项式3a2bm﹣2是同类项，那么nm的值为 1 ．
【考点】同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，分别求出m、n的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：由题意可知：n+1＝2，3＝m﹣2，
∴n＝1，m＝5，
∴nm＝15＝1．
故答案为：1
【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是熟练运用同类项的定义，本题属于基础题型．
13．（2021秋•静安区校级期中）如果（x﹣m）（x﹣3）的结果中不含有x的一次项，那么常数m的值为 ﹣3 ．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】先把（x﹣m）（x﹣3）化为x2﹣（m+3）+3m，结果中不含有x的一次项，所以m+3＝0，解得即可．
【解答】解：（x﹣m）（x﹣3）
＝x2﹣（m+3）+3m，
∵结果中不含有x的一次项，
∴m+3＝0，
∴m＝﹣3．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
14．（2021秋•静安区校级期中）如果a、b两数互素，它们的最小公倍数是30，其中a＝5，那么b的值为 6 ．
【考点】有理数的除法．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数的除法计算即可．
【解答】解：30÷5＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了有理数的除法，掌握乘法和除法互为逆运算是解题的关键．
15．（2021秋•静安区校级期中）方程+2＝的解是 x＝4 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+2（x﹣3）＝6，
去括号得：x+2x﹣6＝6，
移项得：x+2x＝6+6，
合并得：3x＝12，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入得：x﹣3＝4﹣3＝1≠0，
∴分式方程的解为x＝4．
故答案为：x＝4．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16．（2021秋•静安区校级期中）已知m、n是整数，xm＝4，xn＝，那么xm﹣n＝ 8 ．
【考点】同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知指数相减可以化成同底数幂的除法，直接代入进行计算．
【解答】解：∵xm＝4，xn＝，
∴xm﹣n＝xm÷xn＝4÷＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则，并能灵活运用是解决问题的关键．
17．（2021秋•静安区校级期中）一件衣服打六折后是90元，那么它的原价是 150 元．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设这件衣服的原价为x元，根据原价×折扣率＝售价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这件衣服的原价为x元，
根据题意得：0.6x＝90，
解得：x＝150．
答：这件衣服的原价为150元．
故答案为：150．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
18．（2021秋•静安区校级期中）如果单项式3xn+1y4与x3ym是同类项，那么n﹣m的值是 ﹣2 ．
【考点】同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同类项的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：m＝4，n+1＝3，
∴m＝4，n＝2，
∴n﹣m＝2﹣4＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查同类项，解题的关键是熟练运用同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
19．（2021秋•长宁区校级期中）用代数式表示：“x的1倍减去y的平方的差”是 x﹣y2 ．
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先求x的倍数，y的平方，再求它们的差．
【解答】解：根据题意，得1x﹣y2＝x﹣y2．
故答案是：x﹣y2．
【点评】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”“一半”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
20．（2021秋•宝塔区校级期中）若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 19 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整体思想；整式；应用意识．
【分析】根据已知条件求出a﹣c的值，再构造完全平方公式，整体代入即可求解．
【解答】解：若a﹣b＝3，b﹣c＝2，
则a﹣c＝5．
a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝（9+25+4）
＝×38
＝19．
故答案为19．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是构造完全平方公式，善于利用整体思想．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•杨浦区期中）因式分解：（2x﹣3y）2﹣2（2x﹣3y）（4x+y）+（4x+y）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝[（2x﹣3y）﹣（4x+y）]2
＝（2x﹣3y﹣4x﹣y）2
＝（﹣2x﹣4y）2
＝4（x+2y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．（2021秋•静安区校级期中）（x﹣2y）（x+3y）﹣（x﹣2y）2
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据因式分解﹣提公因式法分解即可．
【解答】解：（x﹣2y）（x+3y）﹣（x﹣2y）2＝（x﹣2y）（x+3y﹣x+2y）＝5y（x﹣2y）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
23．（2021秋•静安区校级期中）（5a6）2﹣（a6+1）（1﹣a6）．
【考点】幂的乘方与积的乘方；平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先利用积的乘方和平方差公式计算，再去括号合并同类项即可求解．
【解答】解：（5a6）2﹣（a6+1）（1﹣a6）
＝25a12﹣（1+a6）（1﹣a6）
＝25a12﹣（1﹣a12）
＝25a12﹣1+a12
＝26a12﹣1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则和运算顺序及乘法公式是关键．
24．（2021秋•长宁区校级期中）（﹣y）3•（4x2﹣xy+2y）．
【考点】幂的乘方与积的乘方；单项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】用单项式的每一项与多项式相乘，然后把所得的结果相加即可得出答案．
【解答】解：（﹣y）3•（4x2﹣xy+2y）＝﹣x8y3+x7y4﹣x6y4．
【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
25．（2021秋•长宁区校级期中）已知：x﹣2y＝8，xy＝5，求代数式x3y+4xy3的值．
【考点】因式分解的应用．
【专题】配方法；因式分解；推理能力．
【分析】首先运用提取公因式法分解因式，再配方，然后代入已知条件计算即可．
【解答】解：∵x﹣2y＝8，xy＝5，
∴x3y+4xy3＝xy（x2+4y2）＝xy[（x﹣2y）2+4xy]＝5（82+4×5）＝5×84＝420．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及配方法；熟练掌握因式分解和配方法是解题的关键．
26．（2021秋•普陀区期中）先化简再求值[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]，其中，y＝1
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则计算进而得出答案．
【解答】解：[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]
＝[2x2﹣（x2﹣y2）][（x2﹣y2）+2y2]
＝（x2+y2）（x2+y2）
＝（x2+y2）2
将代入，
原式＝[（）2+12]2＝．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
27．（2021秋•宝塔区校级期中）（1）2（2a2﹣9b）﹣3（3a2+4b）
（2）
（3）
（4）用简便方法计算：9982+9980+16
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）直接去括号进而合并同类项得出答案；
（2）直接利用平方差公式计算得出答案；
（3）直接利用积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可得出答案；
（4）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）2（2a2﹣9b）﹣3（3a2+4b）
＝4a2﹣18b﹣9a2﹣12b
＝﹣5a2﹣30b；
（2）
＝（a2+b2）（a2﹣b2）
＝a4﹣b4；
（3）
＝﹣x4y6•27x3y3﹣x4y6•（﹣2x3y3）
＝﹣3x7y9+x7y9
＝﹣x7y9；
（4）9982+9980+16
＝998×（998+10）+16
＝（1000﹣2）（1000+8）+16
＝1006000．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算以及有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
28．（2021秋•普陀区期中）观察相应的等式，探究其中的规律：
（1）由下列等式1×2×3×4+1＝25＝52；2×3×4×5+1＝121＝112；3×4×5×6+1＝361＝192；…计算：5×6×7×8+1＝（ 41 ）2
（2）根据上面等式的规律，写出一个具有普遍性的结论： n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2 ，说明理由．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出5×6×7×8+1的结果，本题得以解决；
（2）根据（1）中的发现，可以写出一个具有普遍性的结论，并加以证明．
【解答】解：（1）∵1×2×3×4+1＝25＝52＝（1×4+1）2，
2×3×4×5+1＝121＝112＝（2×5+1）2，
3×4×5×6+1＝361＝192＝（3×6+1）2，
…
则5×6×7×8+1＝（5×8+1）2＝412，
故答案为：41；
（2）具有普遍性的结论：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2，
理由：∵n（n+1）（n+2）（n+3）+1
＝n（n+3）（n+1）（n+2）+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2，
∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2．
故答案为：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
29．（2021秋•静安区校级期中）观察图，解答问题：
（1）按表已填写的形式填写表中的空格；
（2）请用你发现的规律求出图4中的数x．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】规律型；运算能力．
【分析】（1）根据表格中的数据可以得到相应的数据，从而可以解答本题；
（2）根据表格中的数据可以得到x的值．
【解答】解：（1）图③三角上三个数的积是：（﹣1）×2×5＝﹣10，
三个角上三个数的和是：（﹣1）+2+5＝6，
积与和的平方的差：﹣10﹣62＝﹣46；
故答案为：﹣10，﹣46；
（2）由题意可得，
三角上三个数的积是：（﹣3）×1×x＝﹣3x，
三个角上三个数的和是：（﹣3）+1+x＝x﹣2，
积与和的平方的差：﹣3x﹣（x﹣2）2；
∴﹣3x﹣（x﹣2）2＝﹣3x，解得x＝2．
即x的值是2．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字变化规律．
30．（2021秋•静安区校级期中）先阅读材料：
已知不论x取什么值，代数式a（x﹣2）﹣2x+5的值都相同，求a的值．
解：因为不论x取什么值，代数式a（x﹣2）﹣2x+5的值都相同．
所以不妨分别取x＝0和x＝1，
当x＝0时，a（x﹣2）﹣2x+5＝﹣2a+5．当x＝1时，a（x﹣2）﹣2x+5＝﹣a+3．
因为﹣a+3＝﹣2a+5，所以a＝2．
根据上述材料提供的方法，解决下列问题：
（1）已知不论x取什么值，代数式的值都相同，那么a与b应满足怎样的等量关系？
（2）已知不论x取什么值，等式x3+kx+2＝（x+2）（x2+ax+b）永远成立，求k的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；分式的值．
【专题】计算题；阅读型；整式；运算能力．
【分析】（1）根据材料，取x＝0和1代入可解答；
（2）根据材料，分别取x＝﹣2，代入可解答．
【解答】解：（1）因为不论x取什么值，代数式的值都相同，
所以不妨取x＝0和1，代入原式得：＝，
解得3a＝2b．
故a与b应满足的等量关系是3a＝2b；
（2）不妨取x＝﹣2，代入原式得：﹣8﹣2k+2＝0，
解得：k＝﹣3．
故k的值是﹣3．
【点评】考查了整式的混合运算—化简求值，此题是材料问题，认真阅读，理解并运用，运用类比的方法解答恒等式问题，根据系数的特点，适当运用x的特殊值可以解决系数前的符号问题．
考点卡片
1．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
2．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
5．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
6．去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
7．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
8．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
9．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
10．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
11．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
12．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
13．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
14．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
15．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
16．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
17．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
18．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
19．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
20．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
21．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
22．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
23．最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
24．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
25．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
26．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．图1
图2
图3
三个角上三个数的和
1+2+（﹣1）＝2
﹣1+（﹣2）+（﹣3）＝﹣6
2+（﹣1）+5＝6
三个角上三个数的积
1×2×（﹣1）＝﹣2
﹣1×（﹣2）×（﹣3）＝﹣6
积与和的平方的差
﹣2﹣22＝﹣6
﹣6﹣（﹣6）2＝﹣42
图1
图2
图3
三个角上三个数的和
1+2+（﹣1）＝2
﹣1+（﹣2）+（﹣3）＝﹣6
2+（﹣1）+5＝6
三个角上三个数的积
1×2×（﹣1）＝﹣2
﹣1×（﹣2）×（﹣3）＝﹣6
﹣10
积与和的平方的差
﹣2﹣22＝﹣6
﹣6﹣（﹣6）2＝﹣42
﹣46
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