2015年成都市青羊区中考模拟数学试卷（二）

这是一份2015年成都市青羊区中考模拟数学试卷（二），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −13 的相反数是
A. 13B. 3C. −3D. −13

2. 下列计算中，正确的是
A. a8÷a4=a2B. a23=a5
C. −−42=−4D. ∣−3∣=−3

3. 在下面四种正多边形中，用同一种图形不能平面镶嵌的是
A. B.
C. D.

4. 根据下面两图所示，对 a，b，c 三种物体的重量判断不正确的是
A. acD. b
5. 梯子跟地面的夹角为 A ，关于 ∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是
A. sinA 的值越小，梯子越陡B. csA 的值越小，梯子越陡
C. tanA 的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与 ∠A 的函数值无关

6. 图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②所示．则下列图形中，是图②的表面展开图的是
A. B.
C. D.

7. 吸烟有害健康．据中央电视台 2012 年 5 月 30 日报道，全世界每年因吸烟引起的疾病致死的人数大约为 600 万，数据 600 万用科学记数法表示为
A. 0.6×107B. 6×106C. 60×105D. 6×105

8. 某工厂今年前 5 个月生产某种产品的总量 c（件）关于时间 t（月）的函数图象如图所示，则该厂对这种产品来说
A. 1 月至3 月，每月生产总量逐月增加，4，5 两月每月生产总量逐月减少
B. 1 月至3 月，每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产总量与3月持平
C. 1 月至3 月，每月生产总量逐月增加，4，5 两月均停止生产
D. 1 月至3 月，每月生产总量不变，4，5两月均停止生产

9. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，sinA=45，BC=6，则 △ABC 的周长为
A. 18B. 372C. 19D. 21

10. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500 米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 2 秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离 y（米）与乙出发的时间 t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：① a=8；② b=92；③ c=123．其中正确的是
A. ①②③B. 仅有①②C. 仅有①③D. 仅有②③

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 函数 y=x−2x 中，自变量 x 的取值范围是 ．

12. 已知 △ABC 中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C 所对的边分别是 a，b，c，且 c=3a，则 csA= ．

13. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，∠AOB=60∘，AB=6，则 AC= ．

14. 已知反比例函数 y=m+1x 的图象具有下列特征：在所在象限内，y 的值随 x 的增大而增大，那么 m 的取值范围是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. （1）解方程：x2−2x−3=0；
（2）计算：16÷−23−2tan60∘+1+cs45∘0．

16. 先化简，再求值：1+1m−2÷m2−12m−4，其中 m=tan60∘．

17. 如图，为了测量某山 AB 的高度，小明先在山脚下 C 点测得山顶 A 的仰角为 45∘，然后沿坡角为 30∘ 的斜坡走 100 米到达 D 点，在 D 点测得山顶 A 的仰角为 30∘，求山 AB 的高度．（参考数据：3≈1.73）

18. 王勇和李明两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了 30 次实验，实验的结果如下：
朝上的点数123456出现的次数2564103
（1）分别计算这 30 次实验中“3 点朝上”的频率和“5 点朝上”的频率；
（2）王勇说：“根据以上实验可以得出结论：由于 5 点朝上的频率最大，所以一次实验中出现 5 点朝上的概率最大”；李明说：“如果投掷 300 次，那么出现 6 点朝上的次数正好是 30 次”．试分别说明王勇和李明的说法正确吗?并简述理由；
（3）现王勇和李明各投掷一枚骰子，请用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为 3 的倍数的概率．

19. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象分别是直线 AB 和双曲线，直线 AB 与双曲线的一个交点为 C，CD⊥x 轴于点 D，OD=2OB=4OA=4．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求反比例函数的解析式．
（提示：先求出一次函数的解析式，得到点 C 的坐标，从而求出反比例函数解析式）

20. 如图，点 A，F，C，D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧，且 AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形；
（2）若 ∠ABC=90∘，AB=4，BC=3，当 AF 为何值时，四边形 BCEF 是菱形．

四、填空题（共5小题；共25分）
21. 在直线 y=12x+12 上，到 x 轴或 y 轴的距离为 1 的点有 个．

22. 一个窗户被装饰布挡住一部分，其中窗户的长与宽之间比为 3:2，装饰布由一个半圆和两个四分之一圆组成，圆的直径都是 n2，这个窗口未被遮挡部分的面积为 ．

23. 如图 1 所示，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，动点 P，Q 同时从点 B 出发，点 P 沿折线 BE−ED−DC 运动到点 C 时停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 时停止，它们运动的速度都是 1 cm/秒．设 P，Q 同时出发 t 秒时，△BPQ 的面积为 y cm2．已知 y 与 t 的函数关系图象如图 2（曲线 OM 为抛物线的一部分），则下列结论：① AD=BE=5 cm；② cs∠ABE=35；③当 0
24. 设直线 nx+n+1y=2（n 为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为 Snn=1,2,⋯2015，则 S1+S2+⋯S2015 的值为 ．

25. 在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的点，且 ∠NMB=∠MBC，则 tan∠ABM= ．

五、解答题（共3小题；共39分）
26. 某书店进行优惠促销活动，实行两种优惠方法：一是九折优惠卡，凡在书店购书的按九折优惠；二是积分卡，凡在书店购书金额累积满 100 元的积分为 1 分，一年内积分满 2 分的，赠购书券 20 元；积分满 5 分的，赠购书券 75 元；积分满 10 分的，赠购书券 200 元．（注：用所赠购书券购书时，不再优惠，每次购书时只能使用一种卡）．
（1）以上两种优惠卡中，积分卡的优惠方法，可用如下形式表达：设购书金额为 x 元，优惠金额为 y 元，则：
①当 200≤x<500 时，y=20；
② 500≤x<1000 时，y= ；
③ x≥ 时，y=200．
（2）某人在此书店先后用两种不同的优惠卡进行购书都得到了优惠，所得优惠金额共计 45 元，请你估计此人购书的金额至少应为多少元?并求出购书金额的范围．
（3）假设某人一年购书金额约为 500 元左右，请问使用何种优惠卡购书更省钱．

27. 如图所示，已知四边形 ABCD 内接于 ⊙O，A 是 BAC 的中点，AE⊥AC 于点 A，与 ⊙O 及 CB 的延长线分别交于点 F，E，且 BF=AD，EM 切 ⊙O 于点 M．
（1）求证：△ADC∽△EBA；
（2）求证：AC2=12BC⋅CE；
（3）如果 AB=4，EM=6，求 ct∠CAD 的值．

28. 如图 1，已知抛物线的顶点为 A0,1，矩形 CDEF 的顶点 C，F 在抛物线上，D，E 在 x 轴上，CF 交 y 轴于点 B0,2，且矩形 CDEF 的面积为 8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图 2，若 P 点为抛物线上不同于 A 的一点，连接 PB 并延长交抛物线于点 Q，过点 P，Q 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 S，R．
①求证：PB=PS；
②判断 △SBR 的形状；
③试探索在线段 SR 上是否存在点 M，使得以点 P，S，M 为顶点的三角形和以点 Q，R，M 为顶点的三角形相似?若存在，请找出 M 点的位置；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. C【解析】A、 a8÷a4=a4，故本选项错误；
B、 a23=a6，故本选项错误；
C、 −−42=−4，正确；
D、 ∣−3∣=3，故本选项错误．
3. C【解析】A、正三角形的每个内角是 60∘，能整除 360∘，能密铺；
B、正方形的每个内角是 90∘，4 个能密铺；
C、正五边形每个内角是 180∘−360∘÷5=108∘，不能整除 360∘，不能密铺；
D、正六角形的每个内角是 120∘，能整除 360∘，能密铺．
4. C【解析】由第一图可知：3a=2b，b>a；
由第二图可知：3b=2c，c>b，
故 a ∴ A，B，D选项都正确，C 选项错误．
5. B
6. A
7. B【解析】600 万=6000000=6×106．
8. D
9. A【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，sinA=BCAB=45，
∴ AB=BCsinA=645=152，
∴ AC=AB2−BC2=1522−62=92，
则 △ABC 的周长为 152+6+92=18．
10. A
第二部分
11. x≥2
【解析】根据题意得，x−2≥0 且 x≠0，
解得 x≥2 且 x≠0，
所以，自变量 x 的取值范围是 x≥2．
12. 223
【解析】已知 △ABC 中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C 所对的边分别是 a，b，c，且 c=3a，则 b=c2−a2=9a2−a2=22a，
∴csA=bc=223．
13. 12
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴OA=OB=OC，
∵∠AOB=60∘，
∴△OAB 为等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=12．
14. m<−1
【解析】∵ 在所在象限内，y 的值随 x 的增大而增大，
∴m+1<0，解得：m<−1．
第三部分
15. （1）
x−3x+1=0,x−3=0或x+1=0,
所以
x1=3,x2=−1.
（2） 原式=16÷−8−23+1+1=−2−3−1+1=−2−3+1+1=−3.
16. 原式=m−2+1m−2÷m+1m−12m−2=m−1m−2⋅2m−2m+1m−1=2m+1,
当 m=tan60∘=3 时，
原式=23+1=3−1.
17. 过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，作 DF⊥AB 于点 F，
设 AB=x m，
在 Rt△DEC 中，∠DCE=30∘，CD=100 m，
∴ DE=50 m，CE=503 m，
在 Rt△ABC 中，∠ACB=45∘，
∴ ∠BAC=∠ACB=45∘，
∴ AB=BC，
∴ BC=x m，
则 AF=AB−BF=AB−DE=x−50m，DF=BE=BC+CE=x+503m，
在 Rt△AFD 中，∠ADF=30∘，tan30∘=AFFD，
∴ x−50x+503=33，
∴ x=50×3+3≈236.5m，
经检验：x=50×3+3 是原分式方程的解，且符合实际意义，
答：山 AB 的高度约为 236.5 米．
18. （1） “3 点朝上”的频率为：630=15，
“5 点朝上”的频率为：1030=13．
（2） 王勇的说法是错误的．
因为“5 点朝上”的频率最大并不能说明“5 点朝上”这一事件发生的概率最大，
只有当实验次数足够大时，该事件发生的频率才能稳定在事件发生的概率附近，也才能用该事件发生的频率去估计其概率．
李明的说法也是错误的．
因为事件的发生具有随机性，
所以投掷 300 次，出现“6 点朝上”的次数不一定是 30 次．
（3） 列表：
因为共有 36 种等可能的结果，其中朝上的点数之和为 3 的倍数共有 12 个，
所以 P点数之和为3的倍数=1236=13．
19. （1） 设直线 AB 的解析式为 y=k1x+b，
由已知条件知 OA=1，OB=2，OD=4，
则点 A0,−1，B−2,0，D−4,0，
把 A0,−1，B−2,0，代入一次函数 y=k1x+b 得 −1=b,0=−2k+b,
解得 k=−12,b=−1,
故直线 AB 的解析式为 y=−12x−1．
（2） 设反比例函数解析式为 y=k2x，
由（1）知 D 点坐标为 −4,0，可得点 C 的横坐标为 −4，
将 x=−4 代入一次函数得 y=−12×−4−1=1，
∴C−4,1，
把 x=−4，y=1 代入反比例函数解析式 y=k2x 得 1=k2−4，解得 k2=−4，
故反比例函数的解析式为 y=−4x．
20. （1） ∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即 AC=DF．
∵∠A=∠D，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF．
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE．
∴BC∥EF．
∴ 四边形 BCEF 是平行四边形．
（2） 若四边形 BCEF 是菱形，连接 BE，交 CF 于点 G，
∴BE⊥CF，FG=CG．
∵∠ABC=90∘，AB=4，BC=3，
∴AC=AB2+BC2=42+32=5．
∵∠BGC=∠ABC=90∘，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC．
∴BCAC=CGBC．即 35=CG3．
∴CG=95．
∴FC=2CG=185．
∴AF=AC−FC=5−185=75．
因此，当 AF=75 时，四边形 BCEF 是菱形．
第四部分
21. 3
【解析】把 x=1 代入 y=12x+12 得 y=1；
把 x=−1 代入 y=12x+12 得 y=0；
把 y=1 代入 y=12x+12 得 12x+12=1，解得 x=1；
把 y=−1 代入 y=12x+12 得 12x+12=−1，解得 x=−3；
∴ 直线 y=12x+12 上，到 x 轴或 y 轴的距离为 1 的点为 1,1，−1,0，−3,−1．
22. 32−π16n2
23. ①③④
【解析】根据图 2 可得，当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C，
∵ 点 P，Q 的运动的速度都是 1 cm/秒，
∴BC=BE=5 cm，
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴BC=AD，
∴AD=BE=5 cm，故①小题正确；
∵ 点 M 到点 N 的的时间为 2 秒，
∴ED=2 cm，
∴AE=AD−ED=5−2=3cm，
在 Rt△ABE 中，AB=BE2−AE2=52−32=4cm．
∴cs∠ABE=ABBE=45，故②小题错误；
过点 P 作 PF⊥BC 于点 F，如图 1，

∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=ABBE=45，
∴PF=PBsin∠PBF=45t，
∴ 当 0当 t=294 秒时，点 P 在 CD 上，此时，如图 2，

PD=294−BE−ED=294−5−2=14，
PQ=CD−PD=4−14=154，
∵ABAE=43，BQPQ=5154=43，
∴ABAE=BQPQ，
又 ∵∠A=∠Q=90∘，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
24. 20152016
【解析】当 n=1，则直线解析式为 x+2y=2，它与坐标轴的交点为 0,22，2,0，
S1=12×22×2=11×2.
当 n=2，则直线解析式为 2x+3y=2，它与坐标轴的交点为 0,23，22,0，
S2=12×23×22=12×3.
当 n=3，则直线解析式为 3x+4y=2，它与坐标轴的交点为 0,24，23,0，
S3=12×24×23=13×4.
所以当 n=2015，则直线解析式为 2015x+2016y=2，它与坐标轴的交点为 0,22016，22015,0，
S2015=12×22016×22015=12015×2016.
所以
S1+S2+⋯S2015=11×2+12×3+⋯+12015×2016=1−12+12−13+⋯+12015−12016=1−12016=20152016.
25. 13
【解析】如图：延长 MN 交 BC 的延长线于点 T，设 MB 的中点为 O，连接 TO，
则 OT⊥BM，
∵∠ABM+∠MBT=90∘，∠OTB+∠MBT=90∘，
∴∠ABM=∠OTB，
则 △BAM∽△TOB，
∴AMOB=MBBT，即 AMMB=OBBT，即 MB2=2AM⋅BT, ⋯⋯①
令 DN=1，CT=MD=K，则：AM=2−K，BM=4+2−K2，BT=2+K，
代入 ① 中得：4+2−K2=22−K2+K，
解方程得：K1=0（舍去），K2=43．
∴AM=2−43=23．
tan∠ABM=AMAB=232=13．
第五部分
26. （1） 75；1000
【解析】∵ 积分满 5 分的此时金额累积满 500 元，故满 500 元的，赠购书券 75 元．
∴ 当 x≥500 时，y=75，
∵ 积分满 10 分的，赠购书券 200 元，
∴x≥1000 时，y=200．
（2） ∵ 所得优惠金额共计 45 元小于 75 元，
∴ 此人购书两次都不满 500 元，
设此人购书的金额为 x 元，
当此人购书两次都按九折优惠，
则
0.1x=45.
解得
x=450.
当此人购书一次按九折优惠，另一次获赠购书券 20 元，
则
0.1x=25.
解得
x=250.
则此人购书金额的范围为：
450≤x<750.
所以此人购书金额至少应为 450 元．
（3） x<500 时，用 9 折的优惠卡，
当 x>500 时，用积分卡．
27. （1） ∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，
∴∠CDA=∠ABE．
∵AD=BF，
∴∠DCA=∠BAE，
∴△ADC∽△EBA．
（2） 如图所示，过 A 作 AH⊥EC 于 H．
∵A 是 BAC 的中点．
∴HC=HB=12BC．
∵∠CAE=90∘，
∴∠CAE=∠CHA=90∘，
∵∠ACE=∠HCA，
∴△ACH∽△ECA，
∴ACCE=CHAC，
∴AC2=CH⋅CE=12BC⋅CE．
（3） ∵A 是 BAC 的中点，AB=4，
∴AC=AB=4．
∵EM 是 ⊙O 的切线，EM=6，
∴EB⋅EC=EM2=36. ⋯⋯①
∵AC2=12BC⋅CE，
∴BC⋅CE=32. ⋯⋯②
①+② 得，ECEB+BC=68，
∴EC2=68．
∵EC2=AC2+AE2，
∴AE=68−16=213．
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD=∠AEC．
∴ct∠CAD=ct∠AEC=AEAC=132．
28. （1） 方法一：
∵B 点坐标为 0.2，
∴OB=2，
∵ 矩形 CDEF 面积为 8，
∴CF=4．
∴C 点坐标为 −2,2，F 点坐标为 2,2．
设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c．
把 A0,1，C−2,2，F2,2 代入抛物线解析式得 1=c,2=4a−2b+c,2=4a+2b+c,
解这个方程组，得 a=14,b=0,c=1,
∴ 此抛物线的解析式为 y=14x2+1．
【解析】方法二：
∵B 点坐标为 0.2，
∴OB=2，
∵ 矩形 CDEF 面积为 8，
∴CF=4．
∴C 点坐标为 −2,2，
根据题意可设抛物线解析式为 y=ax2+c．
其过点 A0,1 和 C−2,2，把 A0,1，C−2,2 代入抛物线解析式得 1=c,2=4a+c,
解这个方程组，得 a=14,c=1,
此抛物线解析式为 y=14x2+1．
（2） ①如图 2 过点 B 作 BH⊥PS，垂足为点 H．
∵P 点在抛物线 y=14x2+1 上．
可设 P 点坐标为 m,14m2+1．
∴PS=14m2+1，OB=HS=2，BH=−m．
∴PH=PS−HS=14m2−1，
在 Rt△PHB 中，
PB2=PH2+BH2=14m2−12+m2=14m2+12，
∴PB=PS=14m2+1．
②根据①同理可知 BQ=QR．
∴∠1=∠2，
又 ∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
同理 ∠SBP=∠5，
∴2∠5+2∠3=180∘，
∴∠5+∠3=90∘，
∴∠SBR=90∘，
∴△SBR 为直角三角形．
③方法一：如图 3 作 QN⊥PS，垂足为点 N，
设 PS=d，QR=f，
∵ 由①知 PS=PB=d，QR=QB=f，PQ=d+f，PN=d−f，
∴QN2=SR2=d+f2−d−f2，
∴SR=2df．
假设存在点 M．且 MS=x，则 MR=2df−x．
若使 △PSM∽△MRQ，
则有 dx=2df−xf．
即 x2−2dfx+df=0，
∴x1=x2=df，
∴SR=2MS，
∴M 为 SR 的中点．
若使 △PSM∽△QRM，
则有 dx=f2df−x．
∴x=2ddfd+f，
∴MRMS=2df−xx=2df2ddfd+f−1=df=QBBP=ROOS．
∴M 点即为原点 O．
综上所述，当点 M 为 SR 的中点时．△PSM∽△MRQ；
当点 M 为原点时，△PSM∽△MRQ．
【解析】方法二：
若以 P，S，M 为顶点的三角形与以 Q，M，R 为顶点的三角形相似，
∵∠PSM=∠MRQ=90∘，
∴ 有 △PSM∽△MRQ 和 △PSM∽△QRM 两种情况．
当 △PSM∽△MRQ 时．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．
知 ∠PMS+∠QMR=90∘．
∴∠PMQ=90∘．
取 PQ 中点为 T．连接 MT．则 MT=12PQ=12QR+PS．
∴MN 为直角梯形 SRQP 的中位线，
∴ 点 M 为 SR 的中点，
∴RMMS=1，
当 △PSM∽△QRM 时，RMMS=QRPS=QBBP．
∴QB=BP，
∵PS∥OB∥QR，
∴ 点 M 为原点 O．
综上所述，当点 M 为 SR 的中点时，△PSM∽△MRQ；
当点 M 为原点时，△PSM∽△QRM．