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_吉林省四平市铁西区2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (word版含答案)
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这是一份_吉林省四平市铁西区2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (word版含答案)，共26页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年吉林省四平市铁西区八年级第一学期期中数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知三条线段的长是：①2，2，4；②3，4，5；③3，3，7；④6，6，10．其中可构成三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．下列说法：
①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
②两个全等的三角形关于某条直线对称
③到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形
其中，正确说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，∠1＝∠2，BC＝EF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（ ）
A．AB＝DE B．∠ACE＝∠DFB C．BF＝EC D．∠ABC＝∠DEF
6．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．点P（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为 ．
8．已知等腰三角形的两个内角之和为100°，顶角度数为 ．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 ．
10．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于 度．
11．如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有3条对称轴，则n的最小值是 ．
12．如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE＝26°，则∠BFE＝ ．
13．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝ 度．
14．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠B、∠C的度数．
16．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线，∠CAE＝∠B，AC＝3.5cm，求AB的长度．
18．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个三角形，使其面积为6．
（2）在图②中以线段CD为边画一个三角形，使其面积为6．
（3）在图③中以线段EF为边画一个等腰直角三角形．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．如果一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，那么这个多边形是几边形．
20．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1＝∠3．
21．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站，仰角为15°，当笔直向山行4千米时，小明看气象站的仰角为30°．你能算处这个气象站离地面的高度CD吗？是多少？
22．已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形．
（1）求证：AD＝CE；
（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．
24．如图，在△ABC中，射线AM平分∠BAC．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG；
（2）在（1）条件下，∠BAC和∠BGC有何数量关系？并证明你的结论．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．如图1，△ABC中，BD平分∠ABC交AC边于点E，AF⊥BD于F，DF＝1，在线段BD上取点H，使AH＝AD．
（1）若∠ADB＝60°，请求出AH的长度；
（2）若∠ADB＝∠ABC，BF＝3，则（1）中AH的长度是否发生变化，并说明理由；
（3）如图2，若AB＝AC，∠ACD＝∠ABC，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．
26．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内角平分线交点．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）请猜测∠AIC和∠APC的数量关系，并说明理由；
（4）当AB⊥AC时，请直接写出∠AIC度数的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
所以其中是轴对称图形的有2个．
故选：C．
2．已知三条线段的长是：①2，2，4；②3，4，5；③3，3，7；④6，6，10．其中可构成三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．
解：①根据2，2，4，则有2+2＝4，不符合三角形任意两边大于第三边，故不可构成三角形；
②根据3，4，5，则有3+4＞5，符合三角形任意两边大于第三边，故可构成三角形；
③根据3，3，7，则有3+3＜7，不符合三角形任意两边大于第三边，故不可构成三角形；
④根据6，6，10，则有6+6＞10，符合三角形任意两边大于第三边，故可构成三角形．
故其中可构成三角形的有2个．
故选：B．
3．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：C．
4．下列说法：
①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
②两个全等的三角形关于某条直线对称
③到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形
其中，正确说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用轴对称图形的性质逐一分析探讨得出答案即可．
解：①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形，是正确的；
②两个全等的三角形不一定组成轴对称图形，原题是错误的；
③对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，且到这条直线距离相等的两个点关于这条直线对称，原题错误；
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲不一定是轴对称图形，原题错误．
正确的说法有1个．
故选：A．
5．如图所示，∠1＝∠2，BC＝EF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（ ）
A．AB＝DE B．∠ACE＝∠DFB C．BF＝EC D．∠ABC＝∠DEF
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要首先确定已知条件∠1＝∠2，BC＝EF的位置，结合判定方法，对选项逐个验证．
解：A、添加条件AB＝DE，满足SSA无法判定两个三角形全等；
B、添加条件∠ACE＝∠DFB，无法判定两个三角形全等；
C、添加条件BF＝EC，无法判定两个三角形全等；
D、添加条件∠ABC＝∠DEF后，符合ASA，能证明三角形全等．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．
解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．点P（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为 （﹣2，﹣5） ．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质分析得出答案．
解：点P（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为：（﹣2，﹣5）．
故答案为：（﹣2，﹣5）．
8．已知等腰三角形的两个内角之和为100°，顶角度数为 20°或80° ．
【分析】题中没有指明这两个角是都是底角还是一个底角一个顶角，故应该分两种情况进行分析：100°是顶角和一底角的和；100°是两底角的和．
解：①当100°是顶角和一底角的和，则
另一个底角＝180°﹣100°＝80°，所以顶角＝100°﹣80°＝20°；
②当100°是两底角的和，则
顶角＝180°﹣100°＝80°；
综上所述，此等腰三角形的顶角为：20°或80°．
故答案为：20°或80°
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 2 ．
【分析】由题意可求DC的长，由角平分线的性质可求解．
解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵AC＝8，DC＝AD，
∴DC＝2，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2，
∴点D到AB的距离等于2，
故答案为2．
10．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于 85 度．
【分析】先求出∠ABC和∠BAC，再利用三角形内角和求出∠ACB．
解：∵B处在A处的南偏西45°方向，C处在B处的北偏东80°方向，
∴∠ABC＝80°﹣45°＝35°，
∵C处在A处的南偏东15°方向，
∴∠BAC＝45°+15°＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣35°﹣60°＝85°．
故答案为：85．
11．如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有3条对称轴，则n的最小值是 3 ．
【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案．
解：如图所示，n的最小值为3，
故答案为：3．
12．如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE＝26°，则∠BFE＝ 64° ．
【分析】由角平分线的定义可得，∠FAD＝∠BAE＝26°，而∠AFD与∠FAD互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数．
解：∵AE是角平分线，∠BAE＝26°，
∴∠FAD＝∠BAE＝26°，
∵DB是△ABC的高，
∴∠AFD＝90°﹣∠FAD＝90°﹣26°＝64°，
∴∠BFE＝∠AFD＝64°．
故答案为：64°．
13．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝ 70 度．
【分析】先证明△ABE≌△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝25°；然后根据AB＝BC，∠ABC＝90°，求出∠ACB的度数，即可求出∠ACF的度数．
解：在Rt△ABE与Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
∴∠BAE＝∠BCF＝25°；
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝25°+45°＝70°；
故答案为：70．
14．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 8 ．
【分析】连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM+MD＝MD+AM．
∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+6＝8．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠B、∠C的度数．
【分析】由题意，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝51°根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C．
解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣40°）×＝70°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝∠ADB＝70°×＝35°．
16．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
解：量出DE的长就等于AB的长，理由如下：
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线，∠CAE＝∠B，AC＝3.5cm，求AB的长度．
【分析】根据角平分线的定义可证明∠CAE＝∠EAB＝∠B，则3∠B＝90°，得∠B＝30°，再根据30°角所对的直角边为斜边的一半即可得出答案．
解：∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠CAE＝∠B，
∴∠CAE＝∠EAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠EAB+∠CAE+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝2AC＝2×3.5＝7（cm）．
18．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个三角形，使其面积为6．
（2）在图②中以线段CD为边画一个三角形，使其面积为6．
（3）在图③中以线段EF为边画一个等腰直角三角形．
【分析】（1）画一个直角边分别为3，4即为．
（2）画一个底为4，高为3的直角三角形即可．
（3）画一个直角边为EF的等腰直角三角形即可．
解：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，△CDE即为所求．
（3）如图③中，△EFG即为所求．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．如果一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，那么这个多边形是几边形．
【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是6×360°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解：设这个多边形有n条边．
由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×6，
解得n＝14．
则这个多边形是十四边形．
20．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1＝∠3．
【分析】（1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可得证．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CBE＝∠2+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠A＝∠C，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠1＝∠3．
21．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站，仰角为15°，当笔直向山行4千米时，小明看气象站的仰角为30°．你能算处这个气象站离地面的高度CD吗？是多少？
【分析】由∠A与∠CBD的关系，可求出BC的长，进而可求出高CD的值．
解：∵∠A＝15°，∠CBD＝30°，
∴∠ACB＝∠A＝15°，
∴BC＝AB＝4千米
在直角△BCD中，则CD＝BC＝2千米．
22．已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ 0，﹣2 ），B1（ ﹣2，﹣4 ），C1（ ﹣4，﹣1 ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 5 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（3）直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置．
解：（1）如图所示：A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；
故答案为：（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；
（2）△ABC的面积为：12﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；
故答案为：5；
（3）如图所示：点P即为所求．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形．
（1）求证：AD＝CE；
（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．
【分析】（1）由△ABC和△BDE都是等边三角形，可以利用SAS判定△ABD≌△CBE，即可得AD＝CE；
（2）由AC⊥CE，△ABC和△BDE都是等边三角形，易得△BCE是含30°角的直角三角形的性质，继而求得AB与BE的数量关系．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝CB，BD＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）AB＝2BE，
证明：∵△ABC，△BED是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DBE＝60°，AB＝BC，
∵AC⊥CE，
∴∠BCE＝30°，
∴∠BEC＝90°，
∴BC＝2BE，
∴AB＝2BE．
24．如图，在△ABC中，射线AM平分∠BAC．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG；
（2）在（1）条件下，∠BAC和∠BGC有何数量关系？并证明你的结论．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线即可；
（2）在AB上截取AD＝AC，连接DG．首先证明△DAG≌△CAG（SAS），推出∠ABG+∠ACG＝180°，利用四边形内角和定理即可解决问题．
解：（1）线段BC的中垂线EG如图所示；
（2）结论：∠BAC+∠BGC＝180°．
理由：在AB上截取AD＝AC，连接DG．
∵AM平分∠BAC，
∴∠DAG＝∠CAG，
在△DAG和△CAG中
∵
∴△DAG≌△CAG（SAS），
∴∠ADG＝∠ACG，DG＝CG，
∵G在BC的垂直平分线上，
∴BG＝CG，
∴BG＝DG，
∴∠ABG＝∠BDG，
∵∠BDG+∠ADG＝180°，
∴∠ABG+∠ACG＝180°，
∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC＝360°，
∴∠BAC+∠BGC＝180°．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．如图1，△ABC中，BD平分∠ABC交AC边于点E，AF⊥BD于F，DF＝1，在线段BD上取点H，使AH＝AD．
（1）若∠ADB＝60°，请求出AH的长度；
（2）若∠ADB＝∠ABC，BF＝3，则（1）中AH的长度是否发生变化，并说明理由；
（3）如图2，若AB＝AC，∠ACD＝∠ABC，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由直角三角形的性质得∠DAF＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得AD＝2DF＝2，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质得∠AHD＝∠D，再证∠HBA＝∠HAB，得BH＝AH＝AD，然后由等腰三角形的性质得HF＝DF＝1，则BH＝BF﹣HF＝2，即可求解；
（3）先证△ABF≌△ACG（AAS），得AF＝AG，BF＝CG，再证Rt△AFD≌Rt△AGD（HL），得DF＝DG，即可得出结论．
解：（1）∵AF⊥BD，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADB＝60°，
∴∠DAF＝30°，
∴AD＝2DF＝2，
∴AH＝AD＝2；
（2）AH的长度不发生变化，理由如下：
∵AH＝AD，
∴∠AHD＝∠D，
∵∠ADB＝∠ABC，
∴∠AHD＝∠ABC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠HBA＝∠ABC，
∵∠AHD＝∠HBA+∠HAB，
∴∠HBA＝∠HAB，
∴BH＝AH＝AD，
∵AH＝AD，AF⊥BD，
∴HF＝DF＝1，
∵BF＝3，
∴BH＝BF﹣HF＝2，
∴AH＝2；
（3）BF＝CD+DF，理由如下：
∵∠ABF＝∠ABC，∠ACD＝∠ABC，
∴∠BF＝∠ACD，
∵AF⊥BD，AG⊥CD，
∴∠AFB＝∠AGC＝90°，
∵AB＝AC，
在△ABF和△ACG中，
，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴AF＝AG，BF＝CG，
在Rt△AFD和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AGD（HL），
∴DF＝DG，
∵CG＝CD+DG，
∴BF＝CD+DF．
26．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内角平分线交点．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）请猜测∠AIC和∠APC的数量关系，并说明理由；
（4）当AB⊥AC时，请直接写出∠AIC度数的取值范围．
【分析】（1）证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，进而证明结论；
（2）根据垂线段最短解答；
（3）根据角平分线的定义得到∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（4）根据三角形的外角性质得到∠APC＝∠B+∠BAP，得到30°＜∠APC＜120°，根据（3）的结论解答即可．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE；
（2）解：∵AD＝6，AP＝x，
∴PD＝6﹣x，
当AD⊥BC时，AP最小，
在Rt△ABP中，∠B＝30°，
∴AP＝AB＝3，即AP的最小值为3，
∴PD的最大值为：6﹣3＝3；
（3）解：∠AIC＝90°+∠APC，
理由如下：∵I为△APC的内角平分线交点，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA，
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣（180°﹣∠APC）
＝90°+∠APC；
（4）解：∵∠APC＝∠B+∠BAP＝30°+∠BAP，0°＜∠BAP＜90°，
∴30°＜∠APC＜120°，
由（3）可知：105°＜∠AIC＜150°．
2019-2020学年吉林省四平市铁西区八年级第一学期期中数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知三条线段的长是：①2，2，4；②3，4，5；③3，3，7；④6，6，10．其中可构成三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．下列说法：
①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
②两个全等的三角形关于某条直线对称
③到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形
其中，正确说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，∠1＝∠2，BC＝EF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（ ）
A．AB＝DE B．∠ACE＝∠DFB C．BF＝EC D．∠ABC＝∠DEF
6．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．点P（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为 ．
8．已知等腰三角形的两个内角之和为100°，顶角度数为 ．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 ．
10．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于 度．
11．如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有3条对称轴，则n的最小值是 ．
12．如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE＝26°，则∠BFE＝ ．
13．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝ 度．
14．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠B、∠C的度数．
16．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线，∠CAE＝∠B，AC＝3.5cm，求AB的长度．
18．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个三角形，使其面积为6．
（2）在图②中以线段CD为边画一个三角形，使其面积为6．
（3）在图③中以线段EF为边画一个等腰直角三角形．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．如果一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，那么这个多边形是几边形．
20．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1＝∠3．
21．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站，仰角为15°，当笔直向山行4千米时，小明看气象站的仰角为30°．你能算处这个气象站离地面的高度CD吗？是多少？
22．已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形．
（1）求证：AD＝CE；
（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．
24．如图，在△ABC中，射线AM平分∠BAC．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG；
（2）在（1）条件下，∠BAC和∠BGC有何数量关系？并证明你的结论．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．如图1，△ABC中，BD平分∠ABC交AC边于点E，AF⊥BD于F，DF＝1，在线段BD上取点H，使AH＝AD．
（1）若∠ADB＝60°，请求出AH的长度；
（2）若∠ADB＝∠ABC，BF＝3，则（1）中AH的长度是否发生变化，并说明理由；
（3）如图2，若AB＝AC，∠ACD＝∠ABC，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．
26．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内角平分线交点．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）请猜测∠AIC和∠APC的数量关系，并说明理由；
（4）当AB⊥AC时，请直接写出∠AIC度数的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
所以其中是轴对称图形的有2个．
故选：C．
2．已知三条线段的长是：①2，2，4；②3，4，5；③3，3，7；④6，6，10．其中可构成三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．
解：①根据2，2，4，则有2+2＝4，不符合三角形任意两边大于第三边，故不可构成三角形；
②根据3，4，5，则有3+4＞5，符合三角形任意两边大于第三边，故可构成三角形；
③根据3，3，7，则有3+3＜7，不符合三角形任意两边大于第三边，故不可构成三角形；
④根据6，6，10，则有6+6＞10，符合三角形任意两边大于第三边，故可构成三角形．
故其中可构成三角形的有2个．
故选：B．
3．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：C．
4．下列说法：
①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
②两个全等的三角形关于某条直线对称
③到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形
其中，正确说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用轴对称图形的性质逐一分析探讨得出答案即可．
解：①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形，是正确的；
②两个全等的三角形不一定组成轴对称图形，原题是错误的；
③对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，且到这条直线距离相等的两个点关于这条直线对称，原题错误；
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲不一定是轴对称图形，原题错误．
正确的说法有1个．
故选：A．
5．如图所示，∠1＝∠2，BC＝EF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（ ）
A．AB＝DE B．∠ACE＝∠DFB C．BF＝EC D．∠ABC＝∠DEF
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要首先确定已知条件∠1＝∠2，BC＝EF的位置，结合判定方法，对选项逐个验证．
解：A、添加条件AB＝DE，满足SSA无法判定两个三角形全等；
B、添加条件∠ACE＝∠DFB，无法判定两个三角形全等；
C、添加条件BF＝EC，无法判定两个三角形全等；
D、添加条件∠ABC＝∠DEF后，符合ASA，能证明三角形全等．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．
解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．点P（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为 （﹣2，﹣5） ．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质分析得出答案．
解：点P（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为：（﹣2，﹣5）．
故答案为：（﹣2，﹣5）．
8．已知等腰三角形的两个内角之和为100°，顶角度数为 20°或80° ．
【分析】题中没有指明这两个角是都是底角还是一个底角一个顶角，故应该分两种情况进行分析：100°是顶角和一底角的和；100°是两底角的和．
解：①当100°是顶角和一底角的和，则
另一个底角＝180°﹣100°＝80°，所以顶角＝100°﹣80°＝20°；
②当100°是两底角的和，则
顶角＝180°﹣100°＝80°；
综上所述，此等腰三角形的顶角为：20°或80°．
故答案为：20°或80°
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 2 ．
【分析】由题意可求DC的长，由角平分线的性质可求解．
解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵AC＝8，DC＝AD，
∴DC＝2，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2，
∴点D到AB的距离等于2，
故答案为2．
10．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于 85 度．
【分析】先求出∠ABC和∠BAC，再利用三角形内角和求出∠ACB．
解：∵B处在A处的南偏西45°方向，C处在B处的北偏东80°方向，
∴∠ABC＝80°﹣45°＝35°，
∵C处在A处的南偏东15°方向，
∴∠BAC＝45°+15°＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣35°﹣60°＝85°．
故答案为：85．
11．如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有3条对称轴，则n的最小值是 3 ．
【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案．
解：如图所示，n的最小值为3，
故答案为：3．
12．如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE＝26°，则∠BFE＝ 64° ．
【分析】由角平分线的定义可得，∠FAD＝∠BAE＝26°，而∠AFD与∠FAD互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数．
解：∵AE是角平分线，∠BAE＝26°，
∴∠FAD＝∠BAE＝26°，
∵DB是△ABC的高，
∴∠AFD＝90°﹣∠FAD＝90°﹣26°＝64°，
∴∠BFE＝∠AFD＝64°．
故答案为：64°．
13．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝ 70 度．
【分析】先证明△ABE≌△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝25°；然后根据AB＝BC，∠ABC＝90°，求出∠ACB的度数，即可求出∠ACF的度数．
解：在Rt△ABE与Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
∴∠BAE＝∠BCF＝25°；
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝25°+45°＝70°；
故答案为：70．
14．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 8 ．
【分析】连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM+MD＝MD+AM．
∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+6＝8．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠B、∠C的度数．
【分析】由题意，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝51°根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C．
解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣40°）×＝70°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝∠ADB＝70°×＝35°．
16．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
解：量出DE的长就等于AB的长，理由如下：
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线，∠CAE＝∠B，AC＝3.5cm，求AB的长度．
【分析】根据角平分线的定义可证明∠CAE＝∠EAB＝∠B，则3∠B＝90°，得∠B＝30°，再根据30°角所对的直角边为斜边的一半即可得出答案．
解：∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠CAE＝∠B，
∴∠CAE＝∠EAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠EAB+∠CAE+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝2AC＝2×3.5＝7（cm）．
18．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个三角形，使其面积为6．
（2）在图②中以线段CD为边画一个三角形，使其面积为6．
（3）在图③中以线段EF为边画一个等腰直角三角形．
【分析】（1）画一个直角边分别为3，4即为．
（2）画一个底为4，高为3的直角三角形即可．
（3）画一个直角边为EF的等腰直角三角形即可．
解：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，△CDE即为所求．
（3）如图③中，△EFG即为所求．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．如果一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，那么这个多边形是几边形．
【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是6×360°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解：设这个多边形有n条边．
由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×6，
解得n＝14．
则这个多边形是十四边形．
20．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1＝∠3．
【分析】（1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可得证．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CBE＝∠2+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠A＝∠C，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠1＝∠3．
21．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站，仰角为15°，当笔直向山行4千米时，小明看气象站的仰角为30°．你能算处这个气象站离地面的高度CD吗？是多少？
【分析】由∠A与∠CBD的关系，可求出BC的长，进而可求出高CD的值．
解：∵∠A＝15°，∠CBD＝30°，
∴∠ACB＝∠A＝15°，
∴BC＝AB＝4千米
在直角△BCD中，则CD＝BC＝2千米．
22．已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ 0，﹣2 ），B1（ ﹣2，﹣4 ），C1（ ﹣4，﹣1 ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 5 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（3）直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置．
解：（1）如图所示：A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；
故答案为：（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；
（2）△ABC的面积为：12﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；
故答案为：5；
（3）如图所示：点P即为所求．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形．
（1）求证：AD＝CE；
（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．
【分析】（1）由△ABC和△BDE都是等边三角形，可以利用SAS判定△ABD≌△CBE，即可得AD＝CE；
（2）由AC⊥CE，△ABC和△BDE都是等边三角形，易得△BCE是含30°角的直角三角形的性质，继而求得AB与BE的数量关系．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝CB，BD＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）AB＝2BE，
证明：∵△ABC，△BED是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DBE＝60°，AB＝BC，
∵AC⊥CE，
∴∠BCE＝30°，
∴∠BEC＝90°，
∴BC＝2BE，
∴AB＝2BE．
24．如图，在△ABC中，射线AM平分∠BAC．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG；
（2）在（1）条件下，∠BAC和∠BGC有何数量关系？并证明你的结论．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线即可；
（2）在AB上截取AD＝AC，连接DG．首先证明△DAG≌△CAG（SAS），推出∠ABG+∠ACG＝180°，利用四边形内角和定理即可解决问题．
解：（1）线段BC的中垂线EG如图所示；
（2）结论：∠BAC+∠BGC＝180°．
理由：在AB上截取AD＝AC，连接DG．
∵AM平分∠BAC，
∴∠DAG＝∠CAG，
在△DAG和△CAG中
∵
∴△DAG≌△CAG（SAS），
∴∠ADG＝∠ACG，DG＝CG，
∵G在BC的垂直平分线上，
∴BG＝CG，
∴BG＝DG，
∴∠ABG＝∠BDG，
∵∠BDG+∠ADG＝180°，
∴∠ABG+∠ACG＝180°，
∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC＝360°，
∴∠BAC+∠BGC＝180°．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．如图1，△ABC中，BD平分∠ABC交AC边于点E，AF⊥BD于F，DF＝1，在线段BD上取点H，使AH＝AD．
（1）若∠ADB＝60°，请求出AH的长度；
（2）若∠ADB＝∠ABC，BF＝3，则（1）中AH的长度是否发生变化，并说明理由；
（3）如图2，若AB＝AC，∠ACD＝∠ABC，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由直角三角形的性质得∠DAF＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得AD＝2DF＝2，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质得∠AHD＝∠D，再证∠HBA＝∠HAB，得BH＝AH＝AD，然后由等腰三角形的性质得HF＝DF＝1，则BH＝BF﹣HF＝2，即可求解；
（3）先证△ABF≌△ACG（AAS），得AF＝AG，BF＝CG，再证Rt△AFD≌Rt△AGD（HL），得DF＝DG，即可得出结论．
解：（1）∵AF⊥BD，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADB＝60°，
∴∠DAF＝30°，
∴AD＝2DF＝2，
∴AH＝AD＝2；
（2）AH的长度不发生变化，理由如下：
∵AH＝AD，
∴∠AHD＝∠D，
∵∠ADB＝∠ABC，
∴∠AHD＝∠ABC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠HBA＝∠ABC，
∵∠AHD＝∠HBA+∠HAB，
∴∠HBA＝∠HAB，
∴BH＝AH＝AD，
∵AH＝AD，AF⊥BD，
∴HF＝DF＝1，
∵BF＝3，
∴BH＝BF﹣HF＝2，
∴AH＝2；
（3）BF＝CD+DF，理由如下：
∵∠ABF＝∠ABC，∠ACD＝∠ABC，
∴∠BF＝∠ACD，
∵AF⊥BD，AG⊥CD，
∴∠AFB＝∠AGC＝90°，
∵AB＝AC，
在△ABF和△ACG中，
，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴AF＝AG，BF＝CG，
在Rt△AFD和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AGD（HL），
∴DF＝DG，
∵CG＝CD+DG，
∴BF＝CD+DF．
26．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内角平分线交点．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）请猜测∠AIC和∠APC的数量关系，并说明理由；
（4）当AB⊥AC时，请直接写出∠AIC度数的取值范围．
【分析】（1）证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，进而证明结论；
（2）根据垂线段最短解答；
（3）根据角平分线的定义得到∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（4）根据三角形的外角性质得到∠APC＝∠B+∠BAP，得到30°＜∠APC＜120°，根据（3）的结论解答即可．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE；
（2）解：∵AD＝6，AP＝x，
∴PD＝6﹣x，
当AD⊥BC时，AP最小，
在Rt△ABP中，∠B＝30°，
∴AP＝AB＝3，即AP的最小值为3，
∴PD的最大值为：6﹣3＝3；
（3）解：∠AIC＝90°+∠APC，
理由如下：∵I为△APC的内角平分线交点，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA，
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣（180°﹣∠APC）
＝90°+∠APC；
（4）解：∵∠APC＝∠B+∠BAP＝30°+∠BAP，0°＜∠BAP＜90°，
∴30°＜∠APC＜120°，
由（3）可知：105°＜∠AIC＜150°．
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