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数学选修1-13.3.3导数的实际应用授课ppt课件
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这是一份数学选修1-13.3.3导数的实际应用授课ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了解析答案，反思与感悟，此时y′0，分类讨论思想的应用，解后反思，答案D等内容，欢迎下载使用。
知识梳理 自主学习
题型探究 重点突破
当堂检测 自查自纠
知识梳理 自主学习
知识点一 优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.知识点二 利用导数解决生活中优化问题的基本思路
知识点三 解决优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；(4)依据实际问题的意义给出答案.
题型探究 重点突破
题型一 用料最省问题例1 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解 如题图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，
又设总的水管费用为y元，
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时|AC|＝50－x＝20 (km).∴供水站C建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
令y′＝0，解得x＝30.
用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
跟踪训练1 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2，问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001 m)
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
题型二 面积、容积的最值问题例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
解 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，
令S′>0得x>140，令S′<0得20
跟踪训练2 如图，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形的最大面积.解 设B(x,0)(0＜x＜2)，则A(x,4x－x2).从而|AB|＝4x－x2，|BC|＝2(2－x).故矩形ABCD的面积为S(x)＝|AB|·|BC|＝2x3－12x2＋16x(0＜x＜2).S′(x)＝6x2－24x＋16，
∵x1∉(0,2)，∴x1舍去.
题型三 成本最省，利润最大问题例3 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 由题意s、a、b、v均为正数.
即y在(0，c]上为减函数.
所以当v＝c时，y最小.
综上可知，为使全程运输成本y最小，
正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路.另外需注意：①合理选择变量，正确给出函数关系式.②与实际问题相联系.③必要时注意分类讨论思想的应用.
跟踪训练3 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；解 若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件.由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 对(1)中函数求导得f′(x)的变化情况如下表：
∴x＝12时，f(x)取得极大值.∵f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，∴定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.
分析 首先根据容积(体积)求出r，l的关系，即用r表示l，根据l≥2r，即可求出r的取值范围，根据一个圆柱的侧面积和一个球的表面积公式建立建造费用y关于r的函数关系式，然后利用导数求解这个函数的极值点，通过讨论极值点与r的取值范围之间的关系求得容器建造费用最小时r的值.
由于l≥2r，故0＜r≤2.
该函数的定义域为(0,2].
由于c＞3，所以c－2＞0.
当r∈(0，m)时，y′＜0；当r∈(m,2]时，y′＞0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点.
当r＝m时，y′＝0；
当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点.
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
解析 设底面边长为x，
3.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－ x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件 B.11万件C.9万件 D.7万件解析 因为y′＝－x2＋81，当x∈(0,9)时，y′＞0.
在(0,9)上单调递增.
所以当x＞9时，y′＜0；
所以x＝9是函数的极大值点.又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，
所以函数在x＝9处取得最大值.
解析 设年产量为x时，总利润为y，
由y′＝0，得x＝300.经验证，当x＝300时，总利润最大.
5.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为____m时，容器的容积最大.
＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，x∈(0,1.6)，
所以V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
当0＜x＜1时，V′＞0，当1＜x＜1.6时，V′＜0，所以当x＝1时，容器的容积取得最大值.
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知识点一 优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.知识点二 利用导数解决生活中优化问题的基本思路
知识点三 解决优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；(4)依据实际问题的意义给出答案.
题型探究 重点突破
题型一 用料最省问题例1 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解 如题图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，
又设总的水管费用为y元，
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时|AC|＝50－x＝20 (km).∴供水站C建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
令y′＝0，解得x＝30.
用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
跟踪训练1 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2，问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001 m)
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
题型二 面积、容积的最值问题例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
解 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，
令S′>0得x>140，令S′<0得20
跟踪训练2 如图，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形的最大面积.解 设B(x,0)(0＜x＜2)，则A(x,4x－x2).从而|AB|＝4x－x2，|BC|＝2(2－x).故矩形ABCD的面积为S(x)＝|AB|·|BC|＝2x3－12x2＋16x(0＜x＜2).S′(x)＝6x2－24x＋16，
∵x1∉(0,2)，∴x1舍去.
题型三 成本最省，利润最大问题例3 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 由题意s、a、b、v均为正数.
即y在(0，c]上为减函数.
所以当v＝c时，y最小.
综上可知，为使全程运输成本y最小，
正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路.另外需注意：①合理选择变量，正确给出函数关系式.②与实际问题相联系.③必要时注意分类讨论思想的应用.
跟踪训练3 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；解 若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件.由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 对(1)中函数求导得f′(x)的变化情况如下表：
∴x＝12时，f(x)取得极大值.∵f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，∴定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.
分析 首先根据容积(体积)求出r，l的关系，即用r表示l，根据l≥2r，即可求出r的取值范围，根据一个圆柱的侧面积和一个球的表面积公式建立建造费用y关于r的函数关系式，然后利用导数求解这个函数的极值点，通过讨论极值点与r的取值范围之间的关系求得容器建造费用最小时r的值.
由于l≥2r，故0＜r≤2.
该函数的定义域为(0,2].
由于c＞3，所以c－2＞0.
当r∈(0，m)时，y′＜0；当r∈(m,2]时，y′＞0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点.
当r＝m时，y′＝0；
当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点.
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
解析 设底面边长为x，
3.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－ x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件 B.11万件C.9万件 D.7万件解析 因为y′＝－x2＋81，当x∈(0,9)时，y′＞0.
在(0,9)上单调递增.
所以当x＞9时，y′＜0；
所以x＝9是函数的极大值点.又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，
所以函数在x＝9处取得最大值.
解析 设年产量为x时，总利润为y，
由y′＝0，得x＝300.经验证，当x＝300时，总利润最大.
5.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为____m时，容器的容积最大.
＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，x∈(0,1.6)，
所以V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
当0＜x＜1时，V′＞0，当1＜x＜1.6时，V′＜0，所以当x＝1时，容器的容积取得最大值.
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