精品解析：河南省三门峡市实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

2020-2021学年河南省三门峡市灵宝实验中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【详解】根据概念，知

A、B、D既是轴对称图形，也是中心对称图形；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．

故选C．

2. 如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分) ，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则设道路的宽为xm，根据题意，列方程(   ) .

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程（32-x）（20-x）=540．

【详解】解：设道路的宽为x，根据题意得（32-x）（20-x）=540．

故选C．

【】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

3. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，那么点O是△DEF的(　　)

A. 三条中线的交点

B. 三条高线的交点

C. 三边的垂直平分线的交点

D. 三条角平分线的交点

【答案】C

【解析】

【详解】分析：三角形外接圆的圆心是中垂线的交点；三角形内切圆的圆心是角平分线的交点．

详解：∵圆O是△DEF的外接圆，  ∴点O是三边的垂直平分线的交点，  故选C．

：要考查你对三角形的内心、外心等考点的理解，属于基础题型．理解定义是解题的关键．

4. 用配方法解方程x2+6x+11=0，下面配方正确的是（　　）

A. （x+3）2=2 B. （x+3）2=﹣2 C. （x﹣3）2=2 D. （x﹣3）2=﹣2

【答案】B

【解析】

【详解】x2+6x+11=0，

（x+3）2-9+11=0，

（x+3）2=﹣2  .

所以选B.

5. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）

A. 1或﹣1 B. ﹣1 C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．

【详解】∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，

∴a2﹣1=0且a﹣1≠0

解得：a=1或﹣1，且a≠1．

∴a=﹣1．

故选：B．

【】本题主要考查了一元二次方程根的定义和解一元二次方程，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意a﹣1≠0．

6. 设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（   ）

A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2

【答案】A

【解析】

【分析】把三个点的坐标代入抛物线解析式分别计算出y1，y2，y3，然后进行大小比较即可．

【详解】把A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）分别代入y=-（x+1）2+1，

得y1=-（-2+1）2+1=0，y2=-（1+1）2+1=-3，y3=-（2+1）2+1=-8，

所以y1＞y2＞y3，

故选：A．

【】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

7. 已知二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（  ）

A. k>- B. k-且k≠0 C. k- D. k>-且k≠0

【答案】B

【解析】

【详解】已知二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，可得△=25+20k≥0且k≠0，解得、k-且k≠0，故选B.

8. 如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，则圆心O到弦AB的距离是（　　）

A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm

【答案】D

【解析】

【分析】过点D作OD⊥AB于点D，根据垂径定理求出AD的长，再根据勾股定理得出OD的值即可．

【详解】解：过点D作OD⊥AB于点D．

 ∵AB=8cm， ∴AD=AB=4cm，

∴OD==3cm．

故选：D

9. 将抛物线y=﹣2（x+3）2+1向左平移2个单位，再向上平移1个单位后所得到的抛物线的解析式为（　　）

A. y=2（x+1）2 B. y=﹣2（x+5）2+2 C. y=﹣2（x+5）2+3 D. y=﹣2（x﹣5）2﹣1

【答案】B

【解析】

【详解】y=﹣2（x+3）2+1向左平移2个单位, y=﹣2（x+3+2）2+1=﹣2（x+5）2+1,  再向上平移1个单位，y=﹣2（x+5）2+1+1=﹣2（x+5）2+2.选B.

10. 在一次函数y=kx+b（k≠0）中，y随x的增大而减小，则二次函数y=k（x﹣1）2的图象大致是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】由题意可知：k<0，所以二次函数开口向下，二次函数对称轴方程x=1，

故选B.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11. 在等边三角形、矩形、等腰梯形、圆这四个图形中，属于中心对称图形的有_____个．

【答案】2

【解析】

【详解】矩形，圆旋转180°还可以重合，所以有2个.

12. 如图，△ABC的外心的坐标是____.

【答案】

【解析】

【详解】试题解析：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，

∴作图得：

∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，

∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．

13. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝bx+a的图象不经过第_____象限．

【答案】四

【解析】

【分析】由二次函数的图象可判断出a、b的符号，则可判断一次函数的图象所在的象限，可求得答案．

【详解】解：∵二次函数图象开口向上，

∴a＞0，

∴对称轴小于0，

∴b＞0，

∴一次函数y＝bx+a与y轴的交点在x轴的上方，与x轴的交点在x轴的负半轴，

∴一次函数y＝bx+a的图象经过第一、二、三象限，

∴不经过第四象限，

故答案为：四．

【】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数中二次项系数决定函数图象的开口方向，a、b共同决定对称轴是解题的关键．

14. 如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？

【答案】

【解析】

【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．

【详解】解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．

∵AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，

∴BE=AB=4，CF=CD=3，

∴OE=，OF=，

∴CH=OE+OF=3+4=7，

BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，

在Rt△BCH中根据勾股定理得到BC=，

即PA+PC的最小值为

15. 在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列四个结论：①AE∥BC；②∠ADE=∠BDC；③△BDE是等边三角形；④△AED的周长是9．其中正确的结论是__（把你认为正确结论的序号都填上．）

【答案】①③④．

【解析】

【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，

∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，

∴AE∥BC，故选项①正确；

∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=5，

∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=5，

∵∠EBD=60°，BE=BD，∴△BDE是等边三角形，故选项③正确；

∴DE=BD=4，∴△AED周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项④正确；

而②没有条件证明∠ADE=∠BDC，∴结论错误的是②，

故答案为①③④．

三、解答题（本大题共小题，共75分）

16. 解方程：

（1）（x+1）2＝（2x﹣3）2；

（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．

【答案】（1）x1＝，x2＝4；（2）x1＝2，x2＝﹣1

【解析】

【分析】分别用因式分解法解方程即可．

【详解】解：（1）（x+1）2＝（2x﹣3）2；

移项得（x+1）2﹣（2x﹣3）2＝0，

分解因式得 （x+1+2x﹣3）（x+1﹣2x+3）＝0，

即x+1+2x﹣3＝0或x+1﹣2x+3＝0，

∴x1＝，x2＝4；

（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0

分解因式得（x﹣2）（x+1）＝0，

即x﹣2＝0或x+1＝0，

∴x1＝2，x2＝﹣1．

【】本题考查了因式分解法解一元二次方程，能将方程变形后进行因式分解，从而实现降次是解题关键．

17. 如图，在，且点B的坐标为，点A的坐标为.

（1）画出关于点O成中心对称的，并写出点的坐标；

（2）求出以点为顶点，并经过点A的二次函数关系式.

【答案】（1）详见解析，；（2）

【解析】

【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出、的坐标，然后描点即可得到；

（2）设顶点式抛物线的顶点B1的坐标为（-4，-2），然后把A点坐标代入求出a即可．

【详解】（1）如图，为所作，点的坐标为；

（2）∵抛物线的顶点的坐标为，

∴抛物线的解析式可设为，

把代入得，解得，

∴抛物线的解析式可设为.

【】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了待定系数法求抛物线解析式．

18. 九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量y与售价x满足一次函数关系，两者的相关信息如表：

已知该运动服的进价为60元/件．

（1）若要该种运动服的月利润为9600元，则应将售价定为多少？

（2）售价定为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

【答案】（1）若要该种运动服的月利润为9600元，则应将售价定为140元或120元；（2）售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元

【解析】

【分析】（1）根据待定系数法可求得y与x的关系式，设该种运动服的月利润为W元，根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式W=-2x2+520x-24000，把W值代入解析式，解方程即可；

（2）根据二次函数的性质求出最大利润．

【详解】解：（1）设月销量y与x的关系式为y＝kx+b，

由题意得，，

解得：，

∴y＝﹣2x+400，

由售价定为x元，则销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元，

设该种运动服月利润为W元，

由题意得，W＝（x﹣60）（﹣2x+400）

＝﹣2x2+520x﹣24000，

当W＝9600时，

即9600＝﹣2x2+520x﹣24000，

解得：x1＝140，x2＝120，

∴若要该种运动服的月利润为9600元，则应将售价定为140元或120元；

（2）由（1）知：W＝﹣2x2+520x﹣24000

＝﹣2（x﹣130）2+9800，

当x＝130时，利润最大值为9800元，

故售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．

【】本题考查的是二次函数的应用，一次函数的运用以及解一元二次方程，掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键．

19. 已知，P为等边三角形内一点，且BP=3，PC=4，将BP绕点B顺时针旋转60°至BP′位置．

（1）试判断△BPP′的形状，并说明理由；

（2）若∠BPC=150°，求PA的长度．

【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）5

【解析】

【分析】由已知绕点顺时针旋转至，运用是等边三角形联想：绕点顺时针旋转至，问题转化为将绕点顺时针旋转至，运用旋转的性质解题．

【详解】解：（1）’是等边三角形．

理由：绕点顺时针旋转至，

，；

是等边三角形．

（2）是等边三角形，

，，；

在△中，由勾股定理得，

∵,

∴∠ABP=∠CB，

在△ABP和中，

，

∴（SAS）

．

【】本题考查旋转的性质旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．

20. 如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．

（1）求证：AB为⊙C直径．

（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

【答案】（1）证明见解析（2）4，（-2，2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）由于∠AOB=90°，那么应连接AB，得到AB是直径．由∠BMO=120°可得到∠BAO=60°，易得OA=4，利用60°的三角函数，即可求得AB，进而求得半径．

（2）利用勾股定理可得OB长，作出OB的弦心距，利用勾股定理可得到C的横坐标的绝对值，同法可得到点C的横坐标．

（1）连接AB，AM，则由∠AOB=90°，故AB是直径，

（2）由∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°-120°=60°，

得∠BAO=60°，

又AO=4，故cos∠BAO= ，

AB=，

从而⊙C的半径为4．

.

过C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，

则EC=OF= ,，CF=OE= ．

故C点坐标为（-2，2）.

：本题考查了圆周角定理的推论，坐标与图形性质，勾股定理．本题用到的知识点为：90°的圆周角所对的弦是直径，三角形中位线定理，圆内接四边形的对角互补．

21. 已知，如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC＝BC，AC＝OB．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦AD的长．

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

【分析】（1）连接OA，由，OC＝CB，证明，再证明 即可得到结论；

（2）连接OD，由 证明 结合 利用勾股定理可得答案．

【详解】（1）证明：如图连接OA．

∵，OC＝CB，

∴AC＝OC＝CB，

∴∠OAB＝90°，

∴AB是⊙O的切线．

（2）解：连接OD．

∵∠DOA＝2∠DCA，∠DCA＝45°，

∴∠DOA＝90°，

∵OD＝OA＝OC＝2，

∴

【】本题考查的是圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的定义与性质，三角形的内角和定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．

22. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，

（1）AP＝　   　，BP＝　   　，BQ＝　   　；

（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？

（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1）2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；（2）当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；（3）当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2

【解析】

【分析】（1）根据路程=速度×时间以及题中给出的数量关系，即可得出结论；

（2）根据三角形的面积公式，列出方程即可求出结论；

（3）先列出△PBQ面积的函数解析式，再化成顶点式，找到最大值即可得出结论．

【详解】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，

所以BP＝（12﹣2t）cm，

故答案：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；

（2）△PBQ的面积S＝

＝（12﹣2t）×4t

＝﹣4t2+24t＝32，

解得：t＝2或4，

即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；

（3）S＝﹣4t2+24t

＝﹣4（t﹣3）2+36，

所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．

【】本题考查三角形的面积，二次函数最值等知识点，能根据题意列出函数关系式是解题的关键．

23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

【答案】（1）；（2），时有最大值；（3）或或或．

【解析】

【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．

（2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM＋S△OBM−S△AOB即可进行解答；

（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．

【详解】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：，

将，，三点代入函数解析式得：

，

解得，

所以此函数解析式为：；

（2）∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，

∴点的坐标为：，

∴

∵，

当时，有最大值为：．

答：时有最大值．

（3）设．

当为边时，根据平行四边形的性质知，且，

∴的横坐标等于的横坐标，

又∵直线的解析式为，则．

由，得，

解得，，．（不合题意，舍去）

如图，当为对角线时，知与应该重合，．

四边形为平行四边形则，横坐标为4，

代入得出为．

由此可得或或或．

【】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．