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2021-2022学年广东省茂名市高州一中八年级（上）月考数学试卷（9月份） 解析版
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2021-2022学年广东省茂名市高州一中八年级（上）月考数学试卷（9月份）
一．选择题
1．（3分）在实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．所有的实数都可用数轴上的点表示
B．等角的补角相等
C．无理数包括正无理数，0，负无理数
D．两点之间，线段最短
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2＝c2
B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠B＝90°，则a2+b2＝c2
C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2+b2＝c2
D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2+b2＝c2
4．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4
5．（3分）下列最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5 B．2 C． D．
7．（3分）若一个自然数的算术平方根是m，则此自然数的下一个自然数（即相邻且更大的自然数）的算术平方根是（ ）
A． B．m2+1 C．m+1 D．
8．（3分）使为最大的负整数，则a的值为（ ）
A．±5 B．5 C．﹣5 D．不存在
9．（3分）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
10．（3分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若﹣是m的一个平方根，则m+13的算术平方根是 ．
12．（4分）设的整数部分是m，的整数部分是n，则（m+n）n的值是 ．
13．（4分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足（a﹣1）2+＝0，则c的取值范围是 ．
14．（4分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|＝ ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 ．
16．（4分）若与|b+2|互为相反数，则（a﹣b）2的平方根＝ ．
17．（4分）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2021＝ ．
三、解答题（本大题共3小题，共18分）
18．计算．
19．小明同学用如下图所示的方法作出了C点，表示数，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．
（1）请说明小明同学这样做的理由：
（2）仿照小明同学的作法，请你在如下所给数轴上描出表示的点E．（保留痕迹，不写画法）．
20．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
四、解答题（本大题共3小题，共24分）
21．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米B处，过了2秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
22．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是2的平方根，求的值．
23．已知m+n﹣5的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，试求 的值．
五、解答题（本大题共2小题，共20分）
24．已知：如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2．求：四边形ABCD的面积．
25．阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；①
；②
＝．③
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝．④
（1）请用不同的方法化简．
参照③式得＝ ；
参照④式得＝ ．
（2）化简：…+（n＝1，2，3，…）．
2021-2022学年广东省茂名市高州一中八年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（3分）在实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据即可得出答案．
【解答】解：实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数有：，，0.123456…，共3个．
故选：B．
2．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．所有的实数都可用数轴上的点表示
B．等角的补角相等
C．无理数包括正无理数，0，负无理数
D．两点之间，线段最短
【分析】根据实数与数轴上的点一一对应对A进行判断；
根据补角的定义对B进行判断；
根据无理数的分类对C进行判断；
根据线段公理对D进行判断．
【解答】解：A、所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A选项正确；
B、等角的补角相等，所以B选项正确；
C、无理数包括正无理数和负无理数，0是有理数，所以C选项错误；
D、两点之间，线段最短，所以D选项正确．
故选：C．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2＝c2
B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠B＝90°，则a2+b2＝c2
C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2+b2＝c2
D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2+b2＝c2
【分析】根据勾股定理进行判断．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【解答】解：A、当△ABC是直角三角形且∠C＝90°时，a2+b2＝c2，故本选项错误；
B、若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠B＝90°，则a2+c2＝b2，故本选项错误；
C、若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2+b2＝a2，故本选项错误；
D、若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2+b2＝c2，故本选项正确；
故选：D．
4．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
5．（3分）下列最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含开得尽的因数，故B错误；
C、被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，故C正确；
D、被开方数含开得尽的因数，故D错误；
故选：C．
6．（3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5 B．2 C． D．
【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．
【解答】解：由勾股定理可知，
∵OB＝，
∴这个点表示的实数是．
故选：D．
7．（3分）若一个自然数的算术平方根是m，则此自然数的下一个自然数（即相邻且更大的自然数）的算术平方根是（ ）
A． B．m2+1 C．m+1 D．
【分析】先求出这个数，然后加1求出下一个自然数，再根据算术平方根的定义写出即可．
【解答】解：∵自然数的算术平方根为m，
∴自然数是m2，
∴下一个自然数是m2+1，
它的算术平方根是．
故选：A．
8．（3分）使为最大的负整数，则a的值为（ ）
A．±5 B．5 C．﹣5 D．不存在
【分析】由于使为最大的负整数，那么其中的被开方数必须是一个整数的立方，利用立方根的定义和绝对值意义来解即可．
【解答】解：∵最大负整数为﹣1，
∴＝﹣1，
∴a＝±5
故选：A．
9．（3分）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣8＝16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴AB＝＝17，
∴此时h＝24﹣17＝7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．
10．（3分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设DE＝x，则AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．
【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，
∴∠ABE＝∠C′DE，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），
∴BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE的长为5．
故选：C．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若﹣是m的一个平方根，则m+13的算术平方根是 4 ．
【分析】利用平方根的定义求出m的值，确定出m+13的值，即可求出算术平方根．
【解答】解：根据题意得：m＝（﹣）2＝3，
则m+13＝16，
因为16的算术平方根为4，
所以m+13的算术平方根是4．
故答案为：4．
12．（4分）设的整数部分是m，的整数部分是n，则（m+n）n的值是 9 ．
【分析】估算、的大小，确定m、n的值再代入计算即可．
【解答】解：∵1＜＜2，2＜＜3，
∴m＝1，n＝2，
∴（m+n）n＝（1+2）2＝9，
故答案为：9．
13．（4分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足（a﹣1）2+＝0，则c的取值范围是 1＜c＜3 ．
【分析】根据非负数的性质即可求出a与b的值，然后根据三角形三边关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：（a﹣1）2+＝0，
∴a＝1，b＝2，
∴由三角形三边关系可知：1＜c＜3，
故答案为：1＜c＜3．
14．（4分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|＝ ﹣b ．
【分析】首先根据数轴即可确定a，b的符号，然后根据算术平方根的定义、绝对值的性质即可化简．
【解答】解：根据数轴可得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0，
则﹣|a﹣b|＝﹣a﹣（b﹣a）＝﹣a﹣b+a＝﹣b，
故答案为：﹣b．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 ．
【分析】利用勾股定理求出BC＝4，设BE＝x，则CE＝4﹣x，在Rt△B'EC中，利用勾股定理解出x的值即可．
【解答】解：BC＝＝4，
由折叠的性质得：BE＝BE′，AB＝AB′，
设BE＝x，则B′E＝x，CE＝4﹣x，B′C＝AC﹣AB′＝AC﹣AB＝2，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2＝EC2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝．
故答案为：．
16．（4分）若与|b+2|互为相反数，则（a﹣b）2的平方根＝ ±3 ．
【分析】利用非负数的性质确定a、b的值即可解决问题．
【解答】解：∵若与|b+2|互为相反数，
∴+|b+2|＝0，
∵≥0，|b+2|≥0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴（a﹣b）2＝9，
∴9的平方根为±3．
故答案为±3．
17．（4分）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2021＝ ．
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，
∴OP4＝＝，
…，
OP2021＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共3小题，共18分）
18．计算．
【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝3+×5﹣4×
＝3+﹣2
＝2．
19．小明同学用如下图所示的方法作出了C点，表示数，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．
（1）请说明小明同学这样做的理由：
（2）仿照小明同学的作法，请你在如下所给数轴上描出表示的点E．（保留痕迹，不写画法）．
【分析】（1）在Rt△OAB中，利用勾股定理易求OB＝，从而可得OC＝；
（2）类似第一个图的作法画图．
【解答】解：（1）在Rt△OAB中，有
OB2＝OA2+AB2＝13，
∴OC＝OB＝，
即点C表示数；
（2）如右图所示，
OB＝2，AB＝1，
∴OA＝＝，
再以OA为半径画弧，交数轴的左半轴于E，那么OE＝﹣．
20．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，
小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，
在Rt△AEC中，AC＝＝10m，
故小鸟至少飞行10m．
四、解答题（本大题共3小题，共24分）
21．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米B处，过了2秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据速度＝路程÷时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．
【解答】解：由勾股定理得，BC＝＝＝40米，
v＝40÷2＝20米/秒，
∵20×3.6＝72，
∴20米/秒＝72千米/小时，72＞70，
∴这辆小汽车超速了
22．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是2的平方根，求的值．
【分析】根据相反数、倒数的定义，可得出a+b＝0，cd＝1，解出x的值后代入即可得出答案．
【解答】解：由题意知a+b＝0，cd＝1，x＝，
当x＝时，原式＝﹣+＝0．
当x＝﹣时，原式＝﹣﹣＝﹣2．
故原式的值为0或﹣2．
23．已知m+n﹣5的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，试求 的值．
【分析】根据算术平方根和立方根的定义得到m+n﹣5＝9①，m﹣n+4＝﹣8②，解方程组可求m，n的值，再代入计算可求 的值．
【解答】解：根据题意得，
解得，
所以3m﹣n+2＝﹣8，2m+1＝3，
所以＝﹣2．
五、解答题（本大题共2小题，共20分）
24．已知：如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2．求：四边形ABCD的面积．
【分析】延长AD，BC，交于点E，在直角三角形ABE中，利用30度角所对的直角边得到AE＝2AB，再利用勾股定理求出BE的长，在直角三角形DCE中，同理求出DE的长，四边形ABCD面积＝三角形ABE面积﹣三角形DCE面积，求出即可．
【解答】解：延长AD，BC，交于点E，
在Rt△ABE中，∠A＝60°，AB＝4，
∴∠E＝30°，AE＝2AB＝8，
∴BE＝＝4，
在Rt△DCE中，∠E＝30°，CD＝2，
∴CE＝2CD＝4，根据勾股定理得：DE＝＝2，
则S四边形ABCD＝S△ABE﹣S△DCE＝AB•BE﹣DC•ED＝8﹣2＝6．
25．阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；①
；②
＝．③
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝．④
（1）请用不同的方法化简．
参照③式得＝ ﹣ ；
参照④式得＝ ﹣ ．
（2）化简：…+（n＝1，2，3，…）．
【分析】（1）仿照所给例子进行分母有理化即可；
（2）将式子中每一项都进行分母有理化，然后再合并同类项即可求解．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝﹣，
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣，﹣；
（2）…+
＝+++…+
＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣1）．
2021-2022学年广东省茂名市高州一中八年级（上）月考数学试卷（9月份）
一．选择题
1．（3分）在实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．所有的实数都可用数轴上的点表示
B．等角的补角相等
C．无理数包括正无理数，0，负无理数
D．两点之间，线段最短
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2＝c2
B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠B＝90°，则a2+b2＝c2
C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2+b2＝c2
D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2+b2＝c2
4．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4
5．（3分）下列最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5 B．2 C． D．
7．（3分）若一个自然数的算术平方根是m，则此自然数的下一个自然数（即相邻且更大的自然数）的算术平方根是（ ）
A． B．m2+1 C．m+1 D．
8．（3分）使为最大的负整数，则a的值为（ ）
A．±5 B．5 C．﹣5 D．不存在
9．（3分）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
10．（3分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若﹣是m的一个平方根，则m+13的算术平方根是 ．
12．（4分）设的整数部分是m，的整数部分是n，则（m+n）n的值是 ．
13．（4分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足（a﹣1）2+＝0，则c的取值范围是 ．
14．（4分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|＝ ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 ．
16．（4分）若与|b+2|互为相反数，则（a﹣b）2的平方根＝ ．
17．（4分）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2021＝ ．
三、解答题（本大题共3小题，共18分）
18．计算．
19．小明同学用如下图所示的方法作出了C点，表示数，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．
（1）请说明小明同学这样做的理由：
（2）仿照小明同学的作法，请你在如下所给数轴上描出表示的点E．（保留痕迹，不写画法）．
20．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
四、解答题（本大题共3小题，共24分）
21．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米B处，过了2秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
22．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是2的平方根，求的值．
23．已知m+n﹣5的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，试求 的值．
五、解答题（本大题共2小题，共20分）
24．已知：如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2．求：四边形ABCD的面积．
25．阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；①
；②
＝．③
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝．④
（1）请用不同的方法化简．
参照③式得＝ ；
参照④式得＝ ．
（2）化简：…+（n＝1，2，3，…）．
2021-2022学年广东省茂名市高州一中八年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（3分）在实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据即可得出答案．
【解答】解：实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数有：，，0.123456…，共3个．
故选：B．
2．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．所有的实数都可用数轴上的点表示
B．等角的补角相等
C．无理数包括正无理数，0，负无理数
D．两点之间，线段最短
【分析】根据实数与数轴上的点一一对应对A进行判断；
根据补角的定义对B进行判断；
根据无理数的分类对C进行判断；
根据线段公理对D进行判断．
【解答】解：A、所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A选项正确；
B、等角的补角相等，所以B选项正确；
C、无理数包括正无理数和负无理数，0是有理数，所以C选项错误；
D、两点之间，线段最短，所以D选项正确．
故选：C．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2＝c2
B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠B＝90°，则a2+b2＝c2
C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2+b2＝c2
D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2+b2＝c2
【分析】根据勾股定理进行判断．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【解答】解：A、当△ABC是直角三角形且∠C＝90°时，a2+b2＝c2，故本选项错误；
B、若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠B＝90°，则a2+c2＝b2，故本选项错误；
C、若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2+b2＝a2，故本选项错误；
D、若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2+b2＝c2，故本选项正确；
故选：D．
4．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
5．（3分）下列最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含开得尽的因数，故B错误；
C、被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，故C正确；
D、被开方数含开得尽的因数，故D错误；
故选：C．
6．（3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5 B．2 C． D．
【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．
【解答】解：由勾股定理可知，
∵OB＝，
∴这个点表示的实数是．
故选：D．
7．（3分）若一个自然数的算术平方根是m，则此自然数的下一个自然数（即相邻且更大的自然数）的算术平方根是（ ）
A． B．m2+1 C．m+1 D．
【分析】先求出这个数，然后加1求出下一个自然数，再根据算术平方根的定义写出即可．
【解答】解：∵自然数的算术平方根为m，
∴自然数是m2，
∴下一个自然数是m2+1，
它的算术平方根是．
故选：A．
8．（3分）使为最大的负整数，则a的值为（ ）
A．±5 B．5 C．﹣5 D．不存在
【分析】由于使为最大的负整数，那么其中的被开方数必须是一个整数的立方，利用立方根的定义和绝对值意义来解即可．
【解答】解：∵最大负整数为﹣1，
∴＝﹣1，
∴a＝±5
故选：A．
9．（3分）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣8＝16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴AB＝＝17，
∴此时h＝24﹣17＝7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．
10．（3分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设DE＝x，则AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．
【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，
∴∠ABE＝∠C′DE，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），
∴BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE的长为5．
故选：C．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若﹣是m的一个平方根，则m+13的算术平方根是 4 ．
【分析】利用平方根的定义求出m的值，确定出m+13的值，即可求出算术平方根．
【解答】解：根据题意得：m＝（﹣）2＝3，
则m+13＝16，
因为16的算术平方根为4，
所以m+13的算术平方根是4．
故答案为：4．
12．（4分）设的整数部分是m，的整数部分是n，则（m+n）n的值是 9 ．
【分析】估算、的大小，确定m、n的值再代入计算即可．
【解答】解：∵1＜＜2，2＜＜3，
∴m＝1，n＝2，
∴（m+n）n＝（1+2）2＝9，
故答案为：9．
13．（4分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足（a﹣1）2+＝0，则c的取值范围是 1＜c＜3 ．
【分析】根据非负数的性质即可求出a与b的值，然后根据三角形三边关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：（a﹣1）2+＝0，
∴a＝1，b＝2，
∴由三角形三边关系可知：1＜c＜3，
故答案为：1＜c＜3．
14．（4分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|＝ ﹣b ．
【分析】首先根据数轴即可确定a，b的符号，然后根据算术平方根的定义、绝对值的性质即可化简．
【解答】解：根据数轴可得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0，
则﹣|a﹣b|＝﹣a﹣（b﹣a）＝﹣a﹣b+a＝﹣b，
故答案为：﹣b．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 ．
【分析】利用勾股定理求出BC＝4，设BE＝x，则CE＝4﹣x，在Rt△B'EC中，利用勾股定理解出x的值即可．
【解答】解：BC＝＝4，
由折叠的性质得：BE＝BE′，AB＝AB′，
设BE＝x，则B′E＝x，CE＝4﹣x，B′C＝AC﹣AB′＝AC﹣AB＝2，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2＝EC2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝．
故答案为：．
16．（4分）若与|b+2|互为相反数，则（a﹣b）2的平方根＝ ±3 ．
【分析】利用非负数的性质确定a、b的值即可解决问题．
【解答】解：∵若与|b+2|互为相反数，
∴+|b+2|＝0，
∵≥0，|b+2|≥0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴（a﹣b）2＝9，
∴9的平方根为±3．
故答案为±3．
17．（4分）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2021＝ ．
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，
∴OP4＝＝，
…，
OP2021＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共3小题，共18分）
18．计算．
【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝3+×5﹣4×
＝3+﹣2
＝2．
19．小明同学用如下图所示的方法作出了C点，表示数，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．
（1）请说明小明同学这样做的理由：
（2）仿照小明同学的作法，请你在如下所给数轴上描出表示的点E．（保留痕迹，不写画法）．
【分析】（1）在Rt△OAB中，利用勾股定理易求OB＝，从而可得OC＝；
（2）类似第一个图的作法画图．
【解答】解：（1）在Rt△OAB中，有
OB2＝OA2+AB2＝13，
∴OC＝OB＝，
即点C表示数；
（2）如右图所示，
OB＝2，AB＝1，
∴OA＝＝，
再以OA为半径画弧，交数轴的左半轴于E，那么OE＝﹣．
20．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，
小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，
在Rt△AEC中，AC＝＝10m，
故小鸟至少飞行10m．
四、解答题（本大题共3小题，共24分）
21．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米B处，过了2秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据速度＝路程÷时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．
【解答】解：由勾股定理得，BC＝＝＝40米，
v＝40÷2＝20米/秒，
∵20×3.6＝72，
∴20米/秒＝72千米/小时，72＞70，
∴这辆小汽车超速了
22．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是2的平方根，求的值．
【分析】根据相反数、倒数的定义，可得出a+b＝0，cd＝1，解出x的值后代入即可得出答案．
【解答】解：由题意知a+b＝0，cd＝1，x＝，
当x＝时，原式＝﹣+＝0．
当x＝﹣时，原式＝﹣﹣＝﹣2．
故原式的值为0或﹣2．
23．已知m+n﹣5的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，试求 的值．
【分析】根据算术平方根和立方根的定义得到m+n﹣5＝9①，m﹣n+4＝﹣8②，解方程组可求m，n的值，再代入计算可求 的值．
【解答】解：根据题意得，
解得，
所以3m﹣n+2＝﹣8，2m+1＝3，
所以＝﹣2．
五、解答题（本大题共2小题，共20分）
24．已知：如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2．求：四边形ABCD的面积．
【分析】延长AD，BC，交于点E，在直角三角形ABE中，利用30度角所对的直角边得到AE＝2AB，再利用勾股定理求出BE的长，在直角三角形DCE中，同理求出DE的长，四边形ABCD面积＝三角形ABE面积﹣三角形DCE面积，求出即可．
【解答】解：延长AD，BC，交于点E，
在Rt△ABE中，∠A＝60°，AB＝4，
∴∠E＝30°，AE＝2AB＝8，
∴BE＝＝4，
在Rt△DCE中，∠E＝30°，CD＝2，
∴CE＝2CD＝4，根据勾股定理得：DE＝＝2，
则S四边形ABCD＝S△ABE﹣S△DCE＝AB•BE﹣DC•ED＝8﹣2＝6．
25．阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；①
；②
＝．③
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝．④
（1）请用不同的方法化简．
参照③式得＝ ﹣ ；
参照④式得＝ ﹣ ．
（2）化简：…+（n＝1，2，3，…）．
【分析】（1）仿照所给例子进行分母有理化即可；
（2）将式子中每一项都进行分母有理化，然后再合并同类项即可求解．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝﹣，
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣，﹣；
（2）…+
＝+++…+
＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣1）．
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