2020-2021学年江西省上饶市高一（下）4月周测数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市高一（下）4月周测数学（理）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知α是第四象限角，且sinα=−55，则tanα=（ ）
A.−12B.−43C.12D.43

2. sin78∘sin18∘−cs78∘cs162∘=( )
A.32B.−32C.12D.−12

3. 函数fx=tanx1−tan2x的最小正周期为（ ）
A.π4B.π2C.πD.2π

4. 直线l:2x+y+3=0倾斜角为α，则sin2α+cs2α的值为( )
A.45B.−45C.35D.−35

5. 已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边绕O点顺时针旋转π3后，经过点−3,4，则sinα=（ ）
A.33+410B.4−3310C.33−410D.−33+410

6. 已知sinx+csx=a，x∈[0, 2π)，若0A.(0,π2)B.(π2,π)∪(3π2,2π)
C.(0,π2)∪(3π2,2π)D.(π2,34π)∪(74π,2π)

7. 设a=32cs29∘−12sin29∘, b=1−cs66∘2 ，c=2tan16∘1+tan216∘则有（ ）
A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

8. 已知sin5π6−2x=csx−π6，则sin2π3−x=( )
A.−12或1 B.12或−1C.−32或1D.32或−1

9. 在△ABC中，如果2csA−csB=12，sinB+2sinA=322，则∠C的大小为（ ）
A.30∘B.60∘C.30∘或150∘D.60∘或120∘

10. 函数fx=Asinωx(A>0，ω>0)的部分图象如图，O为坐标原点，M点是该图象与x轴的一个交点，N点是该图象的一个最高点，且ON⊥MN，|MN|=3，则A与ω分别为( )

A.32，πB.32，πC.32，2π3D.32，2π3

11. 1sin20∘−tan50∘=（ ）
A.3B.34C.2D.3

12. 设函数fx=cs2x2+sinxcsx，则( )
A.fx=fx+π4B.fx的最大值为12
C.fx在−π4,0上单调递增D.fx在0,π4上单调递减
二、填空题

1−sin2240∘的值为________．
三、解答题

已知α∈π,32π，4sinπ2−αcs10π−αsin−α+3πtanπ+αsin5π2+α=2sinαcsα．
(1)求tanα的值；

(2)求csα−sinα2sinα+csα的值．

已知0<α<π2，sinα=513.
(1)求sin2α的值；

(2)若cs(α−β)=45, 0<α<β<π2，求csβ的值.

已知函数fx=3sin2x−2cs2x+1．
(1)求fx的最小正周期；

(2)若对任意x∈π6,m，都有fx≥fπ6，求m的最大值．

已知A，B，C为△ABC的内角，且2sinB−C+4csBsinC=2，A为锐角．
(1)求角A的大小；

(2)求sin2B+2sinC的取值范围.

已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)+2sin2ωx+φ2−1(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为π2．
(1)当x∈−π2,π4时，求fx的单调递减区间；

(2)将函数y=fx的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象．当x∈−π12,π6时，求函数gx的值域．

已知函数f(x)=sin4x+2sinxcsx−cs4x．
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的自变量x的取值集合．

(2)若函数gx=fωx在区间0,π内恰有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，
①求实数ω的取值范围；
②当|x1−x2|=|x3−x4|=π2时，求实数ω的值及相应的四个零点．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一（下）4月周测数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【解答】
解：∵ sinα=−55，且α在第四象限，
则csα=1−sin2α=255,
∴ tanα=sinαcsα=−12.
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的正弦公式
【解析】
利用两角和的正弦函数公式化简后即可得答案．
【解答】
解：sin78∘sin18∘−cs78∘cs162∘
=cs12∘sin18∘+sin12∘cs18∘
=sin30∘
=12，
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
二倍角的正切公式
正切函数的周期性
正切函数的性质
同角三角函数间的基本关系
【解析】
利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
【解答】
解：fx=tanx1−tan2x
=sinxcsx1−sinxcsx2=sinxcsxcs2x−sinx2cs2x
=12tan2x.
定义域满足tanx2≠1,
所以最小正周期为T=π2
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
二倍角的三角函数
直线的倾斜角
【解析】
根据直线的方程求出斜率，得出tanα的值，再利用弦化切，计算sin2α+cs2α的值．
【解答】
解：直线l:2x+y+3=0可化为y=−2x−3，
倾斜角为α，则tanα=−2，
所以sin2α+cs2α
=2sinαcsα+cs2αsin2α+cs2α
=2tanα+1tan2α+1
=−35.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的余弦公式
任意角的三角函数
【解析】
依题意得， sinα−π3=45,csα−π3=−35，则sinα=sinα−π3+π3，由两角和的正弦公式即可求解．
【解答】
解：因为将角α的终边按顺时针方向旋转π3后得到的角为α−π3，
所以sinα−π3=45,csα−π3=−35，
则sinα=sin[(α−π3)+π3]
=sinα−π3csπ3+csα−π3sinπ3
=45×12+−35×32
=4−3310.
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
正弦函数的定义域和值域
【解析】
由已知利用辅助角公式化积，结合0【解答】
解：a=sinx+csx=2sin(x+π4)，
∵ 0∴ 0<2sin(x+π4)<1，
即0∴ 2kπ即−π4+2kπ∵ x∈[0, 2π)，
∴ x∈(π2,34π)∪(74π,2π)，
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
三角函数的化简求值
三角函数的恒等变换及化简求值
两角和与差的正弦公式
【解析】
由题意利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
【解答】
解：∵ a=32cs29∘−12sin29∘
=sin60∘−29∘=sin31∘，
b=1−cs66∘2=sin233∘=sin33∘，
c=2tan16∘1+tan216∘=2sin16∘cs16∘sin216∘+cs216∘=sin32∘，
且31∘<32∘<33∘，
则sin31∘故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
二倍角的余弦公式
【解析】
首先利用诱导公式及同角关系，得到csx−π6=−12或csx−π6=1，再用诱导公式，即可得出答案.
【解答】
解：sin5π6−2x=sinπ2+π3−2x=csπ3−2x
=cs2x−π3=cs2x−π6，
∴cs2x−π6=csx−π6，
∴2cs2x−π6−1=csx−π6，
即2cs2x−x6−csx−π6−1=0，
解得csx−π6=−12或csx−π6=1，
又sin2π3−x=sinπ2+π6−x=csπ6−x=csx−π6，
∴sin2π3−x=1或−12.
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
对已知两个等式分别平方然后相加即可求出csA+B的值，由此求出csC的值，再根据C的范围即可求解．
【解答】
解：∵ 2csA−csB=12，①
sinB+2sinA=332，②
对等式①②分别平方相加可得：
4+1+4sinAsinB−4csAcsB=14+274=7.
整理可得：csA+B=−12
又A+B+C=180∘，
所以csC=12
因为0∘所以C=60∘.
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的图象
正弦函数的周期性
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
设M，O的中点是P，根据△MNQ为直角三角形得出NP=12OM=MP，△OPN是等边三角形，求出A、T的关系，即可求得ω、A的值．
【解答】
解：设M，O的中点是P，如图所示：
因为ON⊥MN，则△MNQ为直角三角形，
所以NP=12OM=OP，△OPN是等边三角形，
所以A=32⋅T2=34T，
|MN|2=34T2+34T2=34T2=32，
解得T=2，
所以ω=2πT=π，A=34T=32．
故选A．
11.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正切公式
两角和与差的正弦公式
【解析】
利用三角函数的诱导公式以及两角和与差的三角函数公式进行化简.
【解答】
解：1sin20∘−tan50∘=1sin20∘−sin50∘cs50∘=1sin20∘−cs40∘sin40∘
=2cs20∘2sin20∘cs20∘−cs40∘sin40∘=2cs20∘sin40∘−cs40∘sin40∘
=2cs60∘−40∘−cs40∘sin40∘
=2×12cs40∘+2×32sin40∘−cs40∘sin40∘
=3sin40∘sin40∘=3.
故选A．
12.
【答案】
D
【考点】
函数的周期性
两角和与差的余弦公式
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：fx的定义域为R，且fx=cs2x2+sinxcsx，
fx+π4=cs2x+π22+sinx+π4csx+π4=−2sin2x4+cs2x
≠cs2x2+sinxcsx=fx，故A不正确；
又fx=2cs2x4+2sinxcsx=2cs2x4+sin2x，
令y=2cs2x4+sin2x，
则4y=2cs2x−ysin2x=4+y2cs2x+φ，
其中csφ=24+y2，sinφ=y4+y2，
故|4y4+y2|≤1，即y2≤415，
故−21515≤y≤21515，
当y=21515时，有csφ=154，sinφ=14，
此时cs2x+φ=1，即x=kπ−φ2，
故ymax=21515，故B错误；
fx的几何意义为单位圆上的动点（sin2x，cs2x）与点−4,0连线的斜率的2倍，
当 x∈−π4,0时，动点在第二象限从左向右移动，斜率先增大后减小，故C错误；
当 x∈0,π4时，动点在第一象限从左向右移动，斜率逐渐减小，故D正确．
故选D.
二、填空题
【答案】
12
【考点】
三角函数的化简求值
【解析】
由240∘=180∘+60∘，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出sin240∘的值，然后把sin240∘的值代入到所求的式子中化简，即可求出值．
【解答】
解：因为sin240∘=sin(180∘+60∘)=−sin60∘=−32，
所以1−sin2240∘=1−(−32)2=12．
故答案为：12．
三、解答题
【答案】
解：(1)由4sinπ2−αcs10π−αsin−α+3πtan(π+α)sin(5π2+α)=4csαcsαsinαtanαcsα，
=4cs2α=2sinαcsα
得sinα=2csα
所以tanα=sinαcsα=2．
(2)由(1)知，tanα=2，
所以csα−sinα2sinα+csα=1−tanα2tanα+1=1−24+1=−15．
【考点】
运用诱导公式化简求值
三角函数的恒等变换及化简求值
同角三角函数间的基本关系
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由4sinπ2−αcs10π−αsin−α+3πtan(π+α)sin(5π2+α)=4csαcsαsinαtanαcsα，
=4cs2α=2sinαcsα
得sinα=2csα
所以tanα=sinαcsα=2．
(2)由(1)知，tanα=2，
所以csα−sinα2sinα+csα=1−tanα2tanα+1=1−24+1=−15．
【答案】
解：(1)∵0<α<π2, sinα=513，
∴csα=1−sin2α=1213，
∴sin2α=2sinαcsα=120169.
(2)∵ cs(α−β)=45, 0<α<β<π2，
∴sin(α−β)=−1−cs2(α−β)=−35，
csβ=cs[α−(α−β)]
=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)
=1213×45+513×−35
=3365.
【考点】
二倍角的正弦公式
两角和与差的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵0<α<π2, sinα=513，
∴csα=1−sin2α=1213，
∴sin2α=2sinαcsα=120169.
(2)∵ cs(α−β)=45, 0<α<β<π2，
∴sin(α−β)=−1−cs2(α−β)=−35，
csβ=cs[α−(α−β)]
=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)
=1213×45+513×−35
=3365.
【答案】
解：(1)因为fx=3sin2x−2cs2x+1
=3sin2x−cs2x
=232sin2x−12cs2x
=2sin2x−π6，
所以fx的最小正周期为T=2π2=π．
(2)由(1)知fx=2sin2x−π6，
令t=2x−π6，
当x∈π6,m时， t∈π6,2m−π6，
若对任意x∈π6,m，都有fx≥fπ6，
即对任意t∈π6,2m−π6，都有sint≥12，
所以2m−π6≤5π6；
即m≤π2，
所以m的最大值为π2．
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角函数的周期性及其求法
三角函数的最值
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为fx=3sin2x−2cs2x+1
=3sin2x−cs2x
=232sin2x−12cs2x
=2sin2x−π6，
所以fx的最小正周期为T=2π2=π．
(2)由(1)知fx=2sin2x−π6，
令t=2x−π6，
当x∈π6,m时， t∈π6,2m−π6，
若对任意x∈π6,m，都有fx≥fπ6，
即对任意t∈π6,2m−π6，都有sint≥12，
所以2m−π6≤5π6；
即m≤π2，
所以m的最大值为π2．
【答案】
解：(1)由于2sinB−C+4csBsinC=2，
整理得2sinBcsC+2csBsinC=2，
所以sinB+C=22，
由于A为锐角，
所以sinB+C=sinA=22，
解得A=π4．
(2)sin2B+2sinC=2sinBcsB+2sin3π4−B
=2sinBcsB+2sinB+csB，
令sinB+csB=t，则t∈0,2，
2sinBcsB=t2−1，
所以sin2B+2sinC=2sinBcsB+2sinB+csB
=t2+2t−1∈(−1,3]，
故sin2B+2sinC的取值范围为−1,3．
【考点】
两角和与差的正弦公式
二倍角的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由于2sinB−C+4csBsinC=2，
整理得2sinBcsC+2csBsinC=2，
所以sinB+C=22，
由于A为锐角，
所以sinB+C=sinA=22，
解得A=π4．
(2)sin2B+2sinC=2sinBcsB+2sin3π4−B
=2sinBcsB+2sinB+csB，
令sinB+csB=t，则t∈0,2，
2sinBcsB=t2−1，
所以sin2B+2sinC=2sinBcsB+2sinB+csB
=t2+2t−1∈(−1,3]，
故sin2B+2sinC的取值范围为−1,3．
【答案】
解：(1)∵ 函数f(x)=3sin(ωx+φ)−cs(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π6)，
且相邻两对称轴间的距离为π2，可得T=2×π2=2πω，求得ω=2．
再根据f(x)为奇函数，可得φ−π6=kπ，k∈Z，
即φ=kπ+π6，故可取φ=π6，
故f(x)=2sin2x．
令2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2，
求得kπ+π4≤x≤kπ+3π4，
可得f(x)的减区间为[kπ+π4, kπ+3π4]，k∈Z．
再结合x∈(−π2, π4)，可得减区间为[−π2, −π4]．
(2)将函数y=f(x)的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，
可得函数y=2sin2(x−π6)=2sin(2x−π3)的图象；
再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），
得到函数y=g(x)=2sin(4x−π3)的图象，
当x∈[−π12, π6]时，4x−π3∈[−2π3, π3]，−1≤sin(2x−π3)≤32，
∴ g(x)∈[−2, 3]．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
二倍角的余弦公式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 函数f(x)=3sin(ωx+φ)−cs(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π6)，
且相邻两对称轴间的距离为π2，可得T=2×π2=2πω，求得ω=2．
再根据f(x)为奇函数，可得φ−π6=kπ，k∈Z，
即φ=kπ+π6，故可取φ=π6，
故f(x)=2sin2x．
令2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2，
求得kπ+π4≤x≤kπ+3π4，
可得f(x)的减区间为[kπ+π4, kπ+3π4]，k∈Z．
再结合x∈(−π2, π4)，可得减区间为[−π2, −π4]．
(2)将函数y=f(x)的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，
可得函数y=2sin2(x−π6)=2sin(2x−π3)的图象；
再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），
得到函数y=g(x)=2sin(4x−π3)的图象，
当x∈[−π12, π6]时，4x−π3∈[−2π3, π3]，−1≤sin(2x−π3)≤32，
∴ g(x)∈[−2, 3]．
【答案】
解：(1)函数fx=sin4x+2sinxcsx−cs4x
=sin2x−cs2x+sin2x
=sin2x−cs2x
=2sin2x−π4，
当2x−π4=2kπ+π2，即x=kπ+3π8k∈Z时，fx取得最大值为2，
此时x的取值范围是x|x=kπ+3π8,k∈Z.
(2)函数gx=fωx=2sin2ωx−π4，
①函数gx在区间0,π内恰有四个不同的零点的充分必要条件为
g(0)≤0,13π8ω≤π，17π8ω>π即2sin(−π4)≤0，ω≥138，ω≤178，
解得138≤ω<178；
②|x1−x2|=|x3−x4|=4π8ω或8π8ω；
若4π8ω=π2，解得ω=1，此时gx=2sin2x−π4在区间0,π内只有两个零点，不符合题意，舍去；
若8π8ω=π2，解得ω=2，此时gx=2sin4x−π4在区间0,π内恰有四个零点，
它们分别是π16，5π16，9π16，13π16；
综上所述，ω=2，相应的四个零点分别是π16，5π16，9π16，13π16.
【考点】
两角和与差的三角函数
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)函数fx=sin4x+2sinxcsx−cs4x
=sin2x−cs2x+sin2x
=sin2x−cs2x
=2sin2x−π4，
当2x−π4=2kπ+π2，即x=kπ+3π8k∈Z时，fx取得最大值为2，
此时x的取值范围是x|x=kπ+3π8,k∈Z.
(2)函数gx=fωx=2sin2ωx−π4，
①函数gx在区间0,π内恰有四个不同的零点的充分必要条件为
g(0)≤0,13π8ω≤π，17π8ω>π即2sin(−π4)≤0，ω≥138，ω≤178，
解得138≤ω<178；
②|x1−x2|=|x3−x4|=4π8ω或8π8ω；
若4π8ω=π2，解得ω=1，此时gx=2sin2x−π4在区间0,π内只有两个零点，不符合题意，舍去；
若8π8ω=π2，解得ω=2，此时gx=2sin4x−π4在区间0,π内恰有四个零点，
它们分别是π16，5π16，9π16，13π16；
综上所述，ω=2，相应的四个零点分别是π16，5π16，9π16，13π16.