中考数学二轮复习难题突破：二次函数与线段问题（解析版）

这是一份中考数学二轮复习难题突破：二次函数与线段问题（解析版），共7页。试卷主要包含了如图6-1，已知A，如图8-1，已知A等内容，欢迎下载使用。
二次函数与线段问题   例1、 如图1-1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．图1-1【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如图1-3，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小．由y＝x2－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)．图1-2                            图1-3例2、如图，抛物线与y轴交于点A，B是OA的中点．一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A．如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程．图2-1【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的点A′，作点B关于x轴对称的点B′，连结A′B′与x轴交于点M，与抛物线的对称轴交于点N．在Rt△AA′B′中，AA′＝8，AB′＝6，所以A′B′＝10，即点G走过的最短路程为10．根据相似比可以计算得到OM＝，MH＝，NH＝1．所以M(, 0)，N(4, 1)．图2-2例3、如图3-1，抛物线与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标．图3-1【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA－PB|的最小值与最大值．由抛物线的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)．设P(x, 0)．绝对值|PA－PB|的最小值当然是0了，此时PA＝PB，点P在AB的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x2＋22＝(x－3)2＋62，得．此时P．在△PAB中，根据两边之差小于第三边，那么|PA－PB|总是小于AB了．如图3-3，当点P在BA的延长线上时，|PA－PB|取得最大值，最大值AB＝5．此时P．图3-2                     图3-3例4、如图4-1，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．图4-1 【解析】如图4-2，点Q关于直线BD的对称点为Q′，在△KPQ′中，PK＋QK总是大于PQ′的．如图4-3，当点K落在PQ′上时，PK＋QK的最小值为PQ′．如图4-4，PQ′的最小值为Q′H，Q′H就是菱形ABCD的高，Q′H＝．这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短．图4-2                图4-3                     图4-4例5、如图5-1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．图5-1【解析】E、F、P三个点都不确定，怎么办？BE＝1，AF＝2是确定的，那么我们可以求PB＋PA－3的最小值，先求PB＋PA的最小值（如图5-2）．如图5-3，PB＋PA的最小值为AB′，AB′＝6．所以PE＋PF的最小值等于3．图5-2                        图5-3例6、如图6-1，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a＋1, 0)，求a为何值时，四边形ABEF周长最小？请说明理由．图6-1【解析】在四边形ABEF中，AB、EF为定值，求AE＋BF的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点．如图6-2，将线段BF向左平移两个单位，得到线段ME．如图6-3，作点A关于x轴的对称点A′，MA′与x轴的交点E，满足AE＋ME最小．由△A′OE∽△BHF，得．解方程，得．图6-2                               图6-3例7、如图7-1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点A在x轴上运动时，点C也随之在y轴上运动．在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离．图7-1【解析】如果把OB放在某一个三角形中，这个三角形的另外两条边的大小是确定的，那么根据两边之和大于第三边，可知第三边OB的最大值就是另两边的和．显然△OBC是不符合条件的，因为OC边的大小不确定．如图7-2，如果选AC的中点D，那么BD、OD都是定值，OD＝1，BD＝．在△OBD中，总是有OB＜OD＋BD．如图7-3，当点D落在OB上时，OB最大，最大值为．图7-2                            图7-3 例8、如图8-1，已知A(－2,0)、B(4, 0)、．设F为线段BD上一点（不含端点），连结AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？图8-1【解析】点B(4, 0)、的坐标隐含了∠DBA＝30°，不由得让我们联想到30°角所对的直角边等于斜边的一半．如果把动点M在两条线段上的速度统一起来，问题就转化了．如图8-2，在Rt△DEF中，FD＝2FE．如果点M沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D时，那么点M沿线段FE以每秒1个单位的速度正好运动到点E．因此当AF＋FE最小时，点M用时最少．如图8-3，当AE⊥DE时，AF＋FE最小，此时F．图8-2                           图8-3例9、如图9-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点E是BC边上的点，连结AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，求AF的最小值．图9-1【解析】如图9-2，设AF的中点为D，那么DA＝DE＝DF．所以AF的最小值取决于DE的最小值．如图9-3，当DE⊥BC时，DE最小．设DA＝DE＝m，此时DB＝．由AB＝DA＋DB，得．解得．此时AF＝．图9-2                        图9-3例10、如图10-1，已知点P是抛物线上的一个点，点D、E的坐标分别为(0, 1)、(1, 2)，连结PD、PE，求PD＋PE的最小值．图10-1【解析】点P不在一条笔直的河流上，没有办法套用“牛喝水”的模型．设P，那么PD2＝．所以PD＝．如图10-2，的几何意义可以理解为抛物线上的动点P到直线y＝－1的距离PH．所以PD＝PH．因此PD＋PE就转化为PH＋PE．如图10-3，当P、E、H三点共线，即PH⊥x轴时，PH＋PE的最小值为3．高中数学会学到，抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合，在中考数学压轴题里, 如果要用到这个性质，最好铺垫一个小题，求证PD＝PH. 图10-2                                图10-3