中考数学二轮复习难题突破：二次函数与三角形相似问题（解析版）

这是一份中考数学二轮复习难题突破：二次函数与三角形相似问题（解析版），共11页。试卷主要包含了已知抛物线经过及原点．，已知等内容，欢迎下载使用。
二次函数与三角形相似问题例1、如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。      【答案】解:⑴由题意可设抛物线的解析式为∵抛物线过原点，∴∴.抛物线的解析式为,即 ⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CDOB,由得,∴B(4,0),OB＝4.∴D点的横坐标为6 将x＝6代入,得y＝－3,∴D(6,－3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3), 当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO 设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)∴直线OP的解析式为 由,得.∴P(6,－3)过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO与△BAO不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似. 例2、已知抛物线经过及原点．（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为）（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形．是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系？为什么？        【答案】解：（1）由已知可得： 解之得，．因而得，抛物线的解析式为：．（2）存在．设点的坐标为，则，要使，则有，即解之得，．当时，，即为点，所以得要使，则有，即解之得，，当时，即为点，当时，，所以得．故存在两个点使得与相似．点的坐标为．（3）在中，因为．所以．当点的坐标为时，．所以．因此，都是直角三角形．又在中，因为．所以．即有．所以，又因为，所以．例3、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠，且。（1）判断与是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。     【答案】解：（1）与相似。理由如下：由折叠知，，，又，。（2），设AE=3t，则AD=4t。由勾股定理得DE=5t。。由（1），得，，。在中，，，解得t=1。OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3），设直线CE的解析式为y=kx+b，解得，则点P的坐标为（16，0）。（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12，y=2x－12。如图2：准确画出两条直线。例4、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为）（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．            【答案】解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，由 解得此二次函数的表达式为 ．（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似．在中，令，则由，解得．令，得．．设过点的直线交于点，过点作轴于点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．．要使或，已有，则只需，  ①或   ②成立．若是①，则有．而．在中，由勾股定理，得．解得 （负值舍去）．．点的坐标为．将点的坐标代入中，求得．满足条件的直线的函数表达式为．［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］若是②，则有．而．在中，由勾股定理，得．解得 （负值舍去）．．点的坐标为．将点的坐标代入中，求得．满足条件的直线的函数表达式为．存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点．将点的坐标代入中，求得．此直线的函数表达式为．设点的坐标为，并代入，得．解得（不合题意，舍去）．．点的坐标为．此时，锐角．又二次函数的对称轴为，点关于对称轴对称的点的坐标为．当时，锐角；当时，锐角；当时，锐角． 例5 、如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．            【答案】解：（1）令，得   解得令，得∴ A   B   C  （2）∵OA=OB=OC=    ∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，        ∴PAB=过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE=  ∴P∵点P在抛物线上 ∴   解得，（不合题意，舍去）
∴PE=∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=(3)． 假设存在∵PAB=BAC =   ∴PAAC∵MG轴于点G，   ∴MGA=PAC =在Rt△AOC中，OA=OC=   ∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=   ∴AP=   设M点的横坐标为，则M ①点M在轴左侧时，则(ⅰ) 当AMG PCA时，有=∵AG=，MG=即  解得（舍去） （舍去）(ⅱ) 当MAG PCA时有=即 解得：（舍去）  ∴M ② 点M在轴右侧时，则 (ⅰ) 当AMG PCA时有=∵AG=，MG=      ∴   解得（舍去）   ∴M (ⅱ) 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去）   
∴M∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，，例6、已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为，，．（1）求过点的直线的函数表达式；点，，，（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由．       【答案】解：（1）点，，，点坐标为设过点的直线的函数表达式为，由 得，直线的函数表达式为（2）如图1，过点作，交轴于点，在和中，    ，点为所求又，，（3）这样的存在在中，由勾股定理得如图1，当时，则，解得如图2，当时，则，解得