还剩3页未读，
继续阅读
沪教版高中二年级 第二学期12.5双曲线的标准方程教案
展开
这是一份沪教版高中二年级 第二学期12.5双曲线的标准方程教案，共5页。教案主要包含了教学目标分析，学情分析，教学重点与难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标分析
（1）进一步理解双曲线的定义，熟练双曲线的标准方程；
（2）会选择适当的方法求双曲线的标准方程；
（3）类比椭圆的方法，解决双曲线的相似问题，从而体会类比思想在学习中的重要作用.
二、学情分析
本节课是在学习了双曲线的标准方程的第1课时的基础上，再进一步学习.学生已经学习了双曲线的概念，学习了如何建立坐标系推导出双曲线的标准方程，并学习了简单的双曲线的标准方程的求法，例如已知a，b，c中的两者，求双曲线的标准方程，以及已知双曲线的标准方程，求a，b，c的值，双曲线方程的代数特征（如下面的检测练习（1）），双曲线的定义在双曲线方程中的应用（如下面的检测练习（2））.
另外一方面，双曲线的学习是在椭圆的学习之后，很多做法与椭圆类似，但又有一定的区别.学生已经学习了待定系数法、定义法（用椭圆的定义）、轨迹法（轨迹方程的求法）求椭圆的标准方程，这些方法在本节课的双曲线标准方程中也适用，但是双曲线与椭圆也有明显的区别就是单支双曲线的表示.
在前面的学习中，学生存在的不足主要有：（1）对椭圆的定义理解不够，表现在应用椭圆的定义求标准方程时，未能通过转化距离得到动点到两定点的距离之和为定值.（2）求过两点的椭圆的标准方程中，运算能力教弱.（3）不容易选择较好的方法（运算量教少的方法）求椭圆的标准方程.
三、教学重点与难点
教学重点：
理解双曲线的定义，能熟练应用待定系数法、定义法求双曲线的标准方程与轨迹方程.
教学难点：
理解双曲像线的定义，选择恰当的方法求双曲线的标准方程与求轨迹方程.
四、教学过程
（一）复习回顾
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1、F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
把定常数记为2a，
（1）当2a＜|F1F2|时，其轨迹 ；
（2）当2a＝|F1F2|时，其轨迹 ；
（3）当2a＞|F1F2|时，其轨迹 .
【师生活动】学生回答，教师点评，突出双曲线的定义的关键，一是距离之差、二是绝对值、三是附加条件.接着让学生思考与椭圆的区别与联系.
【设计意图】复习双曲线的定义，加深对双曲线概念的认识，同时体会与椭圆知识之间的联系.
2.双曲线的标准方程
【师生活动】学生回答，教师点评，突出双曲线的标准方程的特点：如何根据双曲线的标准方程判断双曲线的焦点位置，a，b，c三者之间关系.
【设计意图】复习双曲线的标准方程的特点，与椭圆类比双曲线的焦点位置情况、以及a，b，c者的关系.
3.检测练习
（1）方程ax2＋by2＝b（ab＜0）表示的曲线是（ ）
A.焦点在x轴上的双曲线
B.焦点在y轴上的双曲线
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
（2）双曲线 上一点P到其一个焦点的距离为10，则到另一焦点的距离为________.
【师生活动】学生做检测练习，教师点评，突出双曲线的标准方程的特点：如何根据双曲线的标准方程判断双曲线的焦点位置. 另外就是根据双曲线的标准方程，解决与双曲线的概念有关的问题.
【设计意图】通过复习检测，了解学生对上一节课的掌握程度，是否具备学习新课的条件.
（二）新课学习
题型1：求双曲线的标准方程
［例1］求以椭圆 的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4, －5)的双曲线的标准方程.
【师生活动】教师引导学生思考解决问题的策略，并板演典型的做法：待定系数法、定义法.
法1：待定系数法
【教学情景预设】
师：类比椭圆标准方程的求法，我们可以用什么方法求双曲线的标准方程？
生：待定系数法.
师：为什么可以使用待定系数法？
生：因为是求双曲线的标准方程，而我们已知知道双曲线的标准方程，所以可以使用待定系数法.
师：用待定系数法求双曲线的标准方程时，该怎么设方程？
生：设 EQ \f(y2,a2)－ EQ \f(x2,b2)＝1.
师：不错，注意加上（a＞0，b＞0）.
师：但是，有几个问题：
问题1：怎么看出焦点位置在y轴？
问题2：如果设为 EQ \f(x2,a2)－ EQ \f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0），可以吗？
问题3：还有其他方法吗？
生：因为知道了双曲线的焦点以及双曲线上的一点，所以可以用双曲线的定义，求出2a再求出b.
师：很好！
师：那类比椭圆方程的求法，还有其他方法吗？
生：设mx2＋ny2＝1（mn＜0），或者设 EQ \f(x2,m)＋ EQ \f(y2,n)＝1（mn＜0）.
师：很好，还有其他设法吗？
生：……
师：椭圆与双曲线在定义上就很相似，所以双曲线的很多做法都会和椭圆类似，希望同学们在以后的学习中，注意类比迁移，让自己学得更加轻松高效.
【设计意图】通过与椭圆方程求法的类比，让学生先了解解题的方向，先做一个初步判断，养成良好的解题习惯：“类比迁移”、“先定性后定量”、“多想少算”，在会做的前提下，尽量寻求最优或者较优的方法.
［变式训练1］已知双曲线通过M(1, 1)，N(－2, 5)两点，求双曲线的标准方程.
【师生活动】学生解决问题，教师提示学生：一、用最优或教优的方法解决问题，二、用尽可能多的方法解决问题.
【设计意图】让学生尝试并践行刚才解决问题的方法，体会不同方法的异同点.
小结：_________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
【师生活动】师：求双曲线的方程有哪些方法？什么时候用什么方法最好？生：尝试归纳总结.
【设计意图】对求双曲线的标准方程的方法进行归纳总结.
题型2：求轨迹方程
［例2］如图，点A, B的坐标分别是(－5, 0)，(5, 0)，直线AM, BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，试求点M的轨迹方程.
【师生活动】师生共同解决例2：求双曲线的方程有哪些方法？什么时候用什么方法最好？生：尝试归纳总结.
【设计意图】对求双曲线的标准方程的方法进行归纳总结.
［变式训练2］如图，已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
【师生活动】学生尝试解决变式训练2，教师视学生情况给以适当的提示，特别注意与圆外切、内切的转化.
【设计意图】让学生体会不同方法的异同点与适用范围，同时复习圆与圆的位置关系.
［变式训练3］已知圆C：(x＋5)2＋y2＝16，圆C外有一点A(5, 0)，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q，当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程.
【师生活动】学生尝试解决变式训练2，教师视学生情况给以适当的提示，注意垂直平分线的转化，特别是点P的不同位置，对于垂直平分线的转化是否有差异.
【设计意图】让学生体会不同方法的异同点与适用范围，同时注意动点问题中的多种可能性.
小结：_________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
【师生活动】师：求轨迹的方程有哪些方法？什么时候用什么方法最好？生：尝试归纳总结.
【设计意图】对求轨迹方程的方法进行归纳总结.
（三）总结提升
1.求双曲线的标准方程
①________________； ②________________.
2.求轨迹方程
①________________________________；
②________________________________.
【师生活动】师生共同小结本节课的主要思想方法.
【设计意图】求轨迹方程、求双曲线方程、求椭圆方程等在本质上都是一样的，都是求曲线的方程，最后进行归纳时，让学生尝试思考他们之间的统一性.
（四）检测作业
1. 学案P38/变式训练3
2. P39/A级第9题
【师生活动】学生独立完成课后作业.
【设计意图】检测学生对本节课的掌握程度.
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
_________________
(a＞0，b＞0)
_________________
(a＞0，b＞0)
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a,b,c关系
c2 ＝________________
一、教学目标分析
（1）进一步理解双曲线的定义，熟练双曲线的标准方程；
（2）会选择适当的方法求双曲线的标准方程；
（3）类比椭圆的方法，解决双曲线的相似问题，从而体会类比思想在学习中的重要作用.
二、学情分析
本节课是在学习了双曲线的标准方程的第1课时的基础上，再进一步学习.学生已经学习了双曲线的概念，学习了如何建立坐标系推导出双曲线的标准方程，并学习了简单的双曲线的标准方程的求法，例如已知a，b，c中的两者，求双曲线的标准方程，以及已知双曲线的标准方程，求a，b，c的值，双曲线方程的代数特征（如下面的检测练习（1）），双曲线的定义在双曲线方程中的应用（如下面的检测练习（2））.
另外一方面，双曲线的学习是在椭圆的学习之后，很多做法与椭圆类似，但又有一定的区别.学生已经学习了待定系数法、定义法（用椭圆的定义）、轨迹法（轨迹方程的求法）求椭圆的标准方程，这些方法在本节课的双曲线标准方程中也适用，但是双曲线与椭圆也有明显的区别就是单支双曲线的表示.
在前面的学习中，学生存在的不足主要有：（1）对椭圆的定义理解不够，表现在应用椭圆的定义求标准方程时，未能通过转化距离得到动点到两定点的距离之和为定值.（2）求过两点的椭圆的标准方程中，运算能力教弱.（3）不容易选择较好的方法（运算量教少的方法）求椭圆的标准方程.
三、教学重点与难点
教学重点：
理解双曲线的定义，能熟练应用待定系数法、定义法求双曲线的标准方程与轨迹方程.
教学难点：
理解双曲像线的定义，选择恰当的方法求双曲线的标准方程与求轨迹方程.
四、教学过程
（一）复习回顾
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1、F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
把定常数记为2a，
（1）当2a＜|F1F2|时，其轨迹 ；
（2）当2a＝|F1F2|时，其轨迹 ；
（3）当2a＞|F1F2|时，其轨迹 .
【师生活动】学生回答，教师点评，突出双曲线的定义的关键，一是距离之差、二是绝对值、三是附加条件.接着让学生思考与椭圆的区别与联系.
【设计意图】复习双曲线的定义，加深对双曲线概念的认识，同时体会与椭圆知识之间的联系.
2.双曲线的标准方程
【师生活动】学生回答，教师点评，突出双曲线的标准方程的特点：如何根据双曲线的标准方程判断双曲线的焦点位置，a，b，c三者之间关系.
【设计意图】复习双曲线的标准方程的特点，与椭圆类比双曲线的焦点位置情况、以及a，b，c者的关系.
3.检测练习
（1）方程ax2＋by2＝b（ab＜0）表示的曲线是（ ）
A.焦点在x轴上的双曲线
B.焦点在y轴上的双曲线
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
（2）双曲线 上一点P到其一个焦点的距离为10，则到另一焦点的距离为________.
【师生活动】学生做检测练习，教师点评，突出双曲线的标准方程的特点：如何根据双曲线的标准方程判断双曲线的焦点位置. 另外就是根据双曲线的标准方程，解决与双曲线的概念有关的问题.
【设计意图】通过复习检测，了解学生对上一节课的掌握程度，是否具备学习新课的条件.
（二）新课学习
题型1：求双曲线的标准方程
［例1］求以椭圆 的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4, －5)的双曲线的标准方程.
【师生活动】教师引导学生思考解决问题的策略，并板演典型的做法：待定系数法、定义法.
法1：待定系数法
【教学情景预设】
师：类比椭圆标准方程的求法，我们可以用什么方法求双曲线的标准方程？
生：待定系数法.
师：为什么可以使用待定系数法？
生：因为是求双曲线的标准方程，而我们已知知道双曲线的标准方程，所以可以使用待定系数法.
师：用待定系数法求双曲线的标准方程时，该怎么设方程？
生：设 EQ \f(y2,a2)－ EQ \f(x2,b2)＝1.
师：不错，注意加上（a＞0，b＞0）.
师：但是，有几个问题：
问题1：怎么看出焦点位置在y轴？
问题2：如果设为 EQ \f(x2,a2)－ EQ \f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0），可以吗？
问题3：还有其他方法吗？
生：因为知道了双曲线的焦点以及双曲线上的一点，所以可以用双曲线的定义，求出2a再求出b.
师：很好！
师：那类比椭圆方程的求法，还有其他方法吗？
生：设mx2＋ny2＝1（mn＜0），或者设 EQ \f(x2,m)＋ EQ \f(y2,n)＝1（mn＜0）.
师：很好，还有其他设法吗？
生：……
师：椭圆与双曲线在定义上就很相似，所以双曲线的很多做法都会和椭圆类似，希望同学们在以后的学习中，注意类比迁移，让自己学得更加轻松高效.
【设计意图】通过与椭圆方程求法的类比，让学生先了解解题的方向，先做一个初步判断，养成良好的解题习惯：“类比迁移”、“先定性后定量”、“多想少算”，在会做的前提下，尽量寻求最优或者较优的方法.
［变式训练1］已知双曲线通过M(1, 1)，N(－2, 5)两点，求双曲线的标准方程.
【师生活动】学生解决问题，教师提示学生：一、用最优或教优的方法解决问题，二、用尽可能多的方法解决问题.
【设计意图】让学生尝试并践行刚才解决问题的方法，体会不同方法的异同点.
小结：_________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
【师生活动】师：求双曲线的方程有哪些方法？什么时候用什么方法最好？生：尝试归纳总结.
【设计意图】对求双曲线的标准方程的方法进行归纳总结.
题型2：求轨迹方程
［例2］如图，点A, B的坐标分别是(－5, 0)，(5, 0)，直线AM, BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，试求点M的轨迹方程.
【师生活动】师生共同解决例2：求双曲线的方程有哪些方法？什么时候用什么方法最好？生：尝试归纳总结.
【设计意图】对求双曲线的标准方程的方法进行归纳总结.
［变式训练2］如图，已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
【师生活动】学生尝试解决变式训练2，教师视学生情况给以适当的提示，特别注意与圆外切、内切的转化.
【设计意图】让学生体会不同方法的异同点与适用范围，同时复习圆与圆的位置关系.
［变式训练3］已知圆C：(x＋5)2＋y2＝16，圆C外有一点A(5, 0)，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q，当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程.
【师生活动】学生尝试解决变式训练2，教师视学生情况给以适当的提示，注意垂直平分线的转化，特别是点P的不同位置，对于垂直平分线的转化是否有差异.
【设计意图】让学生体会不同方法的异同点与适用范围，同时注意动点问题中的多种可能性.
小结：_________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
【师生活动】师：求轨迹的方程有哪些方法？什么时候用什么方法最好？生：尝试归纳总结.
【设计意图】对求轨迹方程的方法进行归纳总结.
（三）总结提升
1.求双曲线的标准方程
①________________； ②________________.
2.求轨迹方程
①________________________________；
②________________________________.
【师生活动】师生共同小结本节课的主要思想方法.
【设计意图】求轨迹方程、求双曲线方程、求椭圆方程等在本质上都是一样的，都是求曲线的方程，最后进行归纳时，让学生尝试思考他们之间的统一性.
（四）检测作业
1. 学案P38/变式训练3
2. P39/A级第9题
【师生活动】学生独立完成课后作业.
【设计意图】检测学生对本节课的掌握程度.
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
_________________
(a＞0，b＞0)
_________________
(a＞0，b＞0)
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a,b,c关系
c2 ＝________________
相关教案
数学3.2 双曲线教案： 这是一份数学3.2 双曲线教案，共12页。教案主要包含了典例解析，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。
高中数学沪教版高中二年级 第二学期12.5双曲线的标准方程教学设计： 这是一份高中数学沪教版高中二年级 第二学期12.5双曲线的标准方程教学设计，共3页。
高中沪教版12.3椭圆的标准方程教案： 这是一份高中沪教版12.3椭圆的标准方程教案，共7页。教案主要包含了教学内容分析，教学目标设计，教学重点及难点，教学方法，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
