考向19 三角函数的图象和性质（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

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1.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
2．（2021·浙江高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
1.研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）或，常见方法有：
（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函；
（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；
（3）用两角和、差公式或辅助角公式将已给函数化成同函.
2.研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述或的形式，有时会化简为二次函数型：或，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意的取值范围.
若将已给函数化简为更高次的函数，如，则换元后可通过导数求解.如：解析式中同时含有和，令，由关系式得到关于的函数表达式.
3.求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：
，令，则；
，引入辅助角，化为；
，令，则；
，令，
则，所以；
（5），根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
【知识拓展】
1．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三二模（理））已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·山东高三其他模拟）已知函数的图象上相邻两条对称轴的距离为，且过点，则需要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
3．（2021·陕西高三其他模拟（理））函数，下列描述错误的是（ ）
A．定义域是，值域是B．其图象有无数条对称轴
C．是它的一个零点D．此函数不是周期函数
4．（2021·赤峰二中高三三模（理））已知函数，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）
A．
B．在上存在零点，则a的最小值为
C．在上单调递增
D．在有且仅有一个极大值点
1．（2021·四川高三其他模拟（理））已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是函数图象的一条对称轴
C．函数的图象关于点中心对称
D．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象
2．（2021·全国高三其他模拟（文））把函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则下列数中可能是的值的为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．的周期是
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减D．在区间上有4个零点
5．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．1B．C．D．
6．（2021·福建省南安第一中学高三二模）（多选题）设，其中若对一切恒成立，则以下结论正确的是（ ）．
A．；B．；
C．是奇函数；D．的单调递增区间是；
7．（2021·山西大附中高三其他模拟）（多选题）已知函数f(x)=sinx-csx，g(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数f(x)的值域与函数g(x)的值域相同
B．若x0是函数f(x)的极值点，则x0是函数g(x)的零点
C．把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数g(x)的图象
D．函数f(x)和g(x)在区间上均单调递增
8．（2021·广东高三其他模拟）（多选题）已知函数是偶函数，其中，则下列关于函数的正确描述是（ ）
A．在区间上的最小值为
B．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
C．点是的图象的一个对称中心；
D．是的一个单调递增区间.
9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数()，若存在，，对任意，，则的取值范围是___________.
10．（2021·上海高三其他模拟）函数的最小正周期为___________.
11．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数(，)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，且是一个极小值点.若把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为___________.
12．（2021·辽宁实验中学高三二模）已知，，且．
（1）求角的大小；
（2），给出的一个合适的数值使得函数的值域为．
1．（2021·江苏高考真题）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·北京高考真题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为
3．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·全国高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
5．（2020·全国高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2020·海南高考真题）（多选题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
7．（2021·全国高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
8．（2021·全国高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
9．（2020·江苏高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
10．（2019·浙江高考真题）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域.
11．（2014·重庆高考真题（理））已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
1．【答案】D
【分析】
求出函数的增区间，然后由已知得出的一个范围，然后由再由方程在区间上有且仅有一解，结合正弦函数的最大值点求得的另一个范围，两者结合可得结论．
【详解】
因为，令，，
即，，
所以函数的单调递增区间为，，
又因为函数在上单调递增，
所以，得，且，
又因为，
所以，又在区间上有唯一的实数解，
所以，且，可得.
综上，．
故选：D.
2．【答案】A
【分析】
先根据函数的图象上相邻两条对称轴的距离为，且过点，求得其解析式，然后利用平移变换求解.
【详解】
因为函数的图象上相邻两条对称轴的距离为，
所以，
所以，
因为过点，
所以，
因为，
所以，
所以，
要得到，需要向右平移个单位．
故选：A．
3．【答案】D
【分析】
根据正弦型函数值域可确定，结合绝对值的含义可知A正确；
根据正弦函数对称轴，采用整体对应的方式可知是的对称轴，知B正确；
根据可知C正确；
由知是的周期，知D错误.
【详解】
对于A，易知定义域为，，，
，即的值域为，A正确；
对于B，由得：，
即，
即，
是函数图象的对称轴，故有无数条，B正确，
对于C，，是的一个零点，C正确；
对于D，，
是函数的周期，D错误.
故选：D.
4．【答案】B
【分析】
对于A，由已知条件得，由于函数为奇函数，所以，从而可求出的值；对于B，由，得，由于在上存在零点，所以可求出a的最小值为；对于C，，然后可求出其单调增区间；对于D，求出，可知当时，，当时，，由此可判断出函数的极值
【详解】
解：函数，
所以
，
由于函数为奇函数，
所以，，
由于，
故，故，故A错误；
令，所以，
若在上存在零点，则a的最小值为，故B正确；
函数，
当时，，所以函数不单调，故C错误；
对于D：由，得，
当时，，当时，，
所以函数，在时，，函数在上只有极小值，没有极大值，故D错误.
故选：B.
1．【答案】C
【分析】
先根据二倍角公式化简的解析式，
A．根据最小正周期计算公式进行求解；
B．根据是否为最值进行判断；
C．根据是否为进行判断；
D．先求解出平移后的函数解析式，然后进行判断.
【详解】
，
A．最小正周期，故正确；
B．因为为最小值，所以是图象的一条对称轴，故正确；
C．因为，所以的图象不关于点中心对称，故错误；
D．，的图象向右平移个单位后得到：
，故正确；
故选：C.
2．【答案】D
【分析】
由平移变换写出变换后函数解析式，再根据诱导公式得出结论．
【详解】
由题意，
它为偶函数，则，，只有时满足．
故选：D．
3．【答案】D
【分析】
利用三角函数图象变换可得函数的解析式，然后利用余弦型函数的基本性质逐项判断可得出正确选项.
【详解】
由题意可得，
对于A，函数是偶函数，A错误：
对于B，函数最小周期是，B错误；
对于C，由，则直线不是函数图象的对称轴，C错误；
对于D，由，则是函数图象的一个对称中心，D正确.
故选：D.
4．【答案】D
【分析】
先利用二倍角公式，辅助角公式，对进行化简，对A，根据函数奇偶性的定义即可判断；对B，根据计算最小正周期的公式即可判断；对C，根据的单调递增，单调递减区间即可判断，对D，根据的周期以及的图象，即可判断.
【详解】
解：，
其中，
对A，的定义域为关于原点对称，
，
故是非奇非偶函数，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，
，
又，
故，
即，
在区间上单调递增，故C错误；
对D，，
，
，
，
且，
故在上经历了两个周期，
即在区间上有4个零点，故D正确.
故选：D.
5．【答案】A
【分析】
根据函数图象易知，即可求出，再根据，而，根据三角函数的性质即可知．
【详解】
由图象知，，又，，所以.
故选：A.
6．【答案】AC
【分析】
先对函数化简为，其中，然后由对一切恒成立，知直线是的对称轴，的最小正周期为，然后逐个分析判断即可
【详解】
，其中，对一切恒成立，知直线是的对称轴，又的最小正周期为．
因为可看做，加了个周期所对应的函数值，所以．故A正确．
因为函数周期，因为，所以，故B不正确．
因为直线是的对称轴，因为由函数平移，所以函数的图像既关于原点对称，所以函数既是奇函数，故C正确．
依题意，函数相邻两条对称轴，在区间上函数单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故D不正确．
故选：AC．
7．【答案】ABD
【分析】
先用辅助角公式将函数化简，将原函数求导并且用辅助角公式化简，并且原函数和导函数化为同角同符号的三角函数，进而结合三角函数的图像和性质进行求解.
【详解】
所以A正确；
若是函数的极值点，则，即，即是函数的零点，正确；
把函数的图像向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，错误；
令，则函数在上单调递增，令，则函数在上单调递增，函数和在区间上均单调递增，正确.
故选：.
8．【答案】AB
【分析】
根据为偶函数，求得的值，由此求得的解析式，根据三角函数最值、图像变换、对称中心、单调区间的知识，判断四个选项的正确性.
【详解】
由得
，
所以恒成立，
得是曲线的对称轴，
所以，
由得，
，
对于A：，
在区间上的最小值为，故A正确；
对于B：，
函数的图象向左平移个单位长度，
得到，故B正确；
对于C：，
所以点不是的图象的一个对称中心，故C错误；
对于D：，
所以不是的一个单调递增区间，故D错误
故选：AB
9．【答案】
【分析】
首先利用诱导公式得到，根据题意得到，，从而得到，再解不等式组即可.
【详解】
，
.
因为对任意，，所以，，
即，
因为，所以，，
所以.
故答案为：
10．【答案】2
【分析】
根据正切函数的周期性进行求解即可.
【详解】
解：的周期为，
故答案为：2
11．【答案】
【分析】
利用三角函数的图象的性质求得周期，进而得到原函数右侧的第一个最值点，也就是对称轴，也就是对称轴，然后得到的最小值.
【详解】
相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，∴,∴，
∴最小值点右侧最近的一个最大值点为，第二个最值点为最小值点，即是第一个超过的最值点，即右侧第一条对称轴为，∴把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为,
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的平移变换，属基础题.注意相邻的中心与轴间的距离为四分之一周期，相邻极值点间的距离为半个周期.注意平移的方向，找到函数在直线右侧的第一条对称轴是关键.
12．【答案】（1）；（2）的值可取．
【分析】
（1）根据，结合，可得或，再根据求解；
（2）由，根据值域为，结合正弦函数的性质求解．
【详解】
（1）因为，
所以，
又，所以，
可得或，可得或，
又，所以．
（2），
，
，
当时，，
当时，，
所以由题意可得，可得，
所以即可，的值可取．
1．【答案】A
【分析】
由，可得，所以，令，得，从而可得到本题答案.
【详解】
由题，得，所以，
令，得，
所以的对称轴为，
当时，，
所以函数的一条对称轴为.
故选：A
2．【答案】D
【分析】
由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】
由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
3．【答案】C
【分析】
根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
4．【答案】C
【分析】
利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
5．【答案】C
【分析】
由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
6．【答案】BC
【分析】
首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】
由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
7．【答案】
【分析】
首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.
【详解】
由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
【点睛】
已知f(x)＝Acs(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
8．【答案】2
【分析】
先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】
由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】
关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
9．【答案】
【分析】
先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；
(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.
【详解】
(1)由题意结合函数的解析式可得：，
函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.
(2)由函数的解析式可得：
.
据此可得函数的值域为：.
【点睛】
本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）由函数图像上相邻两个最高点的距离为求出周期，再利用公式求出的值；
由函数的图像关于直线对称，可得，然后结合，求出的值.
（2）由（1）知，由
结合利用同角三角函数的基本关系可求得的值，因为
可由两角和与差的三角函数公式求出从而用诱导公式求得的值.
解：（1）因的图象上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，从而.
又因的图象关于直线对称，所以
因得
所以.
（2）由（1）得
所以.
由得
所以
因此
=
考点：1、诱导公式；2、同角三角函数的基本关系；3、两角和与差的三角函数公式；4、三角函数的图象和性质.
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
xx∈R，且xeq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))
值域[来源:学§科§网Z§X§X§K]
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋
kπ(k∈Z)上是递
增函数
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性
对称轴是x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋eq \f(π,2)，0(k∈Z)
对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)